1.9. Разноаспектные характеристики систем

В данном параграфе рассмотрен ряд харакюрисгик и поня­тий, которые являются удобными для отображения и анализа деятель-ностно-целевых особенностей ГДС и относятся к нетрадиционным си­стемным аспектам, если рассмафииать их с позиции классической си-стемолопш и емаемотехники. Это — расстояние между снечемами, планечарная модель ГДС, гиперкомплекспыи сиеыр I ДО ИЫ

1. Определение расстояния между системами. Основопол.нающими и исходными в данном случае являются процессы межеисемпою взаи­модействия, принцип гиперкомплексной мнилмизацин и принцип юмо-центризма. Процесс формирования понятия «раилояпие» нрнводыся в соогве1С11зпи с фебовапинми, изложенными н плргп рлфе 1.8 Опус­кая подробные рассуждения и виодя обозначения межеисчемиот рас­стояния R, проводим определение расстояния в символической форме записи вместе с условиями, при которых это определение функциони­рует в исследованиях, основанных на ГДС-подходе:

где R — межсистемноерасстояние;Y — межеиетемное взаимодействие, которое (при ого оценке в относительных единицах) может изменяться в пределах 10,11; F (У)—функционал oi У.

Выражение (1.31) определяет понятие «расстояние», а (1.32) — ус­ловия, которым должно удовлетворять (1.31).

Рассмотрим простейший с™"яй когда

и проверим условие (1.33) насоответствие выражениям (1.31) и(\:sz) В результате получим

Выражения (1.34)и (1.35) удовлешоряюг соотношениямv¹-"¹; и (1.32). Очевидно, что кроме выражения (1.31) могут быть и другие формы соотношения для R, удовлетворяющие требованиям (1.32). ГДС-подход к определению расстояния удовлетворяет принципу гомо-центризма, что является одной из причин того, что введенное мета-теоретическое определение расстояния становится возможным исполь­зовать (в силу инвариантности по качеству) не только в естественных науках (физики, химии), но и в таких традиционно не метризируемых научных направлениях, как логика, экономика, лингвистика, психоло­гия и т. д.

В силу взаимосвязанности ГДС-понятий и ГДС-закономерностей необходимо иомшпь, что ГДС-определеино рясепояиня та к жо обладает

полным набором ГДС-свойств (иерархичностью, структурностью и т. д.). В частности, п силу ГДС-особеппостей R_nm и /?„,„ (прямое и обратное расстояние между элементами т и п) могут быть и различных соошо-

шениях далеко не всегда равных по величине. Такая особенность, а также следствия, связанные с выбором базисного элемента, объясняют всю сложность и важность проблематики, возникающей в задачах по определению расстояний между внутрисистемными элементами, осо­бенно если сам наблюдатель находится вне исследуемой системы. Одним из важных следствий введения понятия расстояния явилась возможность определения на его основе понятия ГДС-пространства [15].

2. Планетарная модель ГДС. Детально это понятие и его особен­ности описаны в [15, 16]. Здесь же дадим только общее определение и выборочный набор свойств планетарной модели, существенный для дальнейшего изложения.

Рассмотрим последовательность рассуждений, позволяющих ввести понятие планетарной модели в понятийный состав ГДС. Исходным пунк­том является введение понятия расстояния и понятия гиперкомплекс­ного пространства. Так как выбор направления осей, по которым (вдоль которых) определяют расстояние между базисным и остальными эле­ментами системы, является произвольным для наиболее общего случая, то, определив полный набор расстояний от базисного до остальных элементов системы, на основании этого набора можно построить модель, которая (в силу ее сходства с астрономической планетарной системой) была названа планетарной моделью ГДС. Основные этапы построения модели следующие.

1. Выбираем базисный элемент.

2. Определяем все расстояния от базисного до остальных элемен­ тов системы и полученные результаты располагаем в ряд по мере воз­ растания их модулей.

