60

Тому формули (1) набувають виду

За отриманими співвідношеннями змінюються координати точки при повороті прямокутної декартової системи навколо початку координат на кут (рис. 3). Їх називаютьформулами повороту . Зауважимо, що у цьому випадку визначник матриці переходу від базису до базисурівний. Крім цього, оскільки базисні векториодиничні та взаємно перпендикулярні, то1,. Тому елементи матрицізадовольняють умови

.

Матриці, елементи яких задовольняють вказані умови, називають ортогональними.

2. Розглянемо в просторі дві довільні системи координат, перша з яких задається точкою та базисом , а друга – точкоюта базисом. Нехай координатами деякої точкивідносно першої системи є числата, а відносно другої -та. Знайдемо зв'язок між цими числами. Нехай точкамає координати, а векторивиражаються через базису вигляді рівностей:,,. Матрицюназивають матрицею переходу від базисудо базису. Зауважимо, що, інакше її стовпці були б лінійно залежними, що суперечить лінійній незалежності векторів.

Із векторної рівності аналогічно, як у випадку площини, дістаємо

,

звідки, прирівнюючи коефіцієнти біля базисних векторів, отримуємо

(2)

Співвідношення (2) виражають зв'язок між координатами точки в різних просторових системах координат. При із формул (2) дістаємо

Одержані співвідношення називають формулами паралельного перенесення в просторі.

3. Розглянемо на координатній площині деяку лінію , атакож рівняння. Домовимось називати дане рівняння рівнянням лінії , якщо кожний розв’язокрівняння задає точку на лінії, а також координати кожної точкина лініїзадовольняють дане рівняння. В курсі аналітичної геометрії вивчають тільки деякі із ліній, зокрема ті, які найчастіше зустрічаються в практичній діяльності. - так званіалгебраїчні лінії першого та другого порядків.

Означення 1. Лінію будемо називати алгебраїчною, якщо в деякій афінній системі координат її рівняння можна задати у вигляді рівності

(3)

де - деякі числові коефіцієнти, а показники степенів- натуральні числа або нулі.

Сума називаєтьсястепенем відповідного доданка. Найбільший із степенів доданків називають порядком лінії. Наприклад, рівняння є рівнянням алгебраїчної лінії четвертого порядку. Відомі з шкільного курсу математики коло та парабола є алгебраїчними лініями другого порядку (нагадаємо, що рівняння цих ліній мають вигляд).

Покажемо, що порядок лінії інваріантний відносно вибору афінної системи координат, тобто однаковий в різних системах координат. Після переходу до іншої системи координат рівняння (3), враховуючи рівності (1), набуде виду

. (4)

Оскільки степінь кожного із доданків в отриманій рівності не перевищує степеня відповідного доданка в рівності (3), то порядок лінії, заданої рівністю (4), не перевищує порядку лінії, заданої рівністю (3). Водночас, оскільки , то, розв’язавши систему (1) відносно, дістанемо аналогічні до (1) лінійні рівності, які виражають зміннічерез змінні. Тому підстановка їх в співвідношення (4) приводить до рівняння лінії, порядок якої не перевищує порядку лінії (4). Таким чином, порядки ліній, заданих рівняннями (3) та (4), однакові.

4. Нехай в просторі задана деяка поверхня . Рівняння. домовимось називати рівнянням поверхні ,якщо кожний розв’язок рівняння задає точку на поверхні, а також координати кожної точкина поверхнізадовольняють дане рівняння.

Означення 2. Поверхню будемо називатиалгебраїчною, якщо у деякій афінній системі координат її рівняння можна задати у вигляді рівності

(5)

де- деякі числові коефіцієнти, показники степенів- натуральні числа або нулі.

Сума називаєтьсястепенем відповідного доданка.

Найбільший із степенів доданків називають порядком поверхні.

Аналогічно, як і у попередньому випадку, можна довести, що порядок поверхні не залежить від вибору афінної системи координат, тобто є її інваріантом. В курсі аналітичної геометрії вивчаються поверхні першого та другого порядків.

Виведемо рівняння сфери з центром у точці , радіус якої дорівнює(рис. 4).

Нехай точка належить поверхні. Оскільки, то, використавши формулу відстані між двома точками, дістаємо

, (6)

звідки

. (7)

Навпаки, нехай - один із розв’язків рівняння (7) та- відповідна точка. Тоді цей розв’зок буде також розв’язком рівняння (6), тобто. Такимчином, точка лежить на сфері. Рівняння (7) називаютьрівнянням сфери. Очевидно, що сфера – це алгебраїчна поверхня другого порядку.

5. Наведемо приклади деяких задач, відшукання розв’язків яких пов’язане із використанням розглянутого теоретичного матеріалу.

