В) Обчислення визначників n-го порядку
В пункті а) отримано формулу, яка дає можливість обчислення визначника n-го порядку:
де Mij – мінор матриці, який відповідає елементові aij (j=1,2,…,n). Добуток
(-1)i+jMij називають алгебраїчним доповненням елемента аij у визначнику і позначаютьАij .
Теорема 6.1. Визначник матриці А дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого його рядка на їх алгебраїчні доповнення.
.
Доведення.
При і=1 твердження справедливе:
.
Замінивши тепер кожен добуток на А1j, отримаємо:
.
Нехай і>2 . Переставляючи послідовно і-й рядок визначника з кожним, що стоїть над ним, черезі-1 переставлянь отримаємо визначник:
.
(згідно власт. 2), звідки .
Застосуємо до визначника відоме означення, отримаємо
.
Підставимо це значення в detA:
, тобто
Оскільки , то
.
Із того, що , випливає
,
що й треба довести.▲
Оскільки рядки і стовпчики визначника рівноправні, то аналогічний розклад можливий і за елементами довільного стовпчика.
Теорема 6.2. Сума добутків всіх елементів деякого рядка визначника detA на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка дорівнює нулю:
Доведення.
Розкладемо визначник detA за елементами s-го рядка:
Алгебраїчні доповнення Аsj (j=1,2,...,n) не залежать від елементів аsj, тому остання рівність буде справедливою при будь-яких значеннях елементів аsj , зокрема й при аsj = аij (тобто, коли на місці елементів s-го рядка знаходитимуться елементи і-го рядка). Але при аsj=аij визначник detA матиме два однакові рядки і тому дорівнюватиме нулю. Тому
,
що й треба довести. ▲
Ясно, що аналогічний висновок має місце і для розкладу за елементами довільного стовпчика.
Приклад.
Обчислити визначник, розклавши його за елементами 3 рядка:
Чим більше елементів у рядку (чи стовпчику) визначника дорівнюють нулю, тим простішим є розклад визначника за елементами даного рядка. Ясно, що найпростішим є варіант, коли деякий рядок (стовпчик) містить тільки один ненульовий елемент. Цього можна добитися з допомогою виконання над рядками (стовпчиками) визначника відповідних елементарних перетворень. Зокрема, в деякому j-тому стовпчику можна отримати нуль в деякому і-му рядку, якщо відняти від і-го рядка, наприклад, перший рядок, помножений на , чи другий рядок, помножений наі т. д.
Приклад.
Обчислити визначник: .
Розв’язування.
Виберемо 4й стовпчик:
Виберемо 4й рядок: