Вакарчук І.О. Квантова механіка

рiвняння для функцiї χ розпадається на два незалежнi рiвняння: для додатного й вiд’ємного значень величини λ.

Якщо тепер радiальну координату r явно виразити через x i пiдставити в рiвняння для χ, то пiсля елементарних перетворень

приходимо до такого рiвняння:

Добре вiдомо, що це рiвняння має точний розв’язок (див. Приклад 3 до §23) з рiвнями енерґiї

nr = 0, 1, 2, . . . радiальне квантове число, причому зв’язанi ста-

ни iснують за умов, що

B > A2, A ≥ 0, B ≥ 0.

Оскiльки в нашому випадку

A = ν2 (l + 1),

811

то з урахуванням означень зiркових величин для рiвнiв енерґiї E

знаходимо таке квадратне рiвняння:

n = nr + l + 1 “головне” квантове число.

Важливо, що з цього рiвняння величина λ випала, залежнiсть

вiд неї залишилась лише в ефективному орбiтальному квантовому

числi l . Отже, один розв’язок нашого рiвняння для χ дає радi-

√

альну функцiю χnr ,l для l = k2 − α¯2 −1 з енерґiєю En,k; другий розв’язок маємо для вiд’ємного знака величини λ вiн дорiвнює

функцiї χnr ,l +1 iз власним значенням енерґiї En+1,k. У нерелятивiстському випадку перший розв’язок дає l = l = 0, 1, 2, . . ., а другий l = l = 1, 2, . . ., де l звичайне орбiтальне квантове

число. Тобто рiвнi енерґiї для цих двох розв’язкiв збiгаються, за винятком основного стану.

Розв’язуючи квадратне рiвняння для E = En,k, остаточно зна-

812

Умова iснування зв’язаних станiв випливає з умов на величини

A, B:

Для вихiдної функцiї Ψ з урахуванням усiх зроблених замiн

знаходимо:

−1/2 i~сf ˆ

Ψ = f Y fαˆrpˆrc + r αˆrβk

2 ˆ − χ

+ mc f1β + E U r ,

де χ матриця-стовпчик з елементами χnr,l та χnr,l +1.

Отже, ми знайшли точний розв’язок проблеми Кеплера в теорiї Дiрака з алґеброю Гайзенберґа, що здеформована функцiєю, лiнiйно залежною вiд r, i з масою частинки, що залежить обернено пропорцiйно вiд r.

Обговоримо отриманi результати. Якщо у виразi для енерґiї покласти ν = 0, тобто зняти деформацiю, то отримуємо рiвнi енер-

ґiї для дiракiвської зарядженої частинки, маса якої залежить вiд

а з умови iснування зв’язаних станiв маємо, що a < e2/mc2. Знайдемо нерелятивiстську межу, c → ∞, виразу для енерґiї.

Припускаємо, що функцiя f1 задовольняє умову, яку ми ранiше

накладали, для того, щоб залежнiсть маси частинки вiд її координат залишала свiй слiд у нерелятивiстськiй межi. Це означає, з урахуванням явного вигляду функцiї f1, що параметр a 1/c2.

Тому приймаємо, що

e2

a = mc2 a,¯

813

де величина a¯ є знерозмiреною сталою. У цьому випадку нерелятивiстська межа для енерґiї E є такою:

причому, як випливає з умови iснування зв’язаних станiв, спектр енерґiї є обмеженим,

e2 > ~2ν k2 + e2a¯. m

Якщо a¯ = 0, тобто зняти залежнiсть маси вiд координат i не вра-

ховувати деформацiйної спiн-орбiтальної взаємодiї, то отримаємо результат iз §102 для тривимiрного простору:

−~2ν2 n2 + ν e2 + ~2ν [l(l + 1) + 1] , 8m 2 2m

з умовою, що

e2 > ~2ν [(l + 1)(2l + 1) + 1] . 2m

Справдi, якщо не брати до уваги деформацiйної спiнорбiтальної взаємодiї U, яка природно виникає в нас у нереляти-

