metodychka
.pdf
приросту xk |
аргументу xk : |
xk u = |
f(x1, . . . , xk−1, xk + |
xk, xk+1, . . . , xm) − |
|
f(x1, . . . , xm). |
Точка M(x1, . . . , xk−1, xk |
+ |
xk, xk+1, . . . , xm) |
належить областi |
|
визначення функцiї f(x1, . . . , xm). Вiдношення |
xk u : xk– функцiя однiєї змiнної xk |
||||
при фiксованiй точцi M(x1, . . . , xm). |
|
|
|
|
|
Означення 4.1 Частинною похiдною функцiї u = f(x1, . . . , xm) по аргументу xk в
точцi M називають lim (Δxk u : xk) (якщо вона iснує).
xk→0
Частинна похiдна позначається будь-яким iз символiв:
∂u |
(M), |
∂f |
(M), u′ |
(M), f′ (M). |
|
|
|||
∂xk |
|
xk |
xk |
|
∂xk |
|
|||
Фiзичний змiст похiдної |
∂f |
(M) швидкiсть змiни функцiї в точцi M в напрямi осi OXk. |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
∂xk |
|
|
|
|
|
xm) − f(x1, . . . , xm) функцiї |
||||
Розглянемо повний прирiст |
u = f(x1 + |
x1, . . . , xm + |
|||||||||||
f(x1, . . . , xm) у внутрiшнiй точцi M(x1, . . . , xm) областi |
визначення, |
u |
функцiя |
||||||||||
аргументiв x1, . . . , xm. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Означення 4.2 Функцiя f(x1, . . . , xm) |
називається |
диференцiйовною |
в точцi |
||||||||||
M(x1, . . . , xm), якщо її повний прирiст в цiй точцi можна подати у виглядi |
|||||||||||||
|
|
u = A1 x1 + A2 |
x2 + . . . + Am xm + α1 x1 + . . . + αm |
xm; |
(7) |
||||||||
де Ai–деякi числа, αi(i = 1, . . . , m) функцiї аргументiв |
xi нескiнченно малi при |
||||||||||||
x1 → 0, . . . , xm → 0 i рiвнi нулю при |
x1 = 0, . . . , |
xm = 0. |
|
|
|||||||||
Умову диференцiйовностi (7) можна подати i в iншiй еквiвалентнiй формi |
|
||||||||||||
|
|
|
|
u = A1 |
x1 + . . . + Am xm + α(ρ), |
|
|
(8) |
|||||
де ρ = |
p |
|
|
вiдстань мiж |
точками |
|
|||||||
(Δx1)2 + . . . + (Δxm)2 |
M(x1, . . . , xm), M1(x1 + |
||||||||||||
x1, . . . , xm + xm), α(ρ) = o(ρ) при ρ → 0, α(0) = 0. |
|
|
|
|
|
||||||||
Теоpема 4.3 Якщо функцiя u = f(x1, . . . , xm) диференцiйована в точцi M, то вона неперервна в цiй точцi.
Обернена теорема невiрна,тобто неперервнiсть функцiї в точцi є тiльки необхiдною умовою диференцiйовностi. Нагадаємо,що для функцiї u = f(x) iснування похiдної в точцi x0 є необхiдною i достатньою умовою диференцiйовностi функцiї в точцi.
Теоpема 4.4 (Необхiдна умова диференцiйовностi) Якщо функцiя u =
f(x1, . . . , xm) диференцiйована в точцi M, то вона має в цiй точцi частиннi
похiднi по кожному аргументу x1, . . . , xm. При цьому ∂u (M) = Ak, k = 1, . . . , m, де
∂xk
Ak–числа iз рiвностi (7) чи (8).
Умову диференцiйованостi (7) можна записати у виглядi
u = |
∂u |
(M)Δx1 |
+ . . . + |
∂u |
(M)Δxm + α1 |
x1 + . . . + αm xm. |
|
|
|||||
∂x1 |
∂xm |
Обернена теорема не вiрна, тобто iснування частинних похiдних не забезпечує диференцiйованостi функцiї.
