Вакарчук І.О. Квантова механіка

значеннями енерґiї приведе до того, що система власних функцiй буде неповною. Будь-яку хвильову функцiю ми зможемо розкла-

сти в ряд за власними функцiями оператора ˆ для вiльної ча-

HD

стинки лише тодi, коли вiзьмемо до уваги всi розв’язки. Таким чином, необережне вiдкидання “з фiзичних мiркувань” розв’язкiв з вiд’ємними значеннями енерґiї може залишити поза розглядом чимало цiкавих явищ (насправдi це так i є). Вiдкладемо обговорення цiєї “плюс-мiнус” проблеми, а зараз учинимо формально i збережемо всi розв’язки як iз додатними, так i з вiд’ємними значеннями енерґiї.

Нехай тепер E = E+, i з другого рiвняння системи знаходимо

(σˆ p)cϕ χ = E+ + mc2 .

У нерелятивiстськiй межi c → ∞, E+ → mc2 бачимо, що

χ vc ϕ.

Тобто при переходi до нерелятивiстської теорiї при E = E+ основну роль вiдiграє функцiя ϕ, а χ є малою. Для вiд’ємних значень енерґiї E = E− = −E+ з першого рiвняння отримаємо

Тепер при c → ∞, E− → −mc2 бачимо, що

ϕ−vc χ

i отже, при переходi до нерелятивiстської теорiї основну роль вiдiграє функцiя χ.

Знайдемо сталу нормування у виразi для U. Якщо E = E+, то, визначаючи функцiю χ з другого рiвняння, маємо:

601

Пiдставимо цей вираз в умову нормування U+U = 1 i знаходимо

Виберемо ϕ так, щоб вона була нормована на одиницю:

ϕ+ϕ = 1.

Звiдси одержуємо з точнiстю до фазового множника

1

const = p .

1 + p2c2/(E+ + mc2)2

Вимагатимемо, щоб функцiя ϕ, яка є головною в нашому випадку, була власною функцiєю оператора проекцiї спiну σˆz частинки на вiсь z (а тим самим i σˆ2). Отже,

ϕ = ϕ1 ϕ2

при ϕ1 = 1, ϕ2 = 0 ми отримуємо стан “спiн уверх”

ϕ↑ = | ↑i = 1 , 0

602

апри ϕ1 = 0, ϕ2 = 1 маємо стан “спiн униз”

ϕ↓ = | ↓i = 0 . 1

Тепер залишилось знайти явнi вирази для спiнора. Спочатку вiдшукаємо спiнорну функцiю для стану “спiн уверх” з енерґiєю

E = E+:

0px + ipy

603

Переходимо тепер до розгляду випадку вiд’ємних значень енерґiї E = E− = −E+. З першого рiвняння визначаємо функцiю

знаходимо сталу нормування, яка має той самий вигляд, що i для

E+:

1

const = p .

1 + p2c2/(E+ + mc2)2

Знову головну функцiю, якою тепер є χ, вибираємо власною функцiєю оператора спiну частинки sˆz:

604

Повторюючи кроки попереднього випадку, знаходимо вiдповiднi спiнори:

Для того щоб дати iнтерпретацiю отриманих розв’язкiв, обчислимо за їхньою допомогою густину потоку

j = cψ+αˆ ψ.

Пiдставляючи в цей вираз явний вигляд хвильових функцiй, отримуємо

j = Vc U+αˆ U.

605

Почнемо розрахунок з x-компоненти:

Тепер конкретизуємо задачу i обчислимо jx для додатних значень енерґiї частинки зi спiном, напрямленим уверх U = UE+,↑:

Ми отримали, таким чином,

jx = pxc2 . V E+

Цей вираз у нерелятивiстськiй межi c → ∞, коли E+ = mc2,

переходить у добре вiдому формулу для густини потоку

px

jx = V m = ρvx,

606

де ρ = 1/V густина частинок, а vx x-компонента швидкостi.

Нехай тепер енерґiя E = E− = −E+ i спiнор U = UE−,↑ зображає стан “спiн уверх”. Для тiєї ж x-компоненти вектора потоку

легко отримуємо

pxc2 jx = −V E+ .

Отже, для будь-якого значення енерґiї E можна записати

jx = pxc2 , V E

а у векторнiй формi

j = pc2 . V E

Ми бачимо, що коли є розв’язок рiвняння Дiрака з вiд’ємним значенням енерґiї, то вiн вiдповiдає руховi частинки в протилежному напрямку щодо її руху при додатнiй енерґiї.

Щоб просунутися далi в поясненнi отриманих розв’язкiв, корисно зробити “реплiку вбiк” i розглянути два простi шкiльнi приклади. У першому проаналiзуємо рух на площинi xOy класичної частинки, що несе заряд e в однорiдному електричному полi E, напрямленому вздовж осi y, з такими початковими умовами:

Рiвняння руху:

Розв’язки:

x = vt,

y = 2emE t2.

