Лекція 11

Взаємне розташування прямої та площини. Дві прямі в просторі.

План.

1. Пряма і площина в просторі. Кут між прямою та площиною.

2. Взаємне розташування двох прямих в просторі.

3. Рівняння спільного перпендикуляра. Відстань між двома мимобіжними прямими.

4. Задачі.

1.Дослідимо, як розташовані в просторі деяка прямата площина, знаючи рівняння цих фігур:

: ,: ^.

Пряма буде паралельною до площини, якщо вектор, який паралельний до прямої, буде також паралельним до площини. Використовуючи умову паралельності вектора до площини, дістаємо

. (1)

Одержана рівність є необхідною і достатньою умовою паралельності прямої та площини. Якщо, крім умови (1), точкапрямоїналежить також площині, тобто виконується рівність, то пряманалежить площині. Якщо умова (1) не виконується, то пряма та площина перетинаються. При необхідності їх точку перетину можна знайти, розв’язавши відповідну систему рівнянь.

Нехай система координат прямокутника декартова та прямаперетинає площину. Якщо при цьому вектор, який паралельний до прямої, та векторякий перпендикулярний до площини, будуть колінеарними, тобто,якщо виконуються рівності , топряма буде перпендикулярною до площини. У цьому випадку кут, який вона утворює з площиною, дорівнює (рис. 1).

Нехай прямане перпендикулярна до площини. Знайдемокут між прямою та площиною, тобто гострий кут між прямою та її ортогональною проекцією на площину – прямою(на рис. 2 - це кутміж прямимита). Щоб визначити даний кут скористаємося векторамита. Позначивши кут між ними через, дістаємо

.

Оскільки у випадку, коли кут- гострий та, якщо кут-тупий, то в обох випадках дістаємо

звідки

.

2.Як відомо, дві прямі в просторі можуть бути паралельними (зокрема співпадати), перетинатися або бути мимобіжними. Встановимо, як розпізнавати ці випадки, якщо кожна з двох прямихзадана точкоюяка належить прямій, та напрямним вектором.

Очевидно, що випадок, коли обидві прямі лежать в одній площині (тобто прямі паралельні або перетинаються ), чи мимобіжні, залежить від того компланарні, чи ні векторита(рис. 3). Нагадаємо, що необхідною та достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їхнього мішаного добутку. Тому розглянемо число

Рис. 3

.

Якщо , товектори,такомпланарні, томупрямі та лежать в одній площині.Якщопри цьому векторитаколінеарні, тобтовиконуються умови

,(2)

то .

Якщо , а умова (2) не виконується,то прямі таперетинаються. Прямітаможуть співпадати, якщо крім умови (2) виконується також рівність

яка означає, що точка на другій прямій одночасно належить також і першій прямій.

Якщо ,товектори,тане компланарні, апрямі тамимобіжні.

Кутом між двома мимобіжними прямими в просторі називають кут між двома прямими, які проходять через деяку спільну точку і паралельні до заданих прямих. У випадку аналітичного задання мимобіжних прямих такутміж ними шукають як кут між їхніми напрямними векторамита

.

3.Нехай дві мимобіжні прямі задані своїми канонічними рівняннями:

:.

Поставимо задачу відшукання рівнянняспільного перпендикуляра до цихпрямих, тобто рівняння прямої, яка перетинає задані прямі та перпендикулярна до них. Водночас виведемо співвідношення для відшукання відстаніміж цими прямими. Існування та єдиність спільного перпендикуляра обґрунтовується в шкільному курсі геометрії. Для побудови спільного перпендикуляра до прямихтачерез прямупроведемо площину, яка паралельна до прямої. Для цього використаємо точкута вектори, які паралельні до. Аналітично рівняння площинизапишеться у виді рівності. Нехай після необхідних обчислень одержане рівняння запишеться у виді. Позначимо черезвектор, який перпендикулярний до площини. Після цього проведемо дві площинита, кожна з яких перпендикулярна до площинита проходить через прямітавідповідно. При цьому площинавизначається точкоюта паралельними до неї векторамита, а площина- точкоюта паралельними до неї векторамита. Рівняння площинтаможна записати у виді рівностей

,.

Пряма , по якій перетинаються площинита, буде шуканим спільним перпендикуляром до прямихта(рис. 4). Рівняння спільного перпендикуляра до прямихтаможна одержати у вигляді системи рівнянь, які задають площинита.

Відстань між прямимитаможна знайти, як відстань від точкидо площини, тобто

.

4.Розглянемо приклади розв’язання задач:

Задача 1. Знайти точку, симетричну точцівідносно площини, заданої рівнянням.

Розв’язання.Складемо параметричні рівняння прямої, яка перпендикулярна до площини Для цього використаємо точкута вектор, який, будучи перпендикулярним до площини, буде паралельним до прямої. Дістаємо

.

Розв’язуючи систему рівнянь

,

знаходимо ,Знайдена точкає точкою перетину прямоїіз заданою площиною. Нехай- точка, симетрична точцівідносно площини. Тоді точкабуде серединою відрізка. Із рівностейдістаємо.

Відповідь.

Задача 2.На якій відстані від початку координат проходить пряма:?

Розв’язання. Проведемо через точкуплощинуперпендикулярно до заданої прямої та знайдемо точкуперетину прямоїіз. Очевидно, що вектор, який паралельний до прямої, буде перпендикулярним до, тому рівняннязапишеться у видіЗапишемо рівнянняу параметричному виді та розв’яжемо систему рівнянь

Дістаємо Отже,. Довжина відрізкає шуканою відстанню. Відповідь

Задача 3.Знайти відстань між діагоналлю куба та мимобіжною діагоналлю однієї з його граней, якщо ребро куба рівне 1. Встановити, які з точок діагоналей знаходяться на даній відстані.

Розв’язання. Нехай- заданий куб. Знайдемо відстань між мимобіжними прямимита. Для цього введемо у розгляд прямокутну декартову систему координат, вибравши за початок координат точкута спрямувавши осітавідповідно у напрямку реберта. Знаходимо координати необхідних точок:та векторів:. Через діагональпроведемо площину, яка паралельна до прямої. Її рівняння запишеться у видіабо. Знаходимо відстаньвід точкидо площини:. Це і є шукана відстань. Щоб дати відповідь на питання, які з точок діагоналей знаходяться на даній відстані, складемо рівняння спільного перпендикуляра до прямихта. Для цього складемо рівняння площинта, кожна з яких перпендикулярна до площинита проходить через прямітавідповідно. Дістаємо:,:, звідки,. Таким чином, рівняння спільного перпендикуляра до прямихтазапишеться у виді. Дана пряма перетинає діагональв точці, оскільки для всіх точок прямої, а діагональ, для кожної точки якої,- у точці.