Теоpема 4.5 (Достатнi умови диференцiйованостi) Якщо функцiя U =
f(x1, . . . , xm) має частиннi похiднi по кожному аргументу x1, . . . , xm в деякому околi точки M, i цi частиннi похiднi неперервнi в точцi M, то функцiя u = f(x1, . . . , xm)
диференцiйована в цiй точцi.
Вiдмiтимо, що неперервнiсть частинних похiдних є тiльки достатньою умовою, але не необхiдною умовою диференцiйованостi функцiї. Функцiя u = f(x, y) визначена в деякiй областi D R2 задає в D поверхню S. Якщо u = f(x, y) диференцiйована в точцi
M0(x0, y0), то в точцi N0(x0, y0, f(x0, y0)) iснує дотична площина до поверхнi S(графiка
цiєї функцiї), причому рiвняння дотичної площини записується у такому виглядi
|
∂U |
|
∂U |
|
|
|||
|
|
(M0)(x − x0) + |
|
|
(M0)(y − y0) − (U − f(x0, y0)) = 0. |
|||
|
∂x |
∂y |
||||||
Означення 4.6 Вектор ~n нормалi до дотичної площини, тобто |
||||||||
|
|
|
|
∂U |
∂U |
|||
|
|
~n = |
|
(M0), |
|
(M0), −1 |
||
|
|
∂x |
∂y |
|||||
називають вектором нормалi(або нормаллю) до поверхнi S в точцi N0(x0, y0, f(x0, y0)).
Теоpема 4.7 Нехай функцiї x1 = ϕ1(t1, . . . , tk), . . . , xm = ϕm(t1, . . . , tk) диференцiйовнi в точцi A(a1, . . . , ak), функцiя u = f(x1, . . . , xm) диференцiйовна у вiдповiднiй точцi
B(b1, . . . , bm), де bi = ϕi(a1, . . . , ak), i = 1, . . . , m.. Тодi складна функцiя u =
f(ϕ1(t1, . . . , tk), . . . , ϕm(t1, . . . , tk)) диференцiйована в точцi A(a1, . . . , an) i її частиннi похiднi в цiй точцi виражаються формулами
|
∂u |
(A) = |
|
∂f |
(B) |
∂ϕ1 |
(A) + |
∂f |
(B) |
∂ϕ2 |
(A) + . . . + |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂ti |
|
|||||||||||||||
|
∂ti |
|
∂x1 |
|
∂ti |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ |
∂f |
(A) |
∂ϕm |
(A) = |
m |
∂f |
(B) |
∂ϕj |
(A)(i = 1, 2, . . . , k). |
(9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂xm |
|
|
|
∂ti |
j=1 |
∂xj |
|
|
∂ti |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Означення 4.8 Диференцiалом |
|
(або |
першим |
диференцiалом) функцiї u |
= |
|||||||||||||||||||
f(x1, . . . , xm) в точцi M називається лiнiйна |
функцiя аргументiв x1, . . . , |
xm |
||||||||||||||||||||||
вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|||||
|
|
|
|
du = |
|
(M)Δx1 + . . . + |
|
(M)Δxm. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂x1 |
∂xm |
|
||||||||||||||||||
Диференцiал dxi незалежної змiнної xi рiвний |
xi. Тодi диференцiал функцiї u = |
||||
f(x1, . . . , xm) в точцi M можна записати : |
|
|
|
||
du = |
∂u |
(M)dx1 + . . . + |
∂u |
(M)dxm. |
(10) |
|
∂x |
||||
|
∂x1 |
|
|
||
Якщо аргументи xi не незалежнi змiннi, а диференцiйовнi функцiї, то dxi диференцiали функцiй xi = ϕi(t1, . . . , tk), але формула (10) має той же вигляд, що i у випадку, коли xi незалежнi змiннi. Така властивiсть диференцiала називається iнварiантнiстю форми першого диференцiала.
Контрольнi запитання i завдання.