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які дотикаються до осі та до кола.

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок (рис. 5). Тоді відстань від неї до осібуде рівна, а відстань від неї до центра заданого кола (точки) дорівнюватиме. Оскільки радіус заданого кола рівний 2, а змінного кола, то дістаємо рівність=+2. Перетворюючи одержане рівняння та враховуючи те, що за змістом задачі, дістаємо, звідки, або. Очевидно, що шукана множина точок утворює параболу.

Відповідь: парабола .

Задача 2. Дослідити множину точок площини, відношення відстаней від кожної з яких до заданої точки та точкидорівнює 2.

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок. Тоді відстань від неї до точкибуде рівна, а відстань від неї до точкидорівнюватиме. Оскільки за умовою задачі, то=2, звідки після очевидних перетворень дістаємо рівняння, або.

Відповідь: шукана множина точок утворює коло з центром у точці , радіус якого 4.

Задача 3. Встановити, як розташовані в просторі дві сфери, задані рівняннями та.

Розв’язання. Перетворимо перше рівняння до виду . Це дозволяє встановити, що центр першої сфери знаходиться у точці, а її радіус дорівнює. Оскільки центр другої сфери знаходиться у точці, а її радіус рівний, то відстань між центрами сфер, що більше, ніж сума радіусів. Отже, сфери не перетинаються, не дотикаються та розташовані одна зовні другої.

Лекція 7

Пряма на площині. Різні способи задання прямої на площині.

План.

1. Геометричні образи рівняння першого степеня з двома змінними.

2. Різні способи задання прямої на площині.

3. Частинні випадки загального рівняння прямої.

4. Приклади.

1. Дослідимо, які геометричні образи відповідають рівнянню першого степеня з двома змінними, тобто рівнянню , в якому хоча б один із коефіцієнтів біля змінних та відмінний від нуля (цю умову записують у видіабо). Покажемо, що в довільній афінній системі координат рівняння першого степеня

(1)

визначає деяку пряму. Нехай - фіксований та- довільний розв’язки рівняння (1). Віднімаючи від рівняння (1) рівність, дістаємо. Одержану рівність можна записати у виді

, (2)

(тут – деяке число). Введемо в розгляд точки,та вектор. Тоді співвідношення (2) можна замінити векторною рівністю. Оскільки для кожної точкивекторзалишається колінеарним сталому вектору, то всі такі точки належать прямій, що проходить через точкута паралельна вектору.

Розглянемо основні способи задання прямої на площині.

2

Рис. 1

. Нехай деяка пряма задана на координатній площині точкоюта паралельним до неї вектором(рис. 1). Такий вектор називаютьнапрямним вектором прямої. Тоді для довільної точки на прямій із колінеарності векторівтавипливає, що, або в координатній формі, звідки

(3)

Очевидно, що одержане рівняння є рівнянням першого степеня. Його називають канонічним рівнянням прямої.

Нехай пряма задана двома точками та.Для того, щоб скласти її рівняння, скористаємось співвідношенням (3), замінивши точкуточкою, та взявши замість векторавектор. Отримуємо

_. (4)

Одержане рівняння називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

Прирівнявши відношення в рівності (3) до параметра , отримаємо,, звідки

. (5)

Дані рівності називають параметричними рівняннями прямої. Якщо напрямний вектор - одиничний, тобто, то із рівності (5) дістанемо

,

тобто у цьому випадку модуль параметра має цілком конкретний геометричний зміст - це відстань між точкамитана заданій прямій.

Нехай прямаd відтинає на координатних осях тавідрізки з довжинамита (рис. 2). Тоді на прямій будуть відомі дві точки таі ми можемо скористатись рівністю (2). Дістаємо, або. Розділивши одержану рівність на, дістанемо

. (6)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої у відрізках на осях.

Нехай система координат прямокутна декартова, а прямаd задається в ній точкою та перпендикулярним до неї вектором(рис. 3). Такий вектор називають вектором нормалі до прямої або нормальним вектором. Точканалежить прямійd тоді і тільки тоді, коли вектори табудуть перпендикулярні, тобто тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток рівний нулю. З рівностідістаємо

(7)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до даного напрямку.

Нехай прямаутворює з додатнім напрямком осіОх кут ( система координат вважається прямокутною декартовою) та проходить через точку(рис. 4). Знайдемо напрямний вектордо прямої. Очевидно що за допомогою кутайого координати можна виразити рівностями. Скориставшись рівнянням (3), дістанемо, звідки

, (8)

або

, ()

де . Рівняння (8) або () називаютьрівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі. Очевидно, що рівняння прямих, які перпендикулярні до осі, у вигляді (8) подати не можна.

