Вакарчук І.О. Квантова механіка

При ν = 0 отримуємо вiдомий спектр енерґiї для кулонiвського потенцiалу в просторi N вимiрiв (див. §44):

me4

En,l = −2~2[nr + l + (N − 1)/2]2 .

Якщо вимiрнiсть простору N = 3, то отримаємо такий вираз2:

Приклад 1. Обчислити з умов квантування Бора–Зоммерфельда енерґетичнi рiвнi атома водню в просторi з мiнiмальною довжиною ~√β, коли деформацiйна функцiя f = 1 + βPr2, Pr радiальна компонента iмпульсу.

Виходимо з “радiальної” умови квантування,

де nr = 0, 1, 2 . . ., а 0 ≤ ν < 1 i, повторюючи розрахунки, виконанi в Прикладi

3 до §30, зводимо лiву частину цього рiвняння до табличного iнтеґрала

Якщо ν = 1/2, то з цього рiвняння в лiнiйному наближеннi по β знаходимо

2Цей вираз уперше знайдено у статтi: C. Quesne, V. M. Tkachuk, J. Phys.

A 37, 4267 (2004).

801

де n = nr + l + 1 головне квантове число. Маємо тонку структуру спектра

деформацiя знiмає виродження за орбiтальним квантовим числом l. При

β → ∞, Enr = −e2/~√β(2nr + 1).

Приклад 2. Обчислити з умов квантування Бора–Зоммерфельда енерґетичнi рiвнi частинки в кулонiвському полi U = −e2/r з масою, залежною вiд радiальної координати r, m = m(1 + a/r), m > 0, a > 0.

Запишемо вираз для енерґiї частинки, використовуючи сферичнi координати:

де

pϕ2 = p2ϕ − 2mae2,

e 2 = e2 + aE.

Ми звели наш приклад до стандартної квазiкласичної задачi про атом водню (див. Приклад 3 до §30). Зв’язанi стани iснують за умови, що pϕ2 > 0,

e2 + aE > 0:

m e 4

E = − 2~2 (nr + l + 1)2 ,

де радiальне квантове число nr = 0, 1, 2, . . ., а ефективне орбiтальне квантове

число

q

l = (l + 1/2)2 − 2a/aB − 1/2.

Розв’язуючи квадратне рiвняння для енерґiї E, остаточно маємо:

де ефективне головне квантове число

n = nr + l + 1.

Знак перед радикалом вибираємо так, щоб при a = 0 цей вираз переходив

у формулу Бора для енерґетичних рiвнiв атома водню. З умови iснування зв’язаних станiв виходить, що a < aB/8.

802

§ 103. Проблема Кеплера в теорiї Дiрака з деформацiєю

Розглянемо задачу про рух релятивiстської частинки з масою, що залежить вiд координат, у просторi з деформованою алгеброю Гайзенберґа. Крiм загального аналiзу, ми знайдемо також точний розв’язок рiвняння Дiрака для руху частинки в кулонiвському полi для певних залежностей вiд координат маси частинки та деформацiйної функцiї 3.

Почнемо з рiвняння Дiрака для частинки з потенцiальною енерґiєю U у стандартних позначеннях:

h i

ˆ ˆ 2 ˆ

(αP)c + m c β + U Ψ = EΨ,

де ˆ ˆ матрицi Дiрака, а координати та iмпульси задовольня-

α, β

ють переставнi спiввiдношення з деформованою алґеброю Гайзенберґа,

з деформацiйною функцiєю f = f(x, y, z), яка залежить лише вiд координат частинки. Припускаємо, що й маса частинки m замiнена на деяку ефективну масу m , яка також залежить вiд коор-

динат частинки:

m = mf1, f1 = f1(x, y, z).

Запровадження в рiвняння Дiрака функцiй f та f1 означає

введення додаткових сил, якi дiють на частинку, крiм тих, що представленi функцiєю U.

Уведемо новий iмпульс:

ˆ = f−1/2 ˆ f−1/2,

p P

ˆ = f1/2 ˆf1/2,

P p

3Див. також: I. O. Vakarchuk, J. Phys. A 38, 7567 (2005).

803

так, що координати та новi iмпульси є канонiчно спряженими,

[xj, xk] = 0,

[xj, pˆk] = i~δjk,

[ˆpj, pˆk] = 0.

Зробимо перетворення

у результатi якого рiвняння Дiрака для нової функцiй ¯ набирає

Ψ

вигляду:

h i

ˆ ˆ 2 ˆ ¯ ¯ f(αp)c + mc f1β + U Ψ = EΨ.

Ми можемо дивитись на це рiвняння, як на звичайне рiвняння

Компоненти матрицi ˆ ′ та матриця ˆ′ мiж собою антикомутують,

α β

квадрати компонент матрицi ˆ ′ дорiвнюють 2, а квадрат ˆ′ до-

α f β

рiвнює f12.

