Лекція 23

Загальне рівняння поверхні другого порядку.

План.

1. Поняття загального рівняння поверхні другого порядку.

2. Перетин поверхні з прямою. Частинні випадки.

3. Центр поверхні.

4. Рівняння дотичної площини та нормалі.

1.Розглянемо поверхню другого порядку, задану рівнянням

, (1)

де - деякі дійсні числові коефіцієнти, причому коефіцієнтиодночасно не дорівнюють нулю.

Доданки називаютьгрупою старших членів, або квадратичною формою, вираз-лінійною частиною, число-вільним членомрівняння.

Рівняння (1) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку, оскільки з нього можна отримати будь-яке конкретне рівняння другого порядку. З поверхнями, рівняння яких є частинними випадками рівняння (1), ми уже зустрічалися в попередніх лекціях. Такими є сфера із центром у точцііз радіусом, еліпсоїд, одно- та двопорожнинні гіперболоїди, еліптичний та гіперболічний параболоїдита інші. Природно виникає питання, чи всі можливі поверхні другого порядку ми розглянули? Приклад поверхні, яка задається рівнянням, показує, що ні. Справді, записавши дане рівняння у виді, бачимо, що його не задовольняють координати жодної точки. Можна навести також інші приклади рівнянь поверхонь, які ми ще не розглядали.

Оскільки рівняння (1) містить 10 коефіцієнтів, які визначаються з точністю до сталого множника, то поверхня другого порядку задається не більше, ніж 9-ма точками. В деяких випадках їх кількість може бути меншою. Наприклад, сферу можна задати 4-ма точками, які їй належать. Меншою кількістю точок визначаються параболоїди.

Введемо в розгляд символи та, означивши їх рівностями

,

,

,

а також

,,.

Вираз є половиною похідної від функціїпо змінній, якщо зміннітапри цьому вважати сталими. Аналогічно,та- це половини похідних від функціїпо зміннихтавідповідно при умові, що дві інші змінні вважаються сталими.

Найближчими нашими задачами буде дослідження властивостей поверхонь, заданих загальним рівнянням, вивчення особливостей їх розташування відносно системи координат, а також дослідження питання, скільки та які різні види поверхонь може визначати рівняння (1).

2.Перетнемо поверхню другого порядкупрямою, яка проходить через деяку точкупаралельно до вектора. Запишемо параметричні рівняння прямоїу виді

(2)

та знайдемо точки перетину поверхні та прямої. Дістаємо систему рівнянь (1), (2), розв’язуючи яку відносно змінної, отримуємо квадратне рівняння

, (3)

де

,

,Дослідимо особливості взаємного розташування поверхніта прямоїу випадках, коли деякі з коефіцієнтів рівняння (3) перетворюються в нуль.

1. Нехай . Одному із коренів рівняння, який рівний нулю, відповідає точка. Тому у цьому випадку одна із точок перетину поверхніта прямоїспівпадає з точкою(рис. 1).

2. Нехайта рівняннямає два дійсні корені. Цим кореням відповідають дві точки, які належать заданій поверхні та прямій – це точки. У цьому випадку точкає серединою хорди(рис. 2). Якщо дане рівняння має два уявні корені, то пряма буде перетинати поверхню у двох уявних точках, а точкабуде серединою уявної хорди.

3. Нехай . Рівняннямає єдиний корінь, який визначає першу із точок перетину. Щоб зрозуміти особливість розташування другої точки перетину доцільно дослідити, як змінюється другий корінь рівняння (3) при. У лекції 18, де досліджувались аналогічні питання взаємного розташування лінії другого порядку та прямої, було показано, що приабсолютна величина другого кореня прямує до. Згідно із рівностями (2) придруга із точок перетину нескінченно віддаляється від точки. Таку точку ми, аналогічно до попереднього, будемо позначати символомта говорити, що пряма перетинає поверхню у нескінченно віддаленій точці. Напрям прямоїпри цьому будемо називатиасимптотичним.Асимптотичним буде, наприклад, напрям прямої, яка перетинає еліптичний параболоїд та проведена паралельно до його осі симетрії (рис.), або прямої, яка проведена паралельно до твірної конуса (рис.).