Розглянуті нами вище варіанти різних способів задання прямої в усіх випадках проводять до рівняння прямої у виді (1). Тому рівняння називаютьзагальним рівнянням прямої.

В якому виді записувати рівняння прямої залежить від задачі, яка розв’язується. Наприклад, якщо трикутник заданий координатами своїх вершин, то рівняння медіан легко отримати, користуючись рівнянням прямої, що проходить через дві точки. Для того, щоб скласти рівняння висот, доцільно використовувати рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора. В ролі останнього досить взяти вектор, який сполучає дві інші вершини трикутника. При написанні рівняння бісектриси трикутника можна скористатися її напрямним вектором , абоде- вектори, які побудовані на сторонах трикутника і виходять із спільної вершини. В обох випадках вектор, як вектор суми двох рівних за довжиною векторів, співпадає з діагоналлю ромба, яка, як відомо, є бісектрисою його кута.

Водночас зауважимо, що у виді (3) не записують рівняння прямих, якщо одна із координат напрямного вектора рівна 0. У виді (4) не записують рівняння прямих, що проходять через дві точки з рівними абсцисами або ординатами. У вигляді (8) не можна записати рівняння прямих, які перпендикулярні до осі .

3. Розглянемо частинні випадки рівняння (1), коли деякі із коефіцієнтів рівняння рівні нулю. Отже, нехай рівняння прямої задано у виді .

При рівняння прямої запишеться у вигляді. Очевидно, що пряма проходить через початок координат.

Нехай . Рівняння прямої запишеться у виглядіі, оскільки(рівняння прямої є рівнянням першого степеня, томутаодночасно не можуть дорівнювати нулю), тоВ цьому випадку для всіх точок прямої ординати рівні, а абсцисидовільні, тому пряма проходить через точкуна осіпаралельно до осі. Якщо,то прямапроходить через початок координат і паралельна до осі, тобто рівнянняє рівнянням осіОх.

Аналогічно, при рівняння прямої запишеться у видіабоі визначає пряму, яка проходить через точкуна осіта паралельна до осі. Придістанемо рівняння, яке є рівнянням осі.

Зауважимо, що в загальному рівнянні прямої коефіцієнти біля зміннихх та у мають конкретний геометричний зміст: вони визначають координати вектора, який паралельний до прямої – це вектор , а у випадку прямокутної декартової системи координат вектор перпендикулярний до прямої.

4.Наведемо приклади задач, які розв’язуються за допомогою отриманих вище співвідношень.

Задача 1.Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні , рахуючи від вершини.

Р

Рис.5

озв’язання. Нехай задано трикутник ОВС. Виберемо систему координат у вигляді репера (рис.5). Тоді точки,табудуть серединами сторінтавідповідно. Складемо рівняння медіанта, користуючись рівнянням прямої у відрізках на осях. Дістаємоабо,або. Нехай прямі перетинаються у точці . Її координати ми знайдемо із системи, розв’язуючи яку, дістаємо. Рівняння медіаниможна шукати у виді, оскільки прямапроходить через початок координат і не співпадає з віссю. Підставляючи координати точки, дістаємо , тобто. Отже, рівняння медіанимає вигляд. Підставляючи знайдені вище координати точкив одержане рівняння, переконуємось у тому, що точканалежить медіані, тобто медіани перетинаються в одній точці. Порівнюючи координати векторівта, бачимо, що. Аналогічно встановлюємо, що,. Задача розв’язана. Зауважимо, що в лекції 4 ми наводили векторний спосіб розв’язання даної задачі. Те, що ми ще раз повернулися до неї зроблено тільки з метою показати нові можливі способи її розв’язання методами аналітичної геометрії.

Задача 2. Знайти ортоцентр (точку перетину висот) трикутника з вершинами у точках ,, та.

Розв’язання. Рівняння висоти складемо, знаючи вершинуА та знайшовши вектор , який перпендикулярний до висоти. Скориставшись співвідношенням (7), дістаємоабоАналогічно, знайшовши вектор, дістаємо рівняння висоти:або. Ортоцентр (точку) знаходимо, розв’язавши систему рівнянь

Відповідь: .

Задача 3. Знайти сторону квадрата, вписаного в прямокутний трикутник з катетами , знаючи, що дві сторони квадрата належать катетам трикутника.

Розв’язання. Нехай сторона квадрата рівна . Введемо в розгляд систему координат, вибравши початок координат у вершині прямого кута та спрямувавши координатні осі вздовж катетів трикутника. Скориставшись рівнянням прямої у відрізках на осях, запишемо рівняння гіпотенузи у виді Оскільки вершина квадрата, яка належить гіпотенузі, має координати то виконується рівністьзвідки.

Відповідь: .