1.Дайте означення частинної похiдної функцiї u = f(x1, . . . , xm) по аргументу xi у
внутрiшнiй точцi областi.
2.Дайте означення диференцiйованостi функцiї в данiй точцi. Доведiть еквiвалентнiсть умов диференцiйованостi (7) i (8). Доведiть диференцiйованiсть функцiї u = x1x2 в точцi (0; 0), зобразивши прирiст функцiї в цiй точцi у виглядi
(7).
3.Доведiть,що диференцiйовна в данiй точцi функцiя неперервна в цiй точцi. Приведiть приклад,що обернене твердження невiрне.
4.Сформулюйте теореми про достатнi умови диференцiйованостi.
5.Нехай дана функцiя
0, на осях координат;
U(x, y) = 1, в iнших точках площини .
Вона має такi властивостi: u′x(0; 0) = u′y(0, 0) = 0 в будь-якiй точцi M(x, 0), де
x 6= 0, ∂U∂x = 0, а ∂u∂y не iснує ; в будь-якiй точцi M(0, y), y 6= 0, ∂u∂y = 0, а ∂u∂x не iснує в iнших точках площини ∂u∂x = ∂u∂y = 0(обгрунтуйте цю властивiсть). Разом з тим
функцiя розривна в точцi O(0, 0)(пояснiть чому), а значить i не диференцiйовна в
цiй точцi. Пояснiть iлюзорне "протирiччя" цього прикладу з теоремою про достатнi умови диференцiйовностi.
6.Який геометричний змiст диференцiйовностi функцiї в точцi? Дайте означення дотичної площини до поверхнi u = f(x, y) в точцi M(x0, y0, f(x0, y0)). Напишiть
рiвняння дотичної площини в цiй точцi.
7.Що таке диференцiал функцiї u = f(x1, x2, . . . , xm) в данiй точцi ? Вiд яких
аргументiв вiн залежить?
8.Який геометричний змiст диференцiала функцiї в точцi M(x, y)?
9.Що розумiємо пiд iнварiантнiстю форми першого диференцiала?
4.2Приклади розв’язування задач.
1. Довести, що функцiя
|
x3+y3 |
, x2 + y2 6= 0; |
u = x2+y2 |
||
0, x2 + y2 = 0.
вточцi O(0, 0) має частиннi похiднi,але не диференцiйовна в цiй точцi.
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскiльки xu(0; 0) = x, |
yu(0; 0) = |
y, то lim |
xu |
= 1 = u′ |
(0; 0), |
lim |
yu |
= |
|
y |
|||||||||
|
|
x→0 |
x |
x |
|
y→0 |
|
||
1 = uy′ (0; 0) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отже функцiя має частиннi похiднi |
в точцi(0; 0). |
Доведемо, що |
u(x, y) |
не |
|||||
диференцiйовна в точцi |
O(0; 0). Припустимо протилежне. |
Тодi |
u(0, 0) |
= |
|||||
U(Δx, y) |
− |
u(0, 0) можна подати у виглядi |
u = u′ (0, 0)Δx + u′ (0, 0)Δy + o(ρ), де |
||||||||||||||||||||||||||||
ρ = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, 0) = uy′ (0, 0) = 1, то iз умови диференцiйованостi |
||||||||||||||||||||
|
|
x2 + |
|
y2 |
. Оскiльки ux′ |
||||||||||||||||||||||||||
маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + |
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x + y + o(ρ), |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
y |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x − y = o(p x2 + y2). |
|
|
|||||||||||||||
|
o(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тут |
x2+y2 |
→ 0 при |
|
|
|
|
|
|
y → 0 незалежно одне вiд другого. Покажемо, |
||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|
x → 0, |
|
||||||||||||||||||||||||||
x2+y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
що в нашому випадку це не так. Дiйсно, взявши |
y = k x, k 6= 0 маємо |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + |
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−(k2 + k) |
, k = 0, |
||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x |
|
|
y : |
|
|
x2 + |
y2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + y2 − |
− |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
(k |
2 |
+ 1) |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тобто границя взагалi не iснує. Отже припущення, що функцiя u(x, y) в точцi
O(0; 0) диференцiйовна невiрне.