вiстськiй межi з рiвняння Дiрака, а зразу стартувати з рiвняння Шрединґера, то потрiбно вiдняти внесок вiд U, яке в нашому

випадку дорiвнює

814

забрати внесок вiд U, необхiдно вiд енерґiї E′ вiдняти внесок вiд першого доданка в U, рiвний ~2ν2[k2 − l(l + 1) − 1]/2m, а

другий доданок об’єднати з кулонiвським потенцiалом замiною: e2 → e2 +~2ν[k2 −l(l +1)−1]/2m. У результатi приходимо до фор-

мули для енерґiї, виписаної вище. Крiм того, в умову, що обмежує спектр для квантового числа k, необхiдно покласти j = l + 1/2, тобто взяти бiльше значення k2 = (l + 1)2.

Наведемо тепер наступнi члени розкладу енерґiї за степенями 1/c2, опускаючи громiздкi, але простi обчислення:

яка при a¯ = 0 переходить у добре вiдому формулу Зоммерфельда

для тонкої структури енерґетичних рiвнiв атома водню (див. §77), далi поправка породжена лише деформацiєю

815

Г Л А В А XIV

ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ

§ 104. Амплiтуда розсiяння

Одним iз потужних експериментальних методiв дослiдження будови субатомних систем, атомних ядер, атомiв, молекул, конденсованих тiл є бомбардування їх частинками. У результатi зiткнень частинок вони вiдхиляються вiд свого початкового напрямку руху, при цьому можуть змiнювати або не змiнювати свого внутрiшнього стану. Цей процес називають розсiянням частинок. Вимiрювання цих вiдхилень i змiн внутрiшнього стану дозволяють робити висновки про характер мiжчастинкової взаємодiї, просторову структуру частинок, а також про структуру їхнього енерґетичного спектра. Нагадаємо, що саме iснування атомного ядра встановив у 1911 роцi Е. Резерфорд у дослiдах iз розсiяння α-частинок

на тонких пластинках золота. Якщо частинки, що розсiюються, не змiнюють свого внутрiшнього стану, то таке розсiювання називають пружним. При непружному розсiяннi внутрiшнiй стан системи змiнюється. Наприклад, розсiювання електронiв атомами є непружним, якщо атоми в результатi зiткнень з електронами переходять у збуджений стан. У цьому параграфi ми зупинимось на аналiзi процесiв пружного розсiяння.

Експеримент iз розсiяння, у якому є пучок частинок, мiшень i детектор, повинен проводитись при виконаннi таких умов, як тотожнiсть частинок падаючого на мiшень пучка i достатнє їх роздiлення в часi. Це необхiдно для того, щоб падаючi частинки взаємодiяли з частинками мiшенi незалежно i щоб детектор фiксував їх окремо. Пучок повинен бути досить вузьким: його поперечнi розмiри мусять бути меншими за мiшень. У свою чергу мiшень має бути хiмiчно однорiдною, а товщина її достатньо малою, щоб

817

запобiгти багатократному розсiянню. Ми будемо вважати, що всi цi умови виконанi, i як модель розглянемо розсiяння однiєї частинки маси m1 на iншiй частинцi маси m2, координати яких є r1 та r2, а взаємодiя мiж ними описується потенцiальною енерґiєю U(r), де вiдносний радiус-вектор r = r1 −r2. Як ми знаємо, задача

про рух двох тiл зводиться до задачi про рух однiєї частинки зi зведеною масою m, 1/m = 1/m1 + 1/m2, у полi U(r) нерухомого

силового центра (див. §38). Це здiйснюється переходом до системи координат, у якiй центр мас частинок є нерухомим. Кут розсiяння в системi центра мас позначимо через θ. Вiн пов’язаний простими спiввiдношеннями з кутами розсiяння частинок θ1 та θ2 в лабо-

раторнiй системi, тобто в системi координат, у якiй, наприклад, друга частинка (мiшень) до зiткнення була нерухомою:

Цi формули легко знаходимо з означень лабораторної системи та системи центра мас з урахуванням закону збереження iмпульсу. Для частинок iз рiвними масами θ1 = θ/2, θ2 = (π − θ)/2, так що сума θ1 + θ2 = π/2. Тобто частинки розлiтаються пiсля зiткнення

пiд прямим кутом. Надалi ми будемо працювати в системi центра мас.

На великих вiддалях вiд силового центра частинка, що налiтає на нього, рухається вiльно i її енерґiя дорiвнює ~2k2/2m, де k хвильовий вектор, p = ~k iмпульс частинки. Усi цi величини є

заданими за умовами експерименту. Хвильова функцiя частинки є плоскою хвилею

ψk(r) = √1 eikr. V

Ми нормуємо її на великий об’єм перiодичностi V , у якому зна-

ходиться експериментальна установка для дослiдження процесiв розсiяння. Пiсля розсiяння на силовому центрi частинка також здiйснює вiльний рух з iмпульсом p′ = ~k′. Оскiльки ми розгля-

даємо пружнi зiткнення, то енерґiя частинки зберiгається:

~2k2 = ~2k′2 .

2m 2m

818

Таким чином, |k| = |k′| i змiнюється лише напрямок руху частин-

ки (див. рис. 77).

Рис. 77. Розсiяння частинки зi зведеною масою на силовому центрi.

Отже, постановка задачi в теорiї розсiяння є iншою, нiж у задачi на знаходження власних функцiй i власних значень оператора Гамiльтона. Оскiльки енерґiя частинки ~2k2/2m є величиною

заданою, то задача полягає в розв’язуваннi рiвняння Шрединґера для хвильової функцiї ψ(r):

Центральним поняттям теорiї зiткнень є ефективний перерiз розсiяння. Зупинимось на його визначеннi. Для цього обчислимо густину потоку для налiтаючої частинки

j0 = 2mi~ {ψk ψk − ψk ψk} = mV~k .

Густина потоку для розсiяної частинки

j = 2mi~ {ψ ψ − ψ ψ } ,

819

причому тут у хвильовiй функцiї враховуємо лише внесок вiд розсiяння. У напрямку розсiяння через елемент площi dS за одиницю часу пройде jdS частинок. Щоб уникнути непорозумiнь, нагада-

ємо ще раз, що умови експерименту, якi ми обговорювали, дозволяють нам розглядати пучок з однiєї частинки. Якщо взяти вiдношення кiлькостi розсiяних частинок до величини падаючого потоку, то ми отримаємо величину

dσ = j dS , j0

яка називається диференцiальним ефективним перерiзом розсiяння i має розмiрнiсть площi. Уведемо одиничний вектор n=r/r уздовж напрямку руху частинки, тодi вектор dS = ndS, де dS

величина елемента площi. За означенням, елемент тiлесного кута dΩ = dS/r2, тому диференцiальний перерiз розсiяння

Саме ця величина вимiрюється в експериментах iз розсiювання шляхом пiдрахунку детектором розсiяних частинок. Отже, наше завдання знайти хвильову функцiю розсiяної частинки ψ(r)

на великих вiддалях вiд силового центра. За допомогою цiєї функцiї пiдрахуємо потiк j та обчислимо диференцiальний перерiз роз-

сiяння.

Для виконання цiєї програми перетворимо рiвняння Шрединґера й зобразимо його в iнтеґральнiй формi. Почнемо з того, що представимо його так:

( 2 + k2)ψ(r) = 2~m2 U(r)ψ(r).

Формальний розв’язок цього рiвняння запишемо за допомогою функцiї Ґрiна G(r, r′), яка задовольняє рiвняння з δ-функцiєю в

правiй частинi

( 2 + k2)G(r, r′) = δ(r − r′).

820