Вакарчук І.О. Квантова механіка

Цi рiвняння задовольняємо комплексними числами. Наприклад, якщо f = 1, то g+ + g = 0, i з умови g+g = 1 знаходимо g = ±i. Виберемо нижнiй знак i приймемо g = −i. Тепер

Цi матрицi називають матрицями Паулi. Вони є ермiтовими:

Ми часто будемо користуватись також скороченими позначеннями

591

Зрозумiло, що матрицi Дiрака визначаються неоднозначно. Ми знайшли їх у деякому конкретному зображеннi, у якому мат-

перетворення можна знайти iнший явний вигляд цих матриць. Це, однак, не вплине на фiзичнi результати. Чи можуть бути матрицi αˆi не чотирирядковими, а вищого порядку? Ми бачили, що порядок цих матриць є парним i дорiвнює 2n, n = 1, 2, 3, . . . . Якщо n = 1, то умов на αˆi виявляється забагато. Якщо n = 3, то цих

умов замало. Отже, тодi довелось би деякi елементи вибирати якимось довiльним чином. У кожному разi, при n > 2 ми не отри-

мали б нових результатiв.

Оскiльки матрицi Дiрака є чотирирядковими, то i хвильова функцiя ψ має складнiшу, нiж у теорiї Шрединґера, структуру i

зображається як чотирирядкова матриця-стовпець:

Отже, виходить, що поєднання в рiвняннi Дiрака фундаментальних принципiв квантової механiки й теорiї вiдносностi породжує додатковi, як побачимо згодом, аж нiяк не тривiальнi ступенi вiльностi.

Приклад. Добування кореня квадратного з 4. Будь-яке число можна розкласти на простi множники, якщо розширити поняття останнiх. Наприклад, число 4 можна зобразити як

4 = 2 × 2,

4 = (−2) × (−2),

але можна його записати i через “золотий перерiз” грекiв

√√

4 = ( 5 + 1) × ( 5 − 1)

або як добуток комплексно спряжених чисел:

√√

4 = ( 3 + i) × ( 3 − i).

592

Можна працювати зi складнiшими об’єктами i зобразити число 4 як квадрат дворядкової матрицi

0 2

20

як про корiнь квадратний з 4. Таких матриць, квадрат яких дає 4, можна набрати як ермiтових, так i не ермiтових цiлий ряд:

Кожна з них дає конкретну реалiзацiю кореня квадратного з 4. Для iнших чисел читач сам легко знайде подiбнi зображення кореня квадратного.

Дiрак, нестандартно добувши корiнь квадратний, знайшов одне з конкретних зображень для гамiльтонiана, яке реалiзується в нашому Всесвiтi, зокрема для електронiв. Можливо, є й iнакшi нетривiальнi зображення цього кореня, якi дадуть опис iнших явищ у Всесвiтi, який ми спостерiгаємо, або в iнших Свiтах.

§ 71. Рiвняння неперервностi

Перейдемо тепер до встановлення рiвняння неперервностi з рiвняння Дiрака. З цiєю метою явно випишемо рiвняння Дiрака для вiльної частинки, а також спряжене до нього рiвняння:

593

де матриця-рядок

ψ+ = (ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ).

Пригадаємо також, що при спряженнi добутку матриць отримуємо добуток спряжених матриць у зворотному порядку. Помножимо перше рiвняння на ψ+ злiва, а друге на ψ справа i вiзьмемо

їхню рiзницю:

i~ψ+ ∂ψ + i~∂ψ+ ψ = −i~cψ+(αˆ ψ) − i~c( ψ+αˆ )ψ, ∂t ∂t

або

∂t∂ (ψ+ψ) = −c (ψ+αˆ ψ).

Видно, що це рiвняння неперервностi

∂ρ

∂t

+ div j = 0,

причому густина ймовiрностi ρ = ψ+ψ, а густина потоку ймовiр-

ностi

j = cψ+αˆ ψ.

Суттєво, що густина ймовiрностi ρ в теорiї Дiрака є додатно ви-

Отже, ми позбавленi труднощiв з iнтерпретацiєю цiєї величини, як це було в теорiї Кляйна–Ґордона–Фока. Одним несподiваним i вдалим способом обчислення квадратного кореня, таким собi “deus ex machina”, Дiрак вирiшив усi проблеми.

594

§72. Момент кiлькостi руху в теорiї Дiрака

Унерелятивiстськiй теорiї орбiтальний момент кiлькостi руху

ˆ= [ˆˆ] є iнтеґралом руху для вiльної частинки з гамiльтонiаном

L rp

ˆ ˆ

[L, H] = 0.

Виявляється, однак, що для вiльної частинки в теорiї Дiрака проекцiї орбiтального моменту iмпульсу вже не є iнтеґралами руху. Щоб переконатись у цьому, достатньо обчислити комутатор будь-

[Lx, HD] = [ˆypˆz − zˆpˆy, (αˆ pˆ)c + mc β]

=[ˆypˆz − zˆpˆy, (αˆxpˆx + αˆypˆy + αˆzpˆz)c]

=[ˆypˆz, αˆypˆy]c − [ˆzpˆy, αˆzpˆz]c = i~c(αˆy pˆz − αˆzpˆy)

=i~c[αˆ pˆ]x.

Аналогiчно обчисливши комутатор з iншими компонентами, у загальному випадку можемо записати:

ˆ ˆ ~ ˆ ˆ [L, HD] = i c[αp].

Щоб не було непорозумiнь: злiва в рiвняннi маємо комутатор, а справа векторний добуток. Крiм того, пам’ятаємо, що для ство-

рення потрiбної розмiрностi поряд з оператором ˆ є одинична ма-

L

триця. Ми отримали, що

ˆ 6 [L, HD] = 0

i, таким чином, оператор ˆ не є iнтеґралом руху.

L

Неважко виправити ситуацiю i знайти оператор, який у сумi з

оператором ˆ утворює iнтеґрал руху. Для цього необхiдно вико-

L

нати декiлька вправ на обчислення комутаторiв рiзних операторiв iз гамiльтонiаном Дiрака. Зокрема,

595

Тому

ˆ

[ˆσx, HD] = cpˆy[ˆσx, αˆy] + cpˆz[ˆσx, αˆz].

[ˆσx, σˆy] = 2iσˆz ,

i тому

[ˆσx, αˆy] = 2iαˆz .

Аналогiчно для другого комутатора отримаємо

[ˆσx, αˆz ] = −2iαˆy.

Отже,

ˆ − − ˆ ˆ [ˆσx, HD] = cpˆy2iαˆz cpˆz2iαˆy = 2ic[αp]x.

596

Тепер, збираючи разом комутатори для iнших компонент, одержимо, що

Неважко зауважити, що коли цей вираз помножити на ~/2 i до-

дати до комутатора орбiтального моменту ˆ з ˆ , то матимемо

L HD

нуль:

Виходить, що оператор

J L

ˆ = ˆ + ~σˆ

2

комутує з гамiльтонiаном Дiрака, а отже, вiн є iнтеґралом руху.

Якщо орбiтальний момент кiлькостi руху ˆ = 0, тобто ми

L

розглядаємо частинку в системi координат, у якiй вона як цiле не рухається, то величина

J

ˆ = ~σˆ .

2

Таким чином, це є не що iнше, як власний механiчний момент частинки, або, як кажуть, спiн частинки. Його позначають також через ˆs:

ˆs = ~2 σˆ.

Компоненти цього оператора пiдкоряються звичайним комутацiйним спiввiдношенням для моменту iмпульсу

[ˆsx, sˆy] = i~sˆz,

[ˆsz, sˆx] = i~sˆy,

[ˆsy, sˆz] = i~sˆx,

597

якi випливають з алґебри матриць Паулi, i дiють вони на внутрiшнi ступенi вiльностi частинки. Докладно ми дослiдили властивостi цього оператора та його власних функцiй у §35, тому не будемо тут повторювати цих формул, а лише нагадаємо, що квадрат оператора спiну

Звiдси випливає, що власне значення квадрата власного моменту кiлькостi руху частинки визначається квантовим числом j = 1/2.

Або, iншими словами, спiн частинки, рух якої описується рiвнянням Дiрака, дорiвнює 1/2. Ще один несподiваний i цiкавий ре-

зультат: строге об’єднання релятивiстської i квантової теорiй натурально породжує новi якостi фiзичних об’єктiв без штучного введення їх “руками”.

§ 73. Вiльний рух релятивiстської частинки

Дослiдимо на основi рiвняння Дiрака рух вiльної частинки. Робимо пiдстановку

ψ(q, t) = e− ~i Etψ(q)

i переходимо до стацiонарного рiвняння

ˆ

HDψ = Eψ,

HD = (αˆ pˆ)c + βmc .

Хвильова функцiя ψ = ψ(q) залежить як вiд просторових, так i вiд

спiнових змiнних, що представляють внутрiшнi ступенi вiльностi. Пiд q розумiємо i просторовi, i спiновi змiннi. Оскiльки частинка

вiльна, то її хвильова функцiя пропорцiйна до плоскої хвилi:

eipr/~

ψ(q) = √ U. V

598

Функцiю U, яка залежить вiд внутрiшнiх ступенiв вiльностi i зо-

бражається чотирирядковою матрицею-стовпцем

називають спiнором. Пiдстановка функцiї ψ в рiвняння Дiрака

дає

no

ˆ 2 ˆ

(αp)c + mc β U = EU,

тут p уже є iмпульсом частинки, а не оператором. З умови

нормування хвильової функцiї

Z

ψ+ψ dq = 1

випливає умова нормування спiнора:

U+U = 1.

Запишемо тепер наше рiвняння в такому виглядi:

i ми отримуємо систему двох матричних рiвнянь

599

умовою нетривiальностi розв’язку якої є рiвнiсть нулевi її визначника:

−(mc2 − E)(E + mc2) − (σˆ p)2c2 = 0,

або

E2 − m2c4 − p2c2 = 0,

тому що

(σˆ p)2 = p2.

Знаходимо коренi цього рiвняння для невiдомої величини E,

p

E1,2 = ± p2c2 + m2c4,

i вводимо позначення

p

E1 = E+ = p2c2 + m2c4,

p

E2 = E− = − p2c2 + m2c4.

Ми отримали спектр енерґiї для вiльної релятивiстської частинки. Перший корiнь E+ це звичний нам iз теорiї вiдносностi вираз для енерґiї. Другий корiнь E− з вiд’ємним знаком, з погляду здо-

рового глузду, або, як ми кажемо, з фiзичних мiркувань, не слiд брати до уваги. Адже в цьому випадку можливе безмежне витрачання енерґiї частинки з перетворенням її в корисну роботуperpetuum mobile. Однак вiдкидання розв’язкiв iз вiд’ємними

600