Перш нiж починати розмову про точнi розв’язки рiвняння доцiльно перейти в рiвняннi Дiрака до нерелятивiстської межi для того, щоб з’ясувати властивостi функцiй f та f1. Щоб одержа-

ти рiвняння Шрединґера з попереднього рiвняння Дiрака при

c → ∞, уведемо нову функцiю ψ таким спiввiдношенням: h i

¯ ˆ ˆ 2 ˆ −

Ψ = f(αp)c + mc f1β + E U ψ.

Тепер для функцiї ψ знаходимо таке рiвняння:

804

Будемо вiдраховувати енерґiю вiд енерґiї спокою mc2,

З останнiх двох доданкiв у фiгурних дужках цього рiвняння випливає умова на поведiнку функцiї f1 в нерелятивiстськiй межi. Справдi, для того, щоб швидкiсть свiтла c випала з нашого рiвняння при c → ∞, необхiдно, щоб f12 − 1 1/c2. Функцiя f1 може прямувати до одиницi при c → ∞ i швидше, нiж 1/c2, i тодi

вона не залишає жодного “слiду” в нерелятивiстськi межi. Якщо

де U1 = U1(x, y, z) деяка функцiя координат, то з рiвняння для ψ знаходимо його нерелятивiстську межу:

вектора r, пiсля простих перетворень, iз використанням властивостей матрицi α одержуємо таке рiвняння:

805

де ˆ = ~σˆ /2 оператор спiну частинки, σˆ = (ˆσx, σˆy, σˆz) матри-

S

цi Паулi, ˆ орбiтальний момент iмпульсу.

L

Отримане рiвняння можна трактувати як рiвняння Шрединґера для частинки, маса якої залежить вiд координат, m¯ = m/f2,

причому з точно визначеним розташуванням оператора iмпульсу та оберненої маси в операторi кiнетичної енерґiї:

Крiм того, якщо частинка має спiн, то в нерелятивiстськiй межi залишається величина U, назвемо її деформацiйною спiн-

орбiтальною взаємодiєю.

Якщо записати рiвняння для функцiї ϕ через “старий” iмпульс з P, то маємо рiвняння Шрединґера у просторi з деформованою

алґеброю Гайзенберґа:

Отже, якщо в нерелятивiстськiй теорiї зразу стартувати зi звичайного рiвняння Шрединґера для вивчення поведiнки частинки з деформованими переставними спiввiдношеннями для координат та iмпульсiв, то ми втрачаємо внесок вiд деформацiйної спiн-орбiтальної взаємодiї U, а також можливий “залишок” U1

вiд залежностi маси частинки вiд координати.

Розглянемо тепер рух частинки в центрально-симетричних по-

демо його до радiального рiвняння. Для цього вводимо оператор радiального iмпульсу

pˆr = r−1(rpˆ − i~)

Далi вводимо оператор, який свого часу запровадив ще Дiрак,

hi

~ ˆ ˆ ˆ ˆ ~ K = β (σL) + ,

806

j квантове число повного моменту iмпульсу. Тому у представ-

сферичний спiнор, який є власною функцiєю оператора ˆ ,

Y K

¯ радiальна функцiя. Уведемо тепер нову радiальну функцiю

R

R таким спiввiдношенням:

Пiдставляючи цей вираз у попереднє рiвняння, знаходимо рiвняння для R:

Роздiлення просторових змiнних вiд змiнних, що описують внутрiшнi ступенi вiльностi, можливе тут, якщо множники бiля матриць

807

де C1, C2 сталi величини.

Якщо цi умови виконано, то рiвняння для R набуває вигляду:

ко звести до дiагонального вигляду. Зважаючи на властивостi ма-

808

айого власнi значення

λ= ±sk2 + mcC2 2 − C1 2.

~~c

Якщо працювати в представленнi, де оператор ˆ є дiагональ-

Λ

ним, то наше радiальне рiвняння для R остаточно набуває такого

вигляду:

Зауважимо, що оскiльки функцiї f, f1 та U зв’язанi двома умова-

ми, то лише одна з них є незалежною, наприклад, це потенцiальна енерґiя U.

Розгляньмо тепер проблему Кеплера, тобто рух зарядженої частинки в кулонiвському полi, коли потенцiальна енерґiя

e2 U = − r ,

де e2 квадрат заряду. З рiвнянь, якi зв’язують функцiї U, f, f1,

знаходимо деформацiйну функцiю

f = 1 + νr,

де ν стала величина з розмiрнiстю, оберненою до довжини, i

функцiю

a f1 = 1 + r ,

a стала, що має розмiрнiсть довжини. Причому

809

Пiсля стандартної пiдстановки

R = χr ,

де χ = χ(r), радiальне рiвняння набуває такого вигляду:

де

dx = drf ,

звiдки маємо, що

α¯2 = α2 − mca 2 ,

~

α = e2/~c стала тонкої структури; тут верхнє значення l визначає верхнiй знак для λ, а нижнє нижнiй. Отже, радiальне

810