2. Довести, що функцiя
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
||
U(x, y) = |
|
(x2 |
+ y2) sin |
√ |
x2+y2 |
, |
x2 |
+ y2 |
6= 0; |
|
|
0, |
|
|
|
|
x |
+ y |
= 0. |
має частиннi похiднi в околi точки O(0; 0) i диференцiйовна в цiй точцi, але частиннi похiднi розривнi в точцi O(0; 0).
У всiх точках, крiм O(0; 0), частиннi похiднi обчислюються за правилами
обчислення похiдних , не використовуючи означення частинної похiдної. Тому
ux′ (x, y) |
|
|
|
|
1 |
+ (x2 + y2) cos |
1 |
|
1 |
|
2x |
|
||||||||||
= 2x sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(− |
|
|
) |
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(x2 + y2)3/2 |
|||||||||||
px |
2 |
y2 |
2 |
|
y2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
+1 |
|
|
|
x |
px + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= 2x sin |
|
− |
|
|
|
cos |
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
p |
|
p |
|
p |
|
|
|
||||||||||||||
|
x2 + y2 |
x2 + y2 |
x2 + y2 |
|
|
|||||||||||||||||
при x2 + y2 |
6= 0. В точцi O(0; 0) ця формула втрачає сенс, але це не означає, |
|||||||||||||||||||||
що u′x(0; 0) не iснує. Для знаходження u′x(0; 0) використаємо означення частинної похiдної.Частинний прирiст по x
|
|
|
|
xu(0, 0) = |
x2 sin |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
| x | |
|
||||||
Звiдси lim |
xu(0,0) |
= |
lim |
x sin |
|
1 |
|
= 0, тобто u′ |
(0, 0) = 0 . Аналогiчно |
||
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
x |
x→0 |
| |
x| |
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
одержуємо, що u′y(0, 0) = 0. Доведемо, що функцiя u(x, y) диференцiйовна в точцi
O(0; 0), тобто
u(0, 0) = ux′ (0, 0)Δx + uy′ (0, 0)Δy + o(p |
|
|
|
|
|
|
|
) = εp |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 + y2 |
x2 + |
y2, |
||||||||||||||||||||||||||||
де ε → 0 при |
x → 0, y → 0 Безпосереднiм обчисленнями одержуємо |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
u(0, 0) = (Δx2 + |
|
y2) sin |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + |
y2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
З умови диференцiйовностi маємо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(Δx2 + |
y2) sin |
1 |
|
|
|
|
|
= εp |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Перевiримо, чи ε → 0 при |
x → 0, |
|
|
y → 0. Дiйсно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
lim ε = |
lim |
|
x2 + |
y2 |
|
|
sin |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= 0. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
p |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y→→0 |
y→→0 |
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким чином, |
u(x, y)диференцiйовна |
в |
точцi |
|
O(0; 0). |
Доведемо, |
що ux′ (x, y) |
|||||||||||||||||||||||||
розривна в точцi O(0; 0). Оскiльки |
√ |
x |
|
cos |
√ |
|
1 |
|
|
не має границi при x → 0, y → |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x2+y2 |
x2+y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
0, то u′x(x, y) розривна в точцi O(0; 0). Аналогiчно знаходимо u′y(x, y) в околi точки
O(0; 0) i показуємо, що вона має розрив у цiй точцi. Цей приклад показує, що умова
неперервностi частинних похiдних достатня для диференцiйованостi функцiї, але не необхiдна.
