Вакарчук І.О. Квантова механіка

Як i в нерелятивiстському випадку (див. Приклад 3 до §30), записуємо квадрат iмпульсу в полярних координатах:

де pr, pϕ радiальний та азимутальний узагальненi iмпульси, канонiчно спряженi до змiнних r, ϕ.

Електрон має два ступенi вiльностi, i отже, є двi умови квантування Бора–

I

prdr = 2π~nr ,

де nϕ, nr азимутальне та радiальне квантовi числа. Оскiльки момент iмпульсу pϕ є iнтеґралом руху (pϕ = const), то перша умова дає pϕ = ~nϕ, nϕ = 1, 2, 3, . . .. Число nϕ 6= 0 тому, що це вiдповiдає “маятниковiй” трає-

кторiї, яка проходить через ядро, а за класичними уявленнями це неможливо (детальнiше це обговорено у Прикладi до §44).

де r1, r2 точки повороту, якi знаходимо з умови рiвностi нулевi пiдкорене-

вого виразу. Розкриємо квадрат i перепишемо цей вираз так:

У цих позначеннях наша умова квантування формально збiгається з рiвнянням для нерелятивiстського випадку з Прикладу 3 до §30. Тому використаємо знайдений там результат iнтеґрування:

581

де α = e2/~c стала тонкої структури (назву ввiв А. Зоммерфельд). Ми отримали для енерґiї E квадратне рiвняння, з якого знаходимо

Перед коренем ми зафiксували знак плюс iз тих мiркувань, щоб у нерелятивiстському випадку при α → 0 (c → ∞) отримати формулу Бора. Цей вираз

знайшов у 1916 роцi А. Зоммерфельд.

Якщо розкласти енерґiю E в ряд за степенями α2 i зберегти лише члени, пропорцiйнi до 1/c2, то отримаємо:

E= E(0) + E(1) + · · · ,

n = nr + nϕ = 1, 2, 3, . . . головне квантове число. Азимутальне квантове

число пов’язане з орбiтальним числом l: nϕ = l + 1, l = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Цiкаво, що при n = 2 для nϕ = 1 (l = 0) та nϕ = 2 (l = 1) рiзниця енер-

ґiй = me4/32~2 α2 збiгається з експериментально вимiряною величиною на

вiдмiну вiд результату, який дає теорiя Кляйна–Ґордона–Фока. У зв’язку з цим потрiбно зробити таке зауваження. У правих частинах умов квантування опущенi сталi величини: 0 ≤ νϕ < 1, 0 ≤ νr < 1. При виведеннi правил

квантування Бора–Зоммерфельда для одновимiрного випадку ми бачили, що цi величини дорiвнюють 1/2. Якщо взяти це до уваги, то nϕ потрiбно замiнити на nϕ = l + 1/2 (точнiше див. у Прикладi до §44). Звiдси маємо, що у квазiкласичному випадку квадрат моменту кiлькостi руху дорiвнює ~2(l + 1/2)2 замiсть точного значення ~2l(l + 1).

Якщо i nr замiнити на nr + 1/2, то головне квантове число n = l + nr + 1 (як i повинно бути), а формула Зоммерфельда збiгається з результатом

теорiї Кляйна–Ґордона–Фока. Отже, цi “неточностi” i приводять до “точної” формули Зоммерфельда.

§ 69. Рiвняння Дiрака

Для того щоб хвильове рiвняння задовольняло основнi принципи квантової механiки й теорiї вiдносностi, необхiдно явно

добути корiнь квадратний у формулi для гамiльтонiана H = p

p2c2 + m2c4 так, щоб отримати для нього вираз, лiнiйний за iмпульсом p. Тодi часовi й просторовi координати будуть входи-

ти в рiвняння симетрично. Це вдалось зробити П. А. М. Дiраковi в

582

1928 роцi. Вiн запропонував такий спосiб добування квадратного

кореня:

H = (αp)c + mc2β.

Невiдомi величини β i вектор α повиннi знаходитись з умови рiв-

ностi квадрата релятивiстського гамiльтонiана квадратовi правої частини цього виразу. Крiм того, оскiльки ми розглядаємо вiльну частинку, то α та β, унаслiдок однорiдностi простору й часу, не мають залежати вiд координати r i часу t. Така залежнiсть ука-

зувала б на наявнiсть силового поля. Отже, ми маємо таку умову для визначення цих невiдомих величин:

p2c2 + m2c4 = (αp)c + βmc2 2 ,

або

p2c2 + m2c4 = (αp)2c2 + β2m2c4 + (αβ + βα)pmc3.

Оскiльки iмпульс p є незалежною змiнною, то отримаємо такi

рiвняння:

p2 = (αp)2,

β2 = 1,

αβ + βα = 0.

Якщо можна пiдiбрати α та β такими, щоб задовольнити цi умо-

ви, то можна об’єднати принципи i квантової, i релятивiстської механiки. Iз цих рiвнянь випливає, що компоненти вектора α i величини β не є звичайними числами, оскiльки не переставляю-

ться мiж собою, а операторами чи матрицями. Надалi ми будемо вiдзначати це символами оператора. Отже, якщо явно розписати i першу умову через компоненти αˆx, αˆy, αˆz вектора αˆ ,

p2x + p2y + p2z = (αˆxpx + αˆypy + αˆzpz)2,

або

583

то знаходимо десять спiввiдношень, якi повиннi задовольнятись

невiдомими матрицями та ˆ:

αˆx, αˆy, αˆz β

Якщо ввести скороченi позначення для цих матриць, якi називають матрицями Дiрака,

то всi десять спiввiдношень компактно зображуються одним виразом5

Тепер ми можемо записати гамiльтонiан лiнiйний за операторами компонент iмпульсу pˆ:

HD = (αˆ pˆ)c + βmc .

5Цi матрицi iнколи називають гiперкомплексними одиницями або числами Клiффорда. Їх увiв для загального випадку i, j = 1, . . . , n ще в 1878 роцi

англiйський математик Вiльям Кiнґдон Клiффорд (1845–1879).

584

Цей оператор енерґiї називають гамiльтонiаном Дiрака. Очеви-

дно, за означенням, вiн повинен бути ермiтовим ˆ + ˆ . Звiдси

випливає, що матрицi Дiрака є ермiтовими:

HD = HD

Випишемо, нарештi, знамените хвильове рiвняння Дiрака:

Воно має вигляд хвильового рiвняння Шрединґера i задовольняє основний постулат квантової механiки. Воно також є лоренцiнварiантним, у чому легко переконатись. Помножимо все рiвня-

Уведемо 4-матрицю γˆµ (µ = 0, 1, 2, 3) з компонентами

що задовольняють тi самi переставнi спiввiдношення для рiзних

γµγν + γν γµ = 2gµν ,

де gµν контраварiантнi компоненти метричного тензора, gµν = gµν . Уведемо також оператор 4-iмпульсу

pˆµ = i~∂/∂xµ.

У цих позначеннях рiвняння Дiрака запишемо так:

γµpµψ = mcψ.

Його операторна частина, як скалярний добуток 4-векторiв

γˆµpˆµ = γˆ0pˆ0 − γˆpˆ,

585

очевидно є iнварiантом щодо перетворень Лоренца, а отже, i все рiвняння є релятивiстськи iнварiантним.

Без зусиль узагальнюємо рiвняння Дiрака на випадок руху зарядженої частинки в зовнiшньому електромагнiтному полi. А саме, замiнимо pˆ на pˆ − eA/c та i~∂/∂t на i~∂/∂t − eϕ, де e заряд частинки, A, ϕ векторний та скалярний потенцiали поля, i

Надалi ми не будемо виписувати явно одиничну матрицю ˆ, вва-

I

жаючи її присутньою при величинах, якi не є матрицями (як наприклад, eϕ).

Перехiд до стацiонарного рiвняння здiйснюємо, як i в нерелятивiстськiй теорiї:

ψ(q, t) = e− ~i Etψ(q).

Тодi одержуємо рiвняння на власнi функцiї та власнi значення для гамiльтонiана Дiрака:

ˆ

HDψ = Eψ.

§ 70. Матрицi Дiрака

Перейдемо тепер до встановлення явного вигляду матриць Дiрака. Нехай у комутацiйних спiввiдношеннях для них i 6= j:

αˆiαˆj + αˆj αˆi = 0.

Помножимо цю рiвнiсть на αˆi:

αˆ2i αˆj + αˆiαˆjαˆi = 0,

i з урахуванням того, що αˆ2i = 1, обчислимо шпур цього виразу,

тобто суму дiагональних матричних елементiв:

Sp (αˆj + αˆiαˆj αˆi) = 0.

586

Пiд знаком шпуру можна робити циклiчну перестановку матриць,

Sp αˆj + Sp αˆ2i αˆj = 0,

звiдки маємо

2Sp αˆj = 0,

оскiльки αˆ2i = 1. Отже, шпур, або слiд, будь-якої з матриць αˆj

дорiвнює нулевi:

Sp αˆj = 0.

Виберемо тепер з усiх можливих зображень таке, у якому матриця

ˆ є дiагональною:

β

Отже, по дiагоналi в матрицi ˆ стоять одиницi зi знаком “плю-

β

с” або “мiнус”. Причому оскiльки ˆ , то кiлькостi “плюс-

Sp β = 0

одиничок” i “мiнус-одиничок” збiгаються. Якщо так, то порядок матрицi є парним. Знову фiксуємо конкретне зображення

587

де через I позначена одинична матриця.

Перейдемо до комутацiйного спiввiдношення, у якому є мат-

причому величини a, b, c, d є, узагалi кажучи, матрицями i нехай

однакового порядку. Випишемо тепер явно комутацiйнi спiввiдношення:

588

звiдки

2a 0 = 0.

0 −2d

Отже, ми отримали, що a = 0, d = 0. Таким чином, матрицi αˆi

мають такий вигляд:

Знову виберемо одну з матриць дiагональною. Наприклад, це зображення, у якому дiагональною є матриця σˆz. Оскiльки во-

на ермiтова i квадрат її дорiвнює одиницi, то так само, як i для

матрицi ˆ, знайдемо, що

β

589

Аналогiчно до попереднього з комутацiйних спiввiдношень матрицi σˆz з матрицями σˆx та σˆy знаходимо, що вони мають таку ж структуру, як i αˆi:

що дає ff+ = 1, f+f = 1. Очевидно, це буде справджуватись i для σˆy: gg+ = 1, g+g = 1. Далi з умови

i отже,

fg+ + gf+ = 0,

f+g + g+f = 0.

590