Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
20
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
415.74 Кб
Скачать

Лекція 6

Визначники

§1. Визначники малих порядків

Поняття визначника матриці є загальним. Виникло воно у зв’язку із проблемою виведення формул розв’язків систем лінійних рівнянь.

Якщо задана система двох лінійних рівнянь з двома невідомими

то хоча б один із коефіцієнтів чивідмінний від нуля. Нехай(інакше переставимо рівняння місцями). Для розв’язання системи віднімемо від другого рівняння, помноженого на, перше, помножене на, і отримаємо:

.

Якщо , то.

Підставивши в систему, знайдемо .

Якщо тепер розглянути матрицю із коефіцієнтів системи , то вираз(різниця добутків елементів головної і побічної діагоналей) називаютьвизначником або детермінантом даної матриці і позначають

detA=.

Різниця є визначником матриці , а– визначником матриці.

Тоді ,, тобто,,

де ,,– відповідні визначники.

Розглянемо тепер систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Припустимо, що ця система має розв’язки і – один із її розв’язків. Тоді

справедливі рівності

Помноживши першу рівність на число , другу – на, третю – на, і додавши отримані вирази, матимемо рівність

Коефіцієнт при називаютьвизначником матриці

і позначають det A==.

Правило обчислення додатніх і від’ємних членів визначника третього порядку називають правилом Саррюса і схематично подають так:

Приклад.

=.

Очевидно, що =.

Видно, що права частина виразу для теж є визначником третього порядку. Це визначник матриці, отриманої із матриці А заміною її першого стовпчика стовпчиком вільних членів системи.

Тобто, (приd).

Аналогічно, помноживши рівності початкової системи відповідно на -,-,-і додавши їх, знайдемо вираз для

.

Нарешті, помноживши рівності початкової системи відповідно на -,-,-, знайдемо вираз для.

Приклад.

Розв’язати систему

Розв’язання. =(1+27-8)-(6-6+6)=14.

. ..

=

Відповідь: 1; 2; 3.

§ 2. Визначники n-го порядку а)Поняття визначника n-го порядку

Розглядаючи введені вище визначники другого і третього порядків, встановимо загальне правило побудови визначника довільного n-го порядку.

Визначником матриці першого порядку, утвореної числом, називають число.

Визначником матриці другого порядку називають число

.

Визначником матриці третього порядку називають число

=.

Якщо позначити визначник 3-го порядку (ліва частина) через d, а визначники 2-го порядку (в правій частині) через то матимемоТутє визначником квадратної матриці 2-го порядку, яка утворюється викресленням у матриці 3-го порядку 1 рядка таj–го стовпчика. Отже, щоб знайти визначник матриці 3-го порядку, треба визначники матриць 2-го порядку, що утворюються внаслідок викреслення в даній матриці першого рядка та першого, другого і третього стовпчиків, помножити відповідно на перший, другий і третій елементи першого рядка даної матриці, поставити перед добутками по черзі знаки плюс, мінус і потім додати.

Легко бачити, що за аналогічними правилами можна знайти і визначник матриці 2-го порядку: деі– визначники матрицьівідповідно.

Отримане правило покладене в основу визначення поняття визначника n-го порядку. Вважаючи, що визначники матриць порядків 1,2,3,...,n-1 вже визначені,

приймають таке означення:

визначником матриці n-го порядку називають число

,

де - визначник матриці порядку n-1, яка утворюється внаслідок викреслення в матриці А першого рядка і j-го стовпчика.

Позначають .

Якщо в матриці А викреслити і-й рядок та j-й стовпчик, тобто рядок і стовпчик, на перетині яких знаходиться елемент , то отримається квадратна матриця (n-1)-го порядку, визначник якої називають мінором матриці А, який відповідає елементові , або мінором елементау визначнику, і позначається символом. Тобто,

=.

Тоді .

Звідси випливає означення визначника n-го порядку:

визначником квадратної матриці n-го порядку називають алгебраїчну суму добутків елементів її першого рядка на відповідні їм мінори, взятих почергово із знаками плюс та мінус.

Розглянемо тепер ще один підхід до означення поняття визначника n–го порядку (без використання мінорів).

Теорема. Для довільної квадратної матриці

,

де - кількість інверсій у перестановціз чисел 1,2,...,n, причому підсумування ведеться за всіма n! перестановками із n чисел.

Доведення. Скористаємось методом математичної індукції за n.

Нехай n=2.

Припустимо, що теорема справедлива дляматриць порядкуn-12 і доведемо її справедливість для довільної матриці порядкуn.

За відомою нам формулою

=.

Тут мінор є мінором (n-1)-го порядку, тому, згідно індуктивного припущення, він виражається через свої елементи так:

,

де підсумовування ведеться за всіма перестановками з (n-1) чисел 1,2,…,α1-1,α1+1,…,n.

Із чисел α1,α2,…,αn, крім пар, утворюваних числами α2,α3,…,αn, можна утворити ще тільки пари (α1,α2), (α1,α3),…,(α1,αn), серед яких тільки α1-1 утворюють інверсії, оскільки серед чисел α2,α3,…,αn, менших від α1, є тільки α1-1. Звідси випливає, що N(α1,α2,…,αn) = N(α2,…,αn)+α1-1, і тому

.

Врахувавши вищесказане, отримаємо:

що й треба довести.

Отже, теорема справедлива для всіх натуральних n.▲

Добутки називаютьчленами визначника матриці А. Як видно, кожен член визначника матриці n-го порядку є добутком n елементів матриці, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпчика. Знак, із яким член входить до визначника, визначається кількістю інверсій в перестановці (α12,…,αn), зокрема, парністю цієї перестановки: якщо перестановка парна, то член має знак плюс, якщо непарна – то мінус. Але парність перестановки (α12,…,αn) співпадає із парністю підстановки , де 1-й і 2-й рядки є відповідно 1-ми та 2-ми індексами даного члена визначника. Отже, знак членавизначника визначається парністю підстановки, утвореної індексами його елементів.

Враховуючи вищесказане, сформулюємо ще одне рівносильне попередньому означення визначника n-го порядку.

Визначником матриці n-го порядку називається алгебраїчна сума n! членів, якими є всеможливі добутки елементів матриці, взятих по одному з кожного її рядка і кожного стовпчика, причому член береться із знаком плюс, якщо його індекси утворюють парну підстановку, і мінус – якщо непарну.

Соседние файлы в папке ЛінАлгебра