4.3Задачi i вправи для самостiйної роботи
1.Знайдiть частиннi похiднi таких функцiй :
(a)u = x2 + y3 + 3x2y3;
(b)u = xyz + yzx ;
(c)u = sin(xy + yz);
(d)u = coscos xy ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
(e) u = tan (x + y) exp y ; |
|
|
|
||||||||||||||||
(f) u = arcsin |
√ |
x |
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x2+y2 |
|
|
|
||||||||||||||||
(g) u = arctan y ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
(h) u = xy ln(xy); |
|
|
|
|
|||||||||||||||
(i) u = (x )z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(j) u = zx/y; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(k) u = xyz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(l) u = xyyzzx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. Чи iснує частинна похiдна ux′ |
(0, 1) функцiї u = p |
|
? |
||||||||||||||||
1 − x2 − y2 |
|||||||||||||||||||
3. Дослiдiть,чи |
|
|
має функцiя |
u(x, y) частиннi похiднi в точцi (0; 0) i чи |
|||||||||||||||
диференцiйована вона в цiй точцi, якщо: |
|||||||||||||||||||
(a) u = p |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
x2 + y2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
(b) u = p |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
x4 + y4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
(c) u = |
√ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(d) u = p |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y2x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e) u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x4 |
+ y4 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f) u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x3 |
+ y3; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(g) u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x4 |
+ y4; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(h) u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x3 |
+ y3 |
;1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp− |
|
, |
x2 + y2 6= 0; |
|||||||||||||||
(i) u = |
x2+y2 |
||||||||||||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 0. |
|||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(j) u = |
|
x |
sin y; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) u = |
√ |
|
tanh y; |
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l) u = |
√ |
|
tan x; |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4+y4 |
|
|
+ y2 6= 0; |
|||
(m) u = |
x2+y2 |
, |
x2 |
||||||
|
0, |
|
x2 |
|
y2 |
|
. |
||
|
x3+y3 |
|
|
+ |
|
= 0 |
|
||
|
|
|
|x| + |y| 6= 0; |
||||||
(n) u = |x|+|y| |
, |
||||||||
0, |x| + |y| = 0.
4.Складiть рiвняння дотичної площини до поверхнi z = f(x, y) в точцi N(x0; y0; z0),
якщо :
(a) z = xy, |
N(1; 0; 0); |
|
|
|
||
(b) z = x + y2, |
N(0; 1; 1); |
|||||
(c) z = x3 + y3, |
N(1; −1; 0); |
|||||
|
N(1; π ; |
√ |
|
); |
||
(d) z = sin(xy), |
3 |
|||||
2 |
||||||
|
|
3 |
|
|||
(e) z = ex+y, |
N(1; −1; 1) |
|||||
5. Чи є площина z = 0 дотичною в точцi O(0; 0; 0):
(a) до параболоїда обертання z = x2 + y2 ;
p
(b) до конуса z = x2 + y2;
(c)до гiперболiчного параболоїда z = xy?
6.Знайдiть частиннi похiднi складних функцiй(f i g диференцiйовнi):
(a)u = f(x + y, x2 + y2);
(b)u = f(xy , xy );
(c)u = f(x − y, xy);
(d)u = f(xy)g(yz);
(e)u = (f(x − y))g(x−y);
(f)u = f(x − y2, y − x2, xy);
p p √
(g) u = f( x2 + y2, y2 + z2, z2 + x2).
5Частиннi похiднi i диференцiали вищих порядкiв.
5.1Основнi поняття i теореми.
1. Частиннi похiднi вищих порядкiв.
Нехай функцiя u = f(x1, . . . , xm) має частинну похiдну ∂u
∂xi
, i = 1,
ldotsm(вона називається частинною похiдною першого порядку ) в кожнiй точцi
деякого околу точки M.
