2. Похідні елементарних функцій

Похідна сталої функції. Похідна функції, депривиражається формулою.

Доведення.

.

Похідна степеневої функції. Область визначенняцієї функції залежить від. Візьмемо довільну відмінну від нуля внутрішню точкуобласті визначення. Тоді

.

Зауваження.Якщо, то легко безпосередньо одержати значення похідної при. Отже, для будь-якої точки, де- область визначення функції, маємо:.

Приклади.

Похідна показникової функції.

Приклади.

Похідна логарифмічної функції.

Зокрема, якщо , то.

Похідні тригонометричних функцій.

Нехай . Тоді

Аналогічно доводиться, що функція має похідну.

Якщо , то

Аналогічно доводиться, що функція

має похідну.

3. Похідна оберненої функції.

Теорема. Нехай функціязадовольняє всі умови теореми про існування оберненої функції і в точцімає похідну. Тоді обернена до неї функціяу точцімає похідну і

.

Доведення.Надамо значеннюдеякий приріст. Тоді функціяодержить відповідний приріст. Оскільки, то за однозначністю функції,. Отже,.

Якщо , то за неперервністю функції. Звідси маємо

.

Похідні обернених тригонометричних функцій. Нехай маємо функцію. За означенням функції

.

Згідно теореми про похідну оберненої функції

.

Зауваження.Тут враховано, що привиконуються співвідношення, тобто. Отже,, а тому. Точкине розглядаються, так які.

Аналогічно одержуються похідні інших обернених тригонометричних функцій:

ЛЕКЦІЯ 17

13. Диференціал функції.

14. Похідні вищих порядків.

15. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

16. Диференціали вищих порядків.

1. Диференціал функції

Нехай функція диференційована в точці. Тоді її приріст у цій точці можна подати у вигляді

,

де при. Отже, доданокє головною частиною приросту функції, яка лінійно залежить від.

Диференціалом функції в точціназивається головна частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від.

Диференціал функції позначається так:

.

Враховуючи, що , маємо

.

Диференціалом незалежної змінної називається її приріст:.

Отже,

.

Із останньої формули випливає, що похідну можна обчислити як відношення диференціалів:

.

Диференціал функції має наступний геометричний зміст. Нехай точка (рис. 21) на графіку функціїмає координати, де.

Пряма - дотична до графіка функції в точці. Тоді приріств точці, який відповідає приростуаргументу, рівний величині відрізка. Оскількиі, то, враховуючи, що, маємо: диференціалфункціїв точцідорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функціїв точці з абсцисою, тобто дорівнює величині відрізка.

Оскільки диференціал функціїє головною частиною її приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в наближених обчисленнях: із наближеної рівності, тобто

.

Отже

(1)

Приклад.Знайти наближено.

Розв'язування. Розглянемо функцію. Покладемо. Тоді. Далі маємо.

Отже, .

Якщо функції диференційовані, то мають місце наступні формули:

,

,

,

.

Нехай тепер маємо складену функцію , дедиференційовані функції в точкахі. Тоді

.

Так як

,

то

.

Оскільки , то маємо.

Таким чином, якщо функція складена, то форма диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають інваріантністю форми диференціалу.