4. Випадокє поєднанням розглянутих вище випадків 1, 2. Рівняння (3) матиме видта корені. У цьому випадку прямабуде дотикатись до поверхніу точці(рис. 4).

5. Приточканалежить поверхні, а прямаматиме відносноасимптотичний напрям.

6. Якщо , то рівняння (3) не має розв’язків. У цьому випадку прямане має з поверхнею спільних точок та має відносноасимптотичний напрям.

7. Якщо , то розв’язком рівняння (3) буде довільне дійсне число. Тоді кожна точка прямоїналежить поверхні. Ми зустрічалися із таким випадком, коли говорили про прямолінійні твірні поверхонь другого порядку, всі точки яких належать поверхні.

3.Хордоюповерхні другого порядку назвемо відрізок, який сполучає дві її довільні точки.

Якщо існує точка, в якій усі хорди, які проходять через неї, діляться пополам, то цю точку називають центром поверхні.

Центр поверхні є її центром симетрії, оскільки разом із будь-якою точкою поверхні їй належить також точка, симетрична даній відносно центра.

Розглянемо питання відшукання центра поверхні, заданої рівнянням (1). Як ми знаємо, умовою того, щоб точка була серединою хорд, які проходить через неї, згідно пунктом 2), є виконання рівності

для довільного напрямку, який задається вектором . Тому для відшукання центра лінії дістаємо систему рівнянь

. (4)

Існування та кількість розв’язків системи (4) залежить від її визначника .

Якщо , то система (4) має єдиний розв’язок. У цьому випадку поверхнямає єдиний центр і її називаютьцентральною. Прикладами таких поверхонь є еліпсоїд, одно та двопорожнинний гіперболоїд, конус.

Якщо , то система (4) має безліч, або не має жодного розв’язку. Поверхнюу цьому випадку називаютьнецентральною. Прикладами поверхонь, які не мають жодного центра, є еліптичний та гіперболічний параболоїди, параболічний циліндр. Якщо система (4) має безліч розв’язків, то в залежності від рангу її матриці відповідні розвя’зкам точки утворюють пряму або площину. Еліптичний та гіперболічний циліндри мають пряму центрів, а поверхня, яка вироджується у дві паралельні площини – площину центрів. Ця площина проходить паралельно до даних двох площин та знаходиться від них на однаковій відстані.

Приклад 1.Знайти центри поверхні, заданої рівнянням.

Розв’язання.Складемо та розв’яжемо систему рівнянь. Дістаємо, звідки. Отже, задана поверхня має єдиний центр, який знаходиться у точці.

4.Згідно з попереднім, прямабуде дотичною до поверхні, якщо для рівняння, яке характеризує перетин прямоїз поверхнею, виконуються умови. Нехай точканалежить поверхні, тобто. Всі прямі, які проходять через точкута дотикаються до поверхні, утворюють площину, оскільки незалежно від напрямку векторавони перпендикулярні до сталого вектора. Справді, з рівності, яку можна записати у виді

,

випливає, що . Цю площину називаютьдотичною площиноюдо поверхні. Знайдемо рівняння такої площини. Оскільки відомий вектор, який перпендикулярний до площини, а також точка, яка їй належить, то рівняння дотичної площини запишеться у виді

. (5)

Нормаллю до поверхні, проведеній в деякій її точці, називають пряму, яка перпендикулярна до дотичної площини у цій же точці. Оскільки векторпаралельний до нормалі, яка проведена у точці, то рівняння останньої запишеться у виді

. (6)

Приклад 2.На поверхнізнайти точки, в яких нормаль буде паралельною до осі.

Розв’язання.Оскільки векторпаралельний до осі, то. Обчислюємо.

Розв’язуючи системузнаходимо шукані точки:.

Відповідь: .