Вакарчук І.О. Квантова механіка

першу похiдну за часом вiд ψ, яка, крiм того, за вимогою принци-

пу суперпозицiї входить у це рiвняння лiнiйно. Рiвняння Кляйна– Ґордона–Фока не є правильним з погляду квантової механiки, бо в нього входить друга похiдна за часом. Отже, ми опинились в ситуацiї, коли, здавалось би, неможливо поєднати квантову теорiю з теорiєю вiдносностi, тобто коли основнi принципи релятивiстської механiки i квантової механiки неможливо задовольнити в одному рiвняннi руху.

Труднощi виникають не лише на шляху побудови релятивiстського квантового рiвняння для хвильової функцiї, а й з використанням та iнтерпретацiєю його розв’язкiв. Виявляється, що необхiдно переглянути деякi поняття нерелятивiстської квантової теорiї, зокрема поняття координати частинок2. Спроба локалiзацiї частинки в дiлянцi з лiнiйними розмiрами x ~/mc = Λ (Λ комптонiвська довжина хвилi) з метою визначення її координат приводить, згiдно з принципом Гайзенберґа x p ~,

досвiд, можливим є перетворення частинок та народження нових. Прикладом цього можуть бути: процес знищення фотона в полi ядра з народженням електронно-позитронної пари; розпад вiльного нейтрона на протон, електрон й антинейтрино; розпад мюона на електрон, нейтрино й антинейтрино; розпад Λ0-частинки з

утворенням протона та неґативного пiона i т.д. Виникає запитання, про координату якої частинки йде мова (адже частинка, координати якої ми вимiрювали, зникла) i взагалi, що розумiти пiд координатою, якщо вiдстанi, меншi, нiж Λ, не вдається вимiряти?

На вiдмiну вiд координати, поняття iмпульсу є добре означеним,

2Читачевi цiкаво буде знати, що в Античному свiтi i в Середньовiччi по-

няття простору (як i часу) було невизначеним i розмитим. Платон узагалi заперечував можливiсть визначити понятття простору, а Аристотель вважав це поняття настiльки важкосхоплюваним, що ставив пiд сумнiв iснування простору як такого. Сам термiн “простiр” був вiдсутнiй. Поняття простору знайшло своє розкриття i визначення лише пiсля праць Р. Декарта, Ґ. Ґалiлея, I. Ньютона, спочатку як абсолюту, вмiстилища подiй i явищ, як декорацiї, на фонi якої вони вiдбуваються, i аж до теперiшнiх уявлень про самоузгоджений з речовиною i полями простiр, iз, мабуть, безмежною кiлькiстю вимiрiв, бiльшiсть iз яких є компактифiкованими i лише чотири з них безпосередньо доступнi нам через вiдчуття.

571

оскiльки для вiльного руху частинок, коли координата повнiстю не визначена, iмпульс точно вiдомий. Отже, у релятивiстськiй теорiї адекватним є iмпульсне зображення.

Виходить, що квантова механiка однiєї частинки має змiст лише за умови, якщо розглядаються процеси з енерґiями E < mc2.

Тобто навiть точнi рiвняння ми повиннi розв’язувати у квазiрелятивiстському наближеннi, розкладаючи їх за степенями 1/c.

Причому в цих розкладах необхiдно обмежуватись лише членами 1/c2. Це пов’язано з тим, що, як ми бачили, iнтенсивнiсть випромiнювання та поглинання свiтла I e2ω4a2/c3. Отже, якщо ми виходимо за межi наближення 1/c2, то змушенi враховувати

процеси поглинання й випромiнювання фотонiв.

Отже, для енерґiй, бiльших, нiж mc2, необхiдно брати до

уваги можливiсть народження та знищення частинок. Цим займається фiзика високих енерґiй, або, як її ще називають, фiзика елементарних частинок. У фундаментi фiзики високих енерґiй є квантова теорiя поля, яка за своєю суттю є теорiєю багатьох частинок. Центральною iдеєю квантової теорiї поля є те, що i для опису частинок, i для опису взаємодiї мiж ними вводяться квантованi поля. Подiбно, як при квантуваннi електромагнiтного поля ми вводили оператори породження та знищення фото-

нiв, такi ж оператори ˆ+ та ˆ вводимо i при квантуваннi, напри-

ψ ψ

клад, електронно-позитронного поля. Цi оператори залежать вiд просторово-часових змiнних. Кулонiвська взаємодiя мiж електронами виникає внаслiдок обмiну фотонами. Фермiоннi оператори вiдповiдають частинкам (з погляду класичної фiзики), а бозоннiполю. У так званих суперсиметричних теорiях роль фермiонiв як частинок i роль бозонiв як носiїв взаємодiї вже не є так чiтко визначена.

Процеси народження та знищення частинок, що є характерними для фiзики субатомного рiвня, ставлять багато iнших питань. Зокрема, що таке елементарнi частинки взагалi, адже вони не є стабiльними? Навiть нейтрон у вiльному станi живе лише близько 17 хвилин. Важко також уявити собi, що розумiти пiд поняттям просторово-часових координат, наприклад, на планкiвських мас-

572

“минулому” (вiд чого можуть бути в захватi фiлософи та кiнорежисери)3.

Повернемось тепер до рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока й дослiдимо його докладнiше.

Будемо намагатись надати хвильовiй функцiї змiст амплiтуди ймовiрностi й напишемо рiвняння неперервностi. Випишемо систему двох рiвнянь для ψ та ψ :

−~2 ∂2ψ = −~2c2 2ψ + m2c4ψ, ∂t2

−~2 ∂2ψ = −~2c2 2ψ + m2c4ψ . ∂t2

Помножимо перше рiвняння на ψ , друге на ψ i вiзьмемо їхню

рiзницю:

Уведемо потiк густини ймовiрностi, як i в нерелятивiстськiй теорiї j = 21m (ψ pˆ ψ − ψpˆ ψ ) = 2mi~ (ψ ψ − ψ ψ ),

3“. . . Вся штука полягає в тому, додав вiн, готовий продемонструвати

їїмеханiзм на вже налаштованих для цього пальцях, що ми вiдсунули час. Ми тут запiзнюємося з часом на певний iнтервал, довжину якого неспромога окреслити. Все зводиться до простого релятивiзму. Тут батькова смерть ще просто не дiйшла до скутку та смерть, яка вже досягла його у вашiй батькiвщинi. . . ”

“. . . До того ж уся ота аж нiяк не приваблива манiпуляцiя з часом. Тi зловiснi змови, чiпке пiдкрадання в його механiзми, ризикованi витребеньки коло його дражливих таємниць! Iнколи хочеться грюкнути об стiл i закричати на все горло: – Досить уже, зась вам до часу, час недоторканий, час не можна провокувати! Вам що не досить простору? Якраз-от простiр для людини, у просторi можете собi гасати доволi, вимахуватися, беркицькатися, стрибати з зiрки на зiрку. Але, на милiсть Божу не чiпайте часу!”

Бруно Шульц. Санаторiй Пiд Клепсидрою (Переклад Андрiя Шкраб’юка). Просвiта, Львiв, 1995.

573

i наше рiвняння набирає вигляду рiвняння неперервностi

Зрозумiло, що ρ = ρ i нiбито ця величина пiдходить для густини ймовiрностi. Але, крiм хвильових функцiй ψ та ψ , у ρ входять їхнi похiднi за часом ∂ψ/∂t, ∂ψ /∂t, i при довiльних у початковий момент часу значеннях ψ та ∂ψ/∂t величина ρ може мати

будь-який знак: додатний чи вiд’ємний, або дорiвнювати нулевi. Тому не можна ρ iнтерпретувати як густину ймовiрностi того, що частинка в момент часу t знаходиться в точцi x, y, z. Хоча в нерелятивiстськiй межi величина ρ переходить у знайомий

нам вираз iз теорiї Шрединґера. Справдi, для стацiонарних станiв ψ(r, t) = e− ~i Etψ(r) маємо

ρ = mcE2 |ψ|2.

Нагадаймо, що E = mc2 + E′, де енерґiя E′ вiдраховується вiд енерґiї спокою частинки mc2, i тодi

ρ = 1 + E′ |ψ|2. mc2

Звiдси, коли c → ∞, E′/mc2 → 0 знаходимо, що ρ = |ψ|2.

Отже, в теорiї Кляйна–Ґордона–Фока величина ρ може стати

вiд’ємною i просто так приписувати їй змiст густини ймовiрностi не можна: ми розплачуємось за недотримання основного постулату квантової механiки. Хоча можна вийти зi становища, помноживши величину ρ на електричний заряд, i говорити про неї як

про густину електричного заряду частинки, який може бути додатним, вiд’ємним i рiвним нулевi. Рiвняння неперервностi набуває змiсту закону збереження заряду. Однак, як уже зазначалось, ρ

може змiнювати знак, не кажучи вже про те, що залишається ще проблема опису нейтральних частинок. У нерелятивiстськiй межi E′ mc2 величина ρ > 0 i їй можна приписати змiст густини

574

ймовiрностi. Отже, рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока в цьому випадку може описувати фiзичнi явища. Тому цiкаво дослiдити на його основi рух електрона в електромагнiтному полi.

Вмикання поля з потенцiалами ϕ та A в класичнiй електродинамiцi здiйснюється замiнами E → E − eϕ, p → p − eA/c.

Вiдповiдно у квантовiй механiцi робимо такi зсуви операторiв:

i рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока для електрона в полi набуває вигляду:

i~∂t∂ − eϕ 2 ψ = c2 pˆ − ec A 2 ψ + m2c4ψ.

Якщо потенцiали поля не залежать вiд часу, то можна перейти до стацiонарного рiвняння пiдстановкою

ψ(r, t) = e− ~i Etψ(r).

У результатi маємо

(E − eϕ)2ψ = c2 pˆ − ec A 2 ψ + m2c4ψ,

тут ψ = ψ(r).

§ 68. Кеплерiвська проблема в теорiї Кляйна–Ґордона–Фока

Нас цiкавитиме задача про рух частинки в полi кулонiвського потенцiалу, тобто проблема Кеплера в релятивiстськiй теорiї. Конкретно розглянемо задачу про атом водню, тому нехай A = 0, ϕ = |e|/r. Енерґiю будемо вiдраховувати вiд енерґiї спокою E = mc2 + E′, i тодi рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока запише-

ться так:

E′ − eϕ + mc2 2 ψ = c2pˆ2ψ + m2c4ψ.

Зауважимо, що для нерелятивiстського наближення маємо нерiвнiсть

E′ − eϕ

mc2

1.

575

Це точне рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока.

Виявляється, що для кулонiвського потенцiалу ϕ воно дозволяє знайти точний вираз для енерґiї E′. Ми на цьому зупинимось

наприкiнцi параграфа, а тепер, оскiльки, як говорилось вище, можемо претендувати лише на поправки 1/c2 до нерелятивiстської

задачi, то обчислимо цi поправки. Уже зi структури знайденого рiвняння видно, що при c → ∞ з нього просто отримати рiвняння

Шрединґера

2m + eϕ ψ = E′ψ.

Застосуймо теорiю збурень. Нехай гамiльтонiан нульової задачi

ˆ ˆ ′ (H0 + V )ψ = E ψ,

i оскiльки матричнi елементи теорiї збурень обчислюються на хви-

576

Змiст цього оператора видно з розкладу енерґiї вiльної релятивiстської частинки в ряд за степенями 1/c2:

Перший член це енерґiя спокою частинки, другий звичайна кiнетична енерґiя, а третiй це так звана поправка на залежнiсть

маси вiд швидкостi. Саме їй i вiдповiдає оператор ˆ .

V

Розв’язавши задачу за теорiєю збурень, знаходимо енерґiю:

E′ = E(0) + E(1) + · · · ,

E(0) = − me4 ,

2~2n2

n = 1, 2, . . . ,

а першу поправку визначає дiагональний матричний елемент оператора збурення, розрахований на хвильових функцiях нерелятивiстського атома водню:

577

Використаймо середнi значення з нерелятивiстської водневої

де α = e2/~c 1/137 стала тонкої структури.

Отже, як бачимо, релятивiстська поправка до енерґiї залежить вiд квантового числа l i, таким чином, випадкове виродження в

проблемi Кеплера знiмається. Повна енерґiя в цьому наближеннi4

Систему рiвнiв енерґiї при заданому головному квантовому числi n називають тонкою структурою енерґетичного спектра.

Пiдрахуємо розщеплення енерґетичного рiвня з n = 2 для станiв 2s та 2p (див. рис. 60):

= E21′ − E20′ ,

me4 α2

= ~2 12 .

Виявляється, однак, що експериментальне значення є значно меншим, exp /3. Рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока не може опи-

сати рух електрона в атомi водню. Воно описує безспiновi частинки, такi, наприклад, як пiони. Зокрема, задача, яку ми розглянули, виникає при дослiдженнi руху π-