Вакарчук І.О. Квантова механіка

а подвiйний комутатор

У загальному випадку динамiчний структурний фактор поблизу його пiка можна зобразити лоренцевою кривою:

q/2π

S(q, ω) = Sq (ω − Eq/~)2 + ( q/2)2 ,

де величина q декремент загасання, який формується рiзними

каналами реакцiй розпаду збудженого стану системи. Iнтеґрал за всiма частотами вiд цього виразу, тобто нульовий момент функцiї S(q, ω), дає, як i повинно бути, статичний стуктурний фактор Sq.

Цей вираз для S(q, ω), тобто для двiчi диференцiального пере-

рiзу розсiяння, має широке застосування, зокрема i в теорiї ядерних реакцiй (вiдомий як формула Брейта–Вiґнера), коли атомне ядро i частинка, що на нього налiтає, тимчасово утворюють разом складне ядро зi своїми рiвнями енерґiї, яке згодом розпадається.

Щодо декременту загасання, то наприклад, у рiдкому 4He вiн

формується ангармонiзмом коливань густини, який можна розглядати як розсiяння i розпад елементарних збуджень, причому

q q5, q → 0.

Розглянемо тепер другий момент динамiчного структурного фактора. Виконуючи розрахунки, аналогiчнi до тих, якi наведено в основному текстi цього параграфа при обчисленнi першого моменту, знаходимо, що

851

представляємо через комутатор iз ˆ i в результатi:

H

Z∞ ω2S(q, ω) dω = ~12 Dρqh[ρ−q

−∞

Цей подвiйний комутатор легко розраховуємо, оскiльки комутатор

величини з ˆ ми вже мали вище i тому

ρ−q H

Тут перший комутатор знову вже є готовий, а другий обчислюємо в один рядок i остаточно, збираючи все разом, одержуємо:

де pˆj оператор iмпульсу j-ої частинки, Φ потенцiальна енер-

ґiя системи.

Можна знайти iнший вираз для другого моменту, якщо знову, починаючи з означення, розрахунок провести так, щоб один раз похiдну за часом брати вiд ρ−q(t), а другий раз “перекинути” її на

−∞

або в явному виглядi

852

Цiкаво знайти класичну межу цього рiвняння. Коли ~ спрямувати до нуля, а оператор pˆj замiнити на класичний iм-

−∞

Допитливий Читач з рiвностi правих частин обох знайдених рiвнянь для другого моменту ω2, способи отримання яких рiзня-

ться лише простим перекиданням похiдної за часом, надибає на низку цiкавих спiввiдношень (див. також виноску на стор. 623).

Приклад 1. Статичний структурний фактор класичної рiдини. Порiвняємо правi частини рiвнянь для другого моменту динамiчного структурного фактора, знайденi в основному текстi, коли ~ → 0, i отримаємо таке рiвнян-

ня:

тут ми скористались тим, що h(qpj )2i = q2T /m, i означенням статичного структурного фактора Sq = hρqρ−qi. Потенцiальну енерґiю записуємо як суму енерґiй попарних мiжчастинкових взаємодiй Φ(|Ri − Rj |), i, j = 1, . . . , N, для

яких використовуємо розклад у ряд Фур’є, i тодi

j Φ = NV X νke−ikRj (−ik) ρ−k,

k6=0

де νk = R e−ikRΦ(R) dR. У результатi наше рiвняння стає таким:

k6=q

β= 1/T обернена температура.

Унульовому наближеннi другим доданком у правiй частинi рiвняння, що мiстить пiдсумовування за хвильовим вектором k, можна знехтувати i знайти

853

Це й є один iз цiкавих результатiв, який ми знайшли фактично “з нiчого” лише простим перекиданням похiдної за часом, обчислюючи другий момент динамiчного структурного фактора S(q, ω). Щобiльше, ми можемо обчислити

й наступне наближення для Sq, якщо припустити, що в цьому наближеннi

√

тричастинковий структурний фактор S3(q1, q2, q3) = Nhρq1 ρq2 ρq3 i можна

розчепити на добуток трьох парних структурних факторiв S3(q1, q2, q3) = Sq1Sq2Sq3 i взяти їх у рiвняннi пiд знаком суми за k в нульовому наближеннi:

k6=q

ρ = N/V густина частинок у системi. Величину Πq можна спростити, якщо

зробити такi перетворення. По-перше, до останнього множника додаємо й вiднiмаємо одиницю. Вираз iз доданою одиницею дорiвнює нулевi внаслiдок непарностi функцiї пiд знаком суми (вiн змiнює знак при замiнi k на (−k)),

а разом iз “мiнус одиницею” цей останнiй множник має структуру першого множника пiд знаком суми. По-друге, робимо замiну k = −(k′ − q), розбиваючи наш вираз на два доданки, i зауважуємо, що один iз них дорiвнює (−Πq). Нарештi, пiсля замiни “нiмого” iндексу пiдсумовування k′ на (−k) остаточно

k+q6=0

Отже, ми знову “з нiчого” знайшли явний вигляд i наступного наближення для парного структурного фактора класичної рiдини.

Для iлюстрацiї обчислимо величину Πq для класичного електронного газу, коли νk = 4πe2/k2, k 6= 0:

k+q6=0

854

=(пiсля замiни в другому доданку k = −(k′ + q)

зпiзнiшим зняттям штриха)

p

де κD = 4πe2βρ так званий обернений радiус Дебая.

Тепер переходимо вiд пiдсумовування за k до iнтеґрування у сферичних координатах, вибираючи вiсь z уздовж вектора q, i пiсля елементарного iн-

теґрування за кутами знаходимо

Приклад 2. Другий момент динамiчного структурного фактора бозерiдини в основному станi.

