Основные задачи анализа процессов обработки, решаемые с использованием сетей Петри

В процессе функционирования сети Петри некоторые ее места могут накапливать неограниченное число фишек. Примером такого места может служить место в сети нарис.8.6. Если интерпретировать места как

Рис. 8.7. Граф разметок сети Петри

накопители (буферы) данных, сигналов или деталей в моделируемых системах, то естественно потребовать, чтобы при любом варианте функционирования этих систем не происходило переполнение накопителей, которые в реальных ситуациях имеют конечную, фиксированную емкость. Следующие понятия формализуют такие требования.

Определение.Местов сети Петриназываетсяограниченным, если существует число, такое что для любой достижимой в сети разметкисправедливо неравенство. Сетьназываетсяограниченнойсетью, если любое ее место ограничено.

Ясно, что множество достижимых разметок конечно, если и только если- ограниченная сеть. В сети нарис.8.6места, иограничены, так как каждое из них может содержать не более одной фишки. В то же время местоне ограничено, и поэтому эта сеть не является ограниченной.

Определение.Местоназывается безопасным, если для всякой достижимой разметкивыполняется неравенство; соответственно, сетьбезопасна, если все ее места безопасны.

Любая достижимая в безопасной сети разметка представляет собой вектор из 0 и 1. Сеть, показанная на рис.8.6, не является безопасной.

Родственным понятиям ограниченной и безопасной сети Петри является понятие консервативной, или сохраняющей, сети.

Определение. Сеть, в которой сумма фишек во всех ее местах остается постоянной в процессе работы сети, то есть

называется сохраняющей (консервативной).

Условие сохранения числа фишек в сети - это очень сильное ограничение. Например, из него немедленно следует, что число входов в каждый переход должно равняться числу выходов (с учетом кратности). Если бы это было не так, запуск перехода изменил бы число фишек в сети.

Часто фишки в сети Петри моделируют различные ресурсы. Однако взаимно однозначного соответствия между фишками и ресурсами нет. Фишка может представлять как один ресурс, так и несколько ресурсов сразу. Во втором случае фишка может использоваться для создания кратных фишек (по одной на ресурс) путем запуска перехода с большим числом выходов, чем входов. Поэтому определение свойства сохраняемости сети целесообразно сделать более общим, заменив простую сумму фишек на сумму с весами. Фишкам, не являющимся важными, можно присвоить нулевой вес; другим фишкам можно присвоить весы 1, 2, 3 или любое другое положительное число.

Определение.Сеть Петри называетсясохраняющей (консервативной) по отношению к вектору весов, где- число мест в сети, если

( 8.6)

Сохраняющая сеть Петри является сохраняющей по отношению к вектору весов . Следует исключить из рассмотрения нулевой вектор весов, поскольку все сети являются сохраняющими по отношению к нулевому вектору весов.

Переходы в сетях Петри, как правило, моделируют некоторые действия (события), которые могут совершаться в реальных процессах обработки. Поэтому вопросы, касающиеся возможности срабатывания тех или иных переходов, представляют интерес при анализе сетей Петри.

Переход в сети может сработать при определенных условиях, связанных с разметкой его входных мест. Может оказаться, что для некоторого перехода условие его срабатывания никогда не выполняется, как бы ни функционировала сеть. Такой переход - лишний в сети, его можно исключить без ущерба для работы сети. Может случиться также, что после некоторой последовательности срабатываний переходов сети и соответствующих изменений ее разметки некоторые переходы, в том числе те, которые уже срабатывали, больше никогда не сработают, какие бы варианты достижимых в сети разметок не возникали. Это означает, что в моделируемых системах могут появляться ситуации, тупиковые для некоторых событий. Например, в операционных системах подобные случаи происходят при взаимных блокировках процессов (deadlocks) при недоступности требуемых ресурсов. Таким образом, переходы в сети Петри могут обладать различной активностью, и их можно разбить на категории по уровню активности.

Уровень 0: переходобладаетактивностью уровня 0и называетсямертвым, если он никогда не может быть запущен.

Уровень 1: переходобладаетактивностью уровня 1и называетсяпотенциально живым, если существует такая разметка, чторазрешен в.Уровень 2: переходобладает активностью уровня 2, если для всякого целогосуществует последовательность запусков, в которойприсутствует по крайней мерераз.

Уровень 3: переходобладаетактивностью уровня 3, если существует бесконечная последовательность запусков, в которойприсутствует неограниченно часто.

Уровень 4: переходобладаетактивностью уровня 4и называется живым, если для всякойпереходявляется потенциально живым для сети Петрис начальной маркировкой.

Сеть Петри называется живой, если все ее переходы являются живыми.

В качестве примера, иллюстрирующего уровни активности, рассмотрим сеть Петри на рис.8.8. Переходне может быть запущен никогда; он мертвый. Переходможно запустить только один раз; он обладает активностью уровня 1. Переходможет быть запущен произвольное число раз, но это число зависит от числа запусков перехода. Если мы хотим запуститьпять раз, мы запускаем пять раз, затеми после этого пять раз. Однако, как только запустится(должен быть запущен до того, как будет запущен), число возможных запусковстанет фиксированным. Следовательно,обладает активностью уровня 2, но не уровня 3. С другой стороны, переходможно запускать бесконечное число раз, и поэтому он обладает активностью уровня 3, но не уровня 4, поскольку, как только запустится, переходбольше запустить будет нельзя.

Рис. 8.8. Сеть Петри, иллюстрирующая различные уровни активности переходов

Многие прикладные задачи анализа систем и процессов в терминах сетей Петри могут быть сформулированы как задача о достижимости заданной разметки сети. Эта разметка может соответствовать целевому состоянию, в которое желательно перевести систему или процесс, или наоборот, описывать состояние, попадания в которое лучше избежать (аварийное, убыточное и т.п.). Важность задачи о достижимости заключается также в том, что к ней сводятся некоторые другие задачи анализа сетей Петри.

Формально задача о достижимости состоит в следующем: для сети Петри с начальной разметкойи заданной разметкиустановить справедливость включения. Иными словами, требуется выяснить, существует ли допустимая последовательность срабатываний переходов, переводящая сеть Петри из начальной разметкив заданную разметку, то есть.

Близкой по смыслу к задаче о достижимости является задача о покрываемости. Она заключается в том, чтобы для данной сети Петри с начальной маркировкойи заданной маркировкиопределить, существует ли такая достижимая маркировка, что.

Напомним, что отношение истинно, если каждый элемент маркировкине меньше соответствующего элемента маркировки.