- •Многочлени
- •§1. Многочлени від однієї змінної Кільце многочленів
- •§2. Подільність многочленів а) Ділення з остачею
- •Б) Ділення многочлена на лінійний двочлен
- •В) Подільність многочленів
- •Властивості подільності
- •Найбільший спільний дільник
- •Найменше спільне кратне
- •Г) Звідність многочленів
- •Д) Корені многочленів
- •§2.Многочлени над числовими полями а)Многочлени над полем с
- •Б) Многочлени над полем r
- •В) Многочлени над полем q
- •§3.Многочлени від багатьох змінних а) Загальні відомості
- •Б) Симетричні многочлени
Лекція 4
Многочлени
§1. Многочлени від однієї змінної Кільце многочленів
Многочленом ( поліномом: поліс – багато, номе – член) від однієї змінної над цілісним кільцем R називається вираз виду anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, де n – довільне ціле невід’ємне число, an, an-1, ..., a1, a0 – елементи цілісного кільця R, x, x2,…, xn-1, xn – деякі символи.
хk називають k-м степенем змінної (невідомого) х, ak – k-м коефіцієнтом многочлена, akxk – k-м членом многочлена (k = 0,1,...,n); a0 називають ще вільним членом.
Позначають многочлени від змінної х малими латинськими буквами: f(x), g(x), q(x),…, множину всіх многочленів від х над цілісним кільцем R – R[x].
Відмінний від нуля член многочлена f(x), степінь якого більший за степінь усіх інших ненульових членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена f(x). Степ інь многочлена f(x) позначають deg f (degree – степінь).
Форму запису многочлена, впорядкованого за спаданням степеня xk, називають канонічною. Елемент a0 називають многочленом нульового степеня, а елемент 0 – нуль-многочленом ( позначають θ(х) = 0).
Нехай задано два многочлени :
f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , aiR, i = 0, 1,…, n,
g(x) = bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0, bjR, j = 0,1,…, m.
Многочлени f(x) і g(x) називають рівними між собою, якщо канонічні форми цих многочленів співпадають, тобто рівними є степені обох многочленів і їх відповідні коефіцієнти.
Сумою многочленів f(x) і g(x) називається многочлен
.
Добутком многочленів f(x) і g(x) називається многочлен
де приi›n, приj›m.
Приклад.
Множина R[x] усіх многочленів над цілісним кільцем R утворює цілісне кільце відносно операцій додавання і множення многочленів.
Дійсно, оскільки додавання і множення многочленів зводиться до виконання аналогічних операцій над їх коефіцієнтами, які є елементами деякого цілісного кільця R, то асоціативність і комутативність додавання і множення многочленів випливають із виконання відповідних властивостей в кільці R. Звідси ж випливає і дистрибутивність множення відносно додавання. Нульовий елемент в множині R[x] існує, це . Отже,R[x] – комутативне кільце. Залишилось показати відсутність дільників нуля. Якщо тоякщотоОтжемає старший коефіцієнт(оскільки вR немає дільників нуля) і тому не є нуль-многочленом, що й треба довести. Таким чином,R[x] – цілісне кільце.▲
§2. Подільність многочленів а) Ділення з остачею
Для розгляду теорії подільності многочленів від однієї змінної цілісне кільце R, якому належать усі коефіцієнти многочленів, потрібно замінити полем Р, для того, щоб для довільного елемента існував обернений елемент , або щоб разом із довільними двома елементами , поля Р до цього ж поля належала і їх частка . Цілісне кільце многочленів від однієї змінної з коефіцієнтами із поляР позначають тепер P[x].
Два різні многочлени із P[x], як правило, не діляться один на одного. Однак для P[x] можна побудувати теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел, якщо операцію ділення многочленів в P[x] замінити більш загальною операцією ділення з остачею.
Вважається, що многочлен ділиться з остачею на многочлен, якщо вP[x] існують такі многочлени s(x) та r(x), що , причому абоr(x)=0, або deg r<deg g.
Теорема (про ділення з остачею).
Довільний многочлен f(x) з кільця P[x] однозначно ділиться з остачею на будь-який ненульовий многочлен з цього кільця.
Доведення.
Встановимо можливість ділення з остачею. Нехай
Якщо f(x)=0, то s(x)=0 і r(x)=0.
Якщо n=deg f<deg g=m, то s(x)=0 і r(x)=f(x).
Нехай nm. Виконаємо доведення методом індукції за n.
При n=0 отримаємо m=0, f(x)=a0, g(x)=b0≠0, тому s(x)=, r(x)=0. Ясно, що s(x)P[x], бо P (ось де потрібна була заміна R на Р, здійснена на початку параграфа).
Припустимо, що теорема вірна для всіх многочленів f(x) степеня, меншого за n, і доведемо її для многочленів степеня n.
Розглянемо многочлен р(х)=f(x)– Cтарші члени обох многочленів справа є рівними аnхn, тобто взаємно знищаться. Тому deg p(x) < n і, за припущенням індукції, p(x) ділиться з остачею на g(x):
p(x)=g(x)·s1(x)+r1(x), де s1(x),r1(x) P[x], r1(x)=0 або deg r1<deg g.
Звідси
f(x) - = g(x)·s1(x)+r1(x), тобто
f(x)=g(x)·s(x)+r(x),
де r(x)=r1(x)P[x], s(x)=s1(x),
причому r(x)=0 або deg r<deg g.
Можливість ділення f(x) на g(x) з остачею доведена.
Покажемо єдиність частки s(x) і остачі r(x). Припустимо, що можливі два варіанти:
f(x)=g(x)∙s(x)+r(x), deg r<deg g ;
f(x)=g(x)∙s*(x)+r*(x), deg r*<deg g.
Віднімемо рівності : g(x)[s(x) – s*(x)]=r*(x) – r(x).
За умовою g(x)0. Якщо б r(x)r*(x), то й s(x)s*(x). Але тоді отримується суперечність, оскільки степінь правої частини менший степеня лівої частини. Отже, r(x)=r*(x). Але тоді і s(x)=s*(x). Таким чином, частка і остача єдині.▲
Наслідок. Кільце P[x] многочленів над полем Р є евклідовим.
На практиці ділення многочленів здійснюють відомим способом „ ділення кутом ”, в основі якого лежить метод, використаний при доведенні теореми про ділення з остачею.
Оскільки частка s(x) і остача r(x) визначаються однозначно, то для їх знаходження можна користуватися і методом невизначених коефіцієнтів, який ґрунтується на прирівнюванні коефіцієнтів при однакових степенях x в лівій і правій частині рівності f(x)=g(x)∙s(x)+r(x), де s(x) шукають у вигляді многочлена із невизначеними коефіцієнтами степеня n–m , а r(x) – степеня m-1.
Приклад.
Поділити f(x) на g(x) і знайти s(x) та r(x):
f(x)=x4-2x3+x-1 , g(x)=x2-2.
1) Ділення кутом:
_x4–2x3 +x –1 |
x2–2 | |||||||
x4 –2x2 |
x2–2x+2 |
| ||||||
_–2x3+2x2 |
|
| ||||||
–2x3 +4x |
|
| ||||||
|
|
_2x2–3x 2x2 –4 | ||||||
|
–3x+3 |
Отже, s(x)=x2–2x+2, r(x)= –3x+3.
2) Ділення методом невизначених коефіцієнтів:
x4–2x3+x–1=(x2–2)(A2x2+A1x+A0)+(B1x+B0)
Отже, s(x)=x2–2x+2, r(x)= –3x+3.