Обчислимо хвильову функцiю основного стану та статичний структурний фактор, порiвнюючи мiж собою, як i в попередньому прикладi, два вирази для ω2. Для цього розпишемо в явному виглядi правi частини двох виразiв для другого моменту ω2 динамiчного структурного фактора, якi наведенi в

основному текстi цього параграфа. Використаємо той факт, що хвильова функцiя основного стану бозе-рiдини ψ0 є дiйсною i не має вузлiв (див. також §91

та Приклад 3 до §81).

Отже, розписуємо праву частину першого виразу для ω2:

3Для обчислення цього iнтеґрала спочатку диференцiюємо його за параметром q i беремо iнтеґрал за x, а наступне iнтеґрування за q, з умовою, що при q = 0, шуканий iнтеґрал дорiвнює нулевi, є елементарним i приводить

нас до виписаного в текстi результату.

855

Тут кутовими дужками позначаємо усереднення за хвильовою функцiєю основного стану ψ0. Крiм того, при одержаннi цього виразу ми неодноразо-

во використовували “трюк” з iнтеґруванням частинами. Для iлюстрацiї цього наведемо перетворення одного з чотирьох вихiдних доданкiв, якi виникають при розписуваннi правої частини ω2:

= (iнтеґруємо частинами за координатами j-ої частинки)

Розписуючи дiю оператора j , знаходимо таке спiввiдношення:

Аналогiчно знаходимо праву частину i другого виразу для ω2 з основного

тексту цього параграфа:

Прирiвнюючи обидва знайденi вирази для ω2, остаточно знаходимо таке рiв-

няння:

856

Це рiвняння дає змогу знайти хвильову функцiю ψ0. Виберемо її так:

ψ0 = Ce− 14 k λkρkρ−k ,

де λk невiдома функцiя, яку потрiбно знайти з нашого рiвняння, C стала нормування. Якщо цю функцiю ψ0 пiдставити в рiвняння i залишити лише доданки без пiдсумовування за хвильовим вектором k, то легко знаходимо:

Щоб замкнути це рiвняння, нам потрiбно знайти вираз для структурного фактора основного стану Sq = hρqρ−qi через λq. Для цього використаємо вираз,

яким ми вище iлюстрували “трюк” з iнтеґруванням частинами. Пiдставляючи в його лiву частину явний вигляд хвильової функцiї ψ0, знаходимо таке

спiввiдношення:

Ми отримали рiвняння, яке формально збiгається з рiвнянням iз попереднього прикладу для структурного фактора класичної рiдини, якщо пiд λk розумiти величину βNνk /V i хвильовий вектор пiдсумовування k замiнити на (−k). Тому скористаємось розв’язком iз попереднього прикладу i знайдемо,

що

k+q6=0

Використаємо цей вираз у нашому рiвняннi для λq (без врахування величини Πq як такої, що мiстить зайве пiдсумовування за хвильовим вектором k). У результатi маємо таке рiвняння на λq:

Розв’язок цього рiвняння

λq = αq − 1,

857

де

Перед коренем ми вибираємо знак “+”, оскiльки хвильова функцiя основного

√

стану для iдеального бозе-газу ψ0 = const = 1/ V N i отже, при νq = 0 величина λq повинна дорiвнювати нулевi.

Знайдений тут вираз для ψ0 збiгається з тим, який ми знайшли в §91

прямим розв’язуванням рiвняння Шрединґера. Однак тут ми знайшли i явний вираз для структурного фактора в наближеннi “однiєї суми за хвильовим вектором k”:

k+q6=0

Пiдрахуємо величину Πq→0 для зарядженого бозе-газу, коли νk = 4πe2/k2, k 6= 0:

де k0 = (16πρme2/~2)1/4, ρ = N/V . Пiсля переходу вiд пiдсумовування за k

до iнтеґрування

Цей iнтеґрал зводиться до B-iнтеґралiв Ейлера, i остаточно маємо

858

Приклад 3. Енерґетичний спектр квантової рiдини. Якщо припустити, що динамiчний структурний фактор має лише один δ-подiбний пiк

S(q, ω) = Sqδ(ω − Eq/~),

де Eq енерґiя елементарних збуджень, то його перший момент дає:

Sq Eq = ~q2 .

~ 2m

Тобто ми припускаємо, що iснують лише елементарнi збудження, пов’язанi з флюктуацiями густини частинок системи. Звiдси знаходимо вираз для енерґетичного спектра квантової рiдини, вiдомий як формула Фейнмана (1953 р.):

Eq = 2mSq .

Р. Фейнман знайшов це спiввiдношення за допомогою варiацiйного принципу, беручи пробну хвильову функцiю нижнього збудженого стану квантової рiдини у виглядi добутку коефiцiєнта Фур’є флюктуацiй густини частинок ρ−q

на хвильову функцiю основного стану (див. також приклад 3 до §80). Такий же результат отримаємо в припущеннi, що контур S(q, ω) має ло-

ренцiвський або ґауссiвський профiль. Наприклад, для лоренцiвського профiлю динамiчного структурного фактора, наведеного в основному текстi цього параграфа, маємо:

оскiльки перший iнтеґрал за x = ω − Eq/~ дорiвнює нулевi, а другий оди-

ницi.

Уперше енерґетичний спектр рiдкого 4He (з явним виразом для Sq )

на прикладi моделi слабконеiдеального бозе–газу ще в 1947 роцi обчислив М. М. Боголюбов4 .

4М. М. Боголюбов (1909–1992) зробив видатний внесок у рiзнi дiлянки су-

часної математики, фiзики, механiки. Працював у Києвi, Чернiвцях, Москвi, Дубнi, неодноразово бував у Львовi. У Києвi заснував Iнститут теоретичної фiзики Академiї наук України, який названо тепер його iм’ям.

859