3. Принимая базисный элемент за центр (ядро) планетарной моде­ ли, а упорядоченные расстояния — за радиусы эквипотенциальных орбит, строим планетарную модель. Переход от расстояния — векто­ ра — к понятию орбиты обусловлен допустимой произвольностью вы­ бора углового направления вектора, отображающего расстояние между базисом и произвольным элементом системы. В наиболее общем случае годограф, построенный по разрешенным положениям конца вектора (расстояния), даст сферу разрешенного движения (гиперкомплексной циркуляции) системного элемента. Радиус этой сферы будет равен модулю вектора. Плоская проекция сферы (простейший случай) дает окружность (орбиту). Совокупность разрешенных орбит образует си­ стему орбит элементов исследуемой ГДС.

Основные выводы по планетарной модели такие.

а) Планетарные орбиты квантуемы. Это приводит к тому, что вместо однозначной, линейной траектории движения имеем интервал опреде­ ленной ширины (кольцо — тороид) для разрешенных и запретных зон движения.

б) Набор межорбитальных зон является системной инвариантой и не изменяется при переходе от одного системного базиса к другому.

в) Для каждой ГДС можно построить две планетарные модели, имею-

щие один и тот же базис: центростремительную и центробежную, что обусловлено анизотропными свойствами ГДС-npocipanciua и наличием двух разнонаправленных расстояний между базисным и любым другим

элемепюм ГДС

Г) Гиперкомилексный циркулитор оюбрлжаеюя luuuieiapiion мо делью с двойным центром: базис (ядро планетарной модели) состоит из двух взаимосвязанных, противоположных по своей сути составляющих. 3. Гиперкомплексный спектр. Для проведения ряда аналитических исследований достаточно бывает наличия информации о количествен­ном соотношении между ГДС-расстояниями в системе (например, взятыми из планегарной модели). Для этого расстояния отображаются в относительных единицах, элементы системы нумеруются, а вместо точечного базиса берется горизонтальная линия, похожая на числовую ось. Порядковый номер элемента сопоставляется с соответствующим числом па этой оси, и в координатной точке оси строится перпенди­куляр, длина которого равна расстоянию соо1ве1сшующего элсмеша от базисного. Набор таких перпендикуляров, похожий на неравномер­ный по высоте частокол, и есть гиперкомплексный спектр системы.

На основании ГДС-спектра можно оценить чувствительность си­стемы, определить полноту замкнутости, оцепить наблюдаемость дан­ной системы с позиций заданного базиса, определить информацион­ность (как системную характеристику), оценить степень приближения системы к идеальному состоянию и т. д.

Взаимосвязь трех рассмотренных системных понятий очевидна. Эти понятия легко отображаются графически и могут иметь простые сим­волические эквиваленты для своего определении и отображения своих основных свойств [15].

1.10. Задача формализации и гиперкомплексная систематика

Начальный этап создания и изложения любой теории, пере­ход ее из «вещи в себе» (на уровне мыслей создателя теории) в «вещь для нас» (интеллектуальный продукт, вычлененный из сознания автора и представленный в форме, доступной для ее использования другими людьми) неизбежно начинается со словесных формулировок основных понятий, определений и принципов разрабатываемой теории. Однако словесные формулировки (вербальная модель) громоздки и многозначны.

1. Громоздкость. По мере развития теории и накопления концепту- алыю-иопятийного материала словесное изложение резко увеличи­ вается в обьеме, делается труднообозримым (потеря эмергентностн) и утомительным для восприятия (учет следствий из принципа гомо-

центризма).

2. Многозначность. Большинство слов любого обыденного языка многозначно по смыслу. Поэтому словесные определения каких-либо понятий, особенно вновь вводимых, трактуются по-разному различ­ ными исследователями: сколько людей, столько и интерпретаций, определяемых в основном интуицией, личным опытом и здравым смыс­ лом исследователя. Явление многозначности и следствия из него можно

проиллюстрировать простым математическим расчетом конкретного словесного примера. Допустим, нам дано предложение из шести слов,

каждое из которых обозначим с, (i = 1, 2 6). Пусть каждому

слову а_{ соответствует щ трактовок. Примем, что вероятность выбора той или иной трактовки одинакова для всех слов и их смысловых значений. Тогда вероятность выбора (например, с помощью ЭВМ) имен­но требуемой трактовки всего предложения из общего числа возмож­ных трактовок определитсявыражением

где р — вероятность выбора; С? — число сочетаний из п элементов по т.

Для нашего примера, допуская (для конкретности), что цепочка из шести слов составляет исходное предложение, а каждое из слов, на­чиная с первого, имеет 1, 2, 4, 1, 2, 3 трактовок, получим

Результат (1.37)— среднестатистический, очень простой и не требует особых комментариев. Нетрудно представить себе, что получится, если анализируемый текст будет состоять не из шести, а, скажем, из тысячи или более слов. Чем меньше величина р, тем больше неопределенность анализируемого словесного текста. Особое значение эта проблема приобретает при исследованиях, когда обработка исходной информа­ции ведется с помощью ЭВМ.

3. Сложность для ЭВМ-реализации. Вербальная модель трудно под­дается процессам алгоритмизации, а в целом ряде случаев, особенно в области психологических, биологических, философских и других аналогичных научных направлений, практически не пригодна к ЭВМ-реализации.

Уже рассмотренных замечаний достаточно для того, чтобы понять необходимость постановки задачи формализации и, в первую очередь, введения удобной символики в методологию инвариантного моделиро­вания и в теорию ГДС. Решение задачи формализации можно рассмат­ривать как процесс и исследовать его средствами теории ГДС. Такой анализ был проведен, и, как показано в [ 15], системные модели и просто произвольные ГДС всегда могут быть описаны на основе двух различ­иях, взаимообусловливающих подходов: дискретного и непрерывного. При дискретном подходе ГДС (или ее элементы) рассматриваются как гиперкомплексные точки в ГДС-пространстве, что делает удобным при­менение в данном случае средств дискретной математики для описания ГДС-закономерностей. Здесь применимы теоретико-множественные, групповые, категорийные, матричные подходы и целый ряд других средств современной математики [8, 12, 191.

При непрерывном представлении ГДС удобно отображать в виде поля (например, реализация взаимодействия — как процесс интер­ференции волн) и использовать для этого соответствующий математи-

ческий аппарат теории поля, в основном базирующийся па ингегро-дифференциальных уравнениях [9].

Пригодность ГДС-закономерностей к таким двум крайним ciiocoO.ri описаний дала возможность использовать п рогипппнпп члдпчп форма м -зации практически все существующие на сегодняшний день мат^маи -ческие понятия, закономерности и методы. Некоторые замечания по поводу применимости математических и других методов для полон ГДС подхода рассмотрены в параграфе 1.11. Здесь же остановимся на изло­жении особенностей использования матричного подхода к описанию ГДС-закономерностей и рассмотрим конкретный пример составления матрицы сложной ГДС.

Матричный метод был выбран как конкретный вариант дискретного представления ГДС-метода при изложении практически во всех рабо­тах по инвариантному моделированию и ГДС-темашке. Причиной, обусловившей применение именно матричного метода, явилась его пригодность для отображения требуемых системных свойств и законо­мерностей, наглядность в пользовании, простота матричных операции и ЭВМ-роалпауомость. Само понятие матрицы при этом пришлось не­сколько видоизменить: в теории ГДС введено понятие гиперкомплекенс и матрицы. Это понятие, так же как и процедура введения начальной ' символики и ГДС-операций, изложено в 115]. Здесь же приведем только порядок действий, необходимых для составления гиперкомплексной матрицы, и проиллюстрируем его реализацию на конкретном примере для ГДС со сложной структурой.

Порядок составления гиперкомплексной матрицы следующий.

\. Из исходных данных, подлежащих матричному описанию, выби­раем и группируем в отдельные последовательности элементы будущей системы. Нумеруем эти элементы в пределах каждого иерархическо­го уровня.

2. Упорядочиваем и нумеруем последовательность уровней иерар­ хии в исходной системе.

3. Строим квадратную матрицу в виде таблицы, размер которой оп­ ределится числом элементов в исходной системе. Для этого делим сто­ роны таблицы па число отрезков, равных числу элементов высшего иерархического уропня. Полученную крупноблочную матрицу до i ал и зируем: крупные клетки, соответствующие элементам высшею порар хического уровня, делим на части, число которых равно числу элемен­ тов, входящих в состав крупного блока (учитываем внутреннее строе­ ние элементов высшего иерархического уровня). Процесс продолжаем до тех пор, пока элементы всех иерархических уровней не будут учтем ы

4. Информацию о системе располагаем в матрице. Па главной диаго­ нали (в наиболее общем случае) ставим единицу (гиперкомплексиую единицу в мети теоретической, абстрактной форме записи), если соответ­ ствующий элемент ГДС есть. При отсутствии элемента ставим нуль или ничего не пишем. Номер системного элемента совпадает с номером диагонального элемента матрицы. Слева и справа от главной диагонали располагаем информацию о взаимодействиях элементов с учетом на­ правления взаимодействия. Обозначим через Y_пт взаимодействие эле­ мента п с элементом т в направлении от п к т. В общем случае мат-

рица, описывающая состояние системы, • обозначается Y и часто называется просто матрицей взаимодействий, учи­тывая при этом негласно ее ГДС-харак-тер.

Рассмотрим пример построения ги- • перкомплексной матрицы для сложной ГДС, изображенной на рис. 1.2, где зам­кнутыми линиями (окружностями) отоб­ражены элементы, которые обозначены буквой А с соответствующими индекса­ми. Например, А\_Л — это второй эле­мент нижнего уровня иерархии, входя­щий в состав первого элемента А_г. На­правленные отрезки обозначают меж­элементные взаимодействия. Например, У<1.2)(1.1) — это взаимодействие между элементами Ац и А\,2, направленное

ОТ А\.2 К Л|.|.

В соответствии с предложенным по­рядком построения матрицы для рас­ сматриваемой ГДС получим

Порядок матрицыУ такой:N= а, р¹ = 2, 2 (в соответствии с числом элементов на каждом иерархическом уровне).

Следует помнить, что в (1.38) все обозначения обладают высоко­абстрактным содержанием и являются символикой метатеоретического уровня. Эти обозначения следует наполнять конкретным содержанием, видоизменяя их при переходе с метатеоретического на конкретный^уро-вень. Например, простейшая абстрактная форма вида/"

может быть конкретизирована,если видоизменить элементы матрицы,скажем, в области теории электрических цепей [24], где под ГДС-эле-ментами будем подразумевать собственную проводимость узла электри­ческой цепи, и взаимодействия отобразим межузловыми проводимостя-ми. Иными словами, в (1.39) необходимо будет провести конкретиза­цию — замену вида

Пусть электрические величины заданы » каких-либо конкретны\ единицах, например сименсах, и имеют такие значения. ;/,, -, у_г2 = 3; y_i2 — — 1; Ун = — 1. Учитыпая выражения (1.40) и их конкретизацию, подставляявсе это в (1.39), получаем

Выражение вида (1.41) уже можно использовать для проведения конкретных ЭВМ-расчетов при решении задач схемотехнического ана­лиза средствами САПР [22, 23].

Над гиперкомплексными матрицами могут выполняться соответ­ствующие операции, порядок реализации и содержание которых огова­риваются по мере необходимости. В общем случае процедура реализа­ции ГДС-операции, напримео над матрицей Y. записывается и виде

где Р!|^Л) — ГДС-опсратор, вкотором индексА обозначает качествен­ную разновидность оператора (тип), а индекс п — частный вариант оператора данного типа; У — результат выполнения операции Р^' над исходной матрицей У.

Более детально, с конкретными примерами реализация ГДС-опсра-ций изложена в [151. Реализация процесса формализации, введете символики, определение порядка гнперкомплексных операций и из­ложение их закономерностей объединяются в теории ГДС в одно напра­вление, названное систематикой (синтез двух слов: «система» и «мате­матика»), в которой в качестве обобщенной символической величины, используемой для обозначения ГДС-величип и удобной для реализа­ции ГДС-операций, введено понятие М-числа [151. Эт число, как и иге системные понятия, обладает полным набором ГДС-свойств, подчиня­ется ГДС-закономериостям. Для М-числа есть единственная операция (на высшем, метатеоретическом уровне) — гиперкомплексное взаимо­действие, которое, например, при дискретном описании М-числа, пере­ходит в операцию гиперкомплексиого сложения для ГДС-матриц.

Анализ свойства М-числа показал,что из него, путем наложения ог­раничений, можно получить в виде частных случаев ряд разновидностей чисел и других абстрактных понятий, используемых в классической математике для символического отображения математических объектов: действительные, гипердействительные, комплексные, гиперкомплекс­ные, сюрреальные числа, понятия вектора, точки, категории, группы и т. д. 115, 191.