Означення 5.1 Якщо має в точцi M похiдну по аргументу xk, k = 1, . . . , m,
то ця похiдна називається частинною похiдною другого порядку (або другою частинною похiдною) i позначається одним iз символiв
∂2u |
(M), |
∂2f |
(M), uxkxi |
(M), fxkxi |
(M). |
|
∂xk∂xi |
∂xk∂xi |
|||||
|
|
|
|
Якщо i =6 k, то частинна похiдна другого порядку називається змiшаною. Якщо i = k, то використовуються такi позначення для другої частинної похiдної
∂2u |
(M), |
∂2f |
(M), uxi2 (M), fxi2 (M). |
2 |
2 |
||
∂x |
|
∂x |
|
i |
|
i |
|
Частиннi похiднi третього порядку означаються як похiднi вiд похiдних другого
порядку |
i |
т.д. |
|
Частинна |
|
похiдна n-го |
порядку |
функцiї f(x1, . . . , xm) по |
||||||||||
аргументах |
xi1 , xi2 , . . . , xim позначається |
|
∂nu |
|
i визначається формулою |
|||||||||||||
∂xin |
∂xin−1 ...∂xi1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂nu |
|
|
= |
∂ |
|
( |
|
∂n−1u |
|
). Якщо не всi iндекси i1 |
, i2, . . . , in рiвнi мiж собою, |
|||||
|
∂xi |
∂xi |
...∂xi |
1 |
∂xi |
|
∂xi |
n−1 |
...∂xi |
1 |
||||||||
|
n |
n−1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
то частинну похiдну n-го порядку називають змiшаною.
Теоpема 5.2 Якщо всi змiшанi похiднi n-го порядку функцiї u = f(x1, . . . , xm) iснують в деякому околi точки M0 i неперервнi в точцi M0, то вони не залежать вiд порядку диференцiювання.
Означення 5.3 Функцiя u = f(x1, . . . xm) називається диференцiйовною n раз в точцi M0, якщо всi частиннi похiднi (n−1)-го порядку диференцiйовнi в цiй точцi.
Теоpема 5.4 Якщо u = f(x, y) двiчi диференцiйована в точцi M0(x0, y0), то fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).
2.Диференцiали вищих порядкiв.
Нехай функцiя u(x, y) диференцiйовна в околi точки M0(x0, y0) i двiчi диференцiйовна в точцi M0. Перший диференцiал функцiї
du = ∂u∂x(x, y)dx + ∂u∂y (x, y)dy
залежить вiд чотирьох змiнних x, y, dx, dy. Другий диференцiал(або диференцiал другого порядку)в точцi M0 визначається як диференцiал в точцi M0 вiд першого диференцiала. При цьому повиннi враховуватися такi умови: а)du розглядається
як функцiя тiльки незалежних змiнних x i y, а dx i dy розглядаються як сталi множники; б) при обчисленнi диференцiалiв вiд u′x i u′y прирости незалежних змiнних x i y беруться такими, як у виразi для du, тобто рiвними dx, dy. Тому
d2u(M0) = |
∂2u |
(M0)dx2 |
+ 2 |
∂2u |
(M0)dxdy + |
∂2u |
(M0)dy2, |
|
2 |
∂x∂y |
∂y |
2 |
|||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
||
де dx2 = (dx)2, dy2 = (dy)2. Для зручностi запису введемо символ, який назвемо
оператором частинної похiдної по змiннiй xk : |
|
|
∂ |
|
. Вiдповiдно оператором змiшаної |
||||||||||||||||
|
|
∂xk |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
похiдної (k + l)–го порядку l раз по xj i k раз по xi |
назвемо символ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x+l |
|
|
∂ |
k |
|
∂ |
l |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xik∂xjl |
∂xi |
∂xj |
||||||||||
а символ d = |
∂ |
dx + |
∂ |
dy–оператором диференцiала. Дiя останнього оператора на |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u(x, y) дає перший диференцiал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = |
∂u |
dx + |
|
∂u |
dy |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|||||
dn = ( |
∂ |
dx + |
|
∂ |
dy)n |
оператор n–го диференцiала. Диференцiал n–го порядку |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dnu визначається iндуктивно по формулi
dnu = d(dn−1).