Виключимо час i знайдемо рiвняння траєкторiї

y = 2mveE 2 x2.

607

Запишемо його через початкову енерґiю частинки E = mv2/2:

y = 4eEE x2.

Якщо розглянути траєкторiю руху частинки з додатною енерґiєю E = E+ i з додатним зарядом e+ = |e|, то вона збiгається з траєкторiєю для вiд’ємного заряду e− = −|e|, який має вiд’ємну енерґiю E = E− = −E+. А траєкторiя частинки iз зарядом e i вiд’ємною енерґiєю збiгається з траєкторiєю частинки, що має протилежний заряд (−e) i додатну енерґiю. Це iлюструє рис. 61.

Рис. 61. Класична траєкторiя руху частинки в електричному полi.

Другий приклад це рух зарядженої частинки в однорiдному магнiтному полi напруженостi H. Рiвняння руху:

e

p˙ = c [vH].

Оскiльки v = const, то з виразу

знаходимо

ec

v˙ = E [vH].

608

Знову ми бачимо, що закони руху залежать лише вiд знака вiдношення e/E: тобто рух з вiд’ємною енерґiєю це рух iз зарядом

(−e).

Отже, ми можемо дати таку iнтерпретацiю для станiв з вiд’ємною енерґiєю E−. Їх можна розглядати як стани, що описують

частинки з додатною енерґiєю, але з протилежним зарядом. Пiсля цих попереднiх мiркувань сформулюємо гiпотезу Дiра-

ка щодо природи вакууму. Щоб уникнути спостережувальностi частинок з вiд’ємною енерґiєю, Дiрак увiв означення вакууму як такого стану фiзичного простору, у якому всi стани iз вiд’ємною енерґiєю зайнятi частинками (море Дiрака), а всi стани з додатною енерґiєю є вiльними. Причому якщо мова йде про фермiчастинки, такi, як електрони, то в кожному станi, згiдно з принципом Паулi, є лише одна частинка. Ми знову опинились перед таємницею природи Вакууму. Слова про те, що всi стани з вiд’- ємними значеннями енерґiї зайнятi, є не бiльше нiж заклинання, оскiльки виникає ряд простих питань про безмежну енерґiю, безмежний заряд, стiйкiсть i т.д., якi залишаються без вiдповiдi. Отже, дух Порожнечi не так просто схопити6.

Якщо пiд дiєю зовнiшнiх сил один з електронiв здiйснює квантовий перехiд з моря Дiрака в незайнятi стани додатної енерґiї, то звiльнений стан з вiд’ємною енерґiєю поводить себе як частинка з додатною енерґiєю i додатним зарядом (див. рис. 62). Спочатку Дiрак ототожнював цi стани з протонами. За його словами, у той час не так легко було наважитись, як тепер, на нову частинку, тому вiн обережно пiдходив до iнтерпретацiї дiркових станiв.

6

Мефiстофель:

. . . Ти знаєш жах порожнявих просторiв I вiчне безгомiння самоти?

Фауст:

. . . Я й сам незгiрше знавсь на тому Вивчав пусте, навчав пустому,

I що пильнiш заглиблювався в рiч, То бiльше в нiй являлось протирiч.

(Й.-В. Ґете “Фауст”. Переклад М. Лукаша.)

609

Розвинута ним теорiя є симетричною стосовно частинок з вiд’ємним та додатним зарядами, i, на думку Дiрака, вiдповiдальною за спостережувану асиметрiю властивостей електрона i протона могла бути мiжелектронна взаємодiя. Дiрак усвiдомлював її недостатнiсть для пояснення такої великої рiзницi їхнiх мас i завершив свою книжку (P. A. M. Dirac. The principles of quantum mechanics. Oxford, 1930) словами: можливо, що усунути цю труднiсть можна буде тодi, коли краще розумiтимемо природу взаємодiї. Пiзнiше Г. Вейль з мiркувань симетрiї показав, що ця частинка повинна мати масу електрона. Так Дiрак теоретично вiдкрив позитрон.

Рис. 62. Енерґетичний спектр релятивiстської частинки.

Експериментально позитрон виявив американський фiзик К. Д. Андерсон у 1932 роцi в космiчних променях. Вивчаючи фотографiї з камери Вiльсона, вiн помiтив аномальнi треки частинок iз масою, близькою до маси електрона з додатним елементарним зарядом. Цiкаво, що англiйський фiзик П. Блекетт мав велику серiю фотографiй з такими треками, але вiн хотiв довести строго, що це частинки, напрямок руху яких спрямований до камери Вiльсона, а не з неї, тобто, що цi частинки справдi мають додатний заряд. Тим часом К. Д. Андерсон, маючи одну фотографiю, з американською прагматичнiстю оголосив свiй ви-

610