Для диференцiала n–го порядку функцiї u(x, y) справедлива операторна формула
dnu = |
∂ |
∂ |
n |
||
dy u. |
|||||
|
dx + |
|
|||
∂x |
∂y |
||||
Якщо x i y не незалежнi змiннi, а функцiї, диференцiйовнi (потрiбну кiлькiсть разiв) по незалежних змiнних t1, . . . , tk, то другий диференцiал має вигляд:
d2u = ∂x∂ dx + ∂y∂ dy 2 u + ∂u∂xd2x + ∂u∂y d2y,
де dx, dy, d2x, d2y диференцiали функцiй x(t1, . . . , tk), y(t1, . . . , tk). У випадку функцiй m незалежних змiнних u = f(x1, . . . , xm) диференцiал n–го порядку
визначається iндуктивно при виконаннi умов, аналогiчних умовам а),б) для диференцiала першого порядку. Оператор диференцiала має вигляд
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
||||
d = |
|
|
|
dx1 + . . . + |
|
|
|
dxm |
|
|
|
∂x1 |
∂xm |
|
|||||||
i справедлива операторна рiвнiсть |
|
|
|
|
|
|
||||
dnu = |
|
∂ |
|
|
∂ |
m |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
dx1 |
+ . . . + |
|
dxm |
u. |
|||||
∂x1 |
∂xm |
|||||||||
3. Формула Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоpема 5.5 Якщо |
функцiя |
u = |
|
f(x1, . . . , xm) |
диференцiйовна (n |
+ 1)–раз |
|||||||||||
в деякому ε–околi |
точки M(x10, . . . , xm0 ) , |
|
то |
для |
будь-якої точки |
M0(x10 + |
|||||||||||
x1, . . . , xm0 + xm) iз цього околу має мiсце рiвнiсть |
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|||
f(x1 + x1, . . . , xm + xm) − f(x1, . . . , xm) = du(M0) + |
|
d |
u(M0) + . . . + |
||||||||||||||
2! |
|||||||||||||||||
|
+ |
1 |
dnu(M0) + |
1 |
|
dn+1u(N); |
|
|
(11) |
||||||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||
де N–деяка точка,що належить вiдрiзку M0M, dxi |
= |
xi, i = 1, . . . , m. |
|
||||||||||||||
Формула (11) називається формулою Тейлора. |
При n = 0 iз (11) одержуємо |
||||||||||||||||
формулу Лагранжа скiнченних приростiв для функцiї багатьох змiнних. Вираз |
|||||||||||||||||
f(x10, . . . , xm0 ) + du(M0) + . . . + dnu9(M0) = Pn(x1, . . . , xm) |
|
||||||||||||||||
називається многочленом Тейлора. f(M) − Pn(M) |
= Rn+1 залишковий член |
||||||||||||||||
формули Тейлора, Rn+1 = |
|
1 |
|
dn+1u(N) залишковий член, записаний у формi |
|||||||||||||
|
(n+1)! |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лагранжа. Залишковий член може бути записаний i у формi Пеано : Rn+1 = o(ρ).
Формула Тейлора iз залишковим членом у формi Пеано може бути записана при слабших умовах, нiж у теоремi 5.5, зокрема функцiя u = f(x1, . . . , xm) повинна бути n − 1 раз диференцiйована в деякому ε–околi точки M0 i диференцiйована n
раз в самiй точцi M0.
Контрольнi запитання i завдання.
1.Вiдомо, що функцiя u = f(x1, . . . , xm) має всi частиннi похiднi n–го порядку в точцi
M0. Що можна сказати про iснування частинних похiдних нищого порядку в точцi
M0 i в околi цiєї точки?
2.Доведiть, що коли функцiя u = f(x1, . . . , xm) має в деякому околi точки M0 всi частиннi похiднi до n–го порядку i цi частиннi похiднi неперервнi в точцi M0, то функцiя диференцiйована n раз в цiй точцi.
3.Що таке многочлен Тейлора? Чому дорiвнюють частиннi похiднi вiд многочлена
Pn(x1, . . . , xm) в точцi M0?
4.Коли зберiгається iнварiантнiсть форми другого диференцiала функцiї u = f(x, y),
якщо x = x(t1, . . . , tm), y = y(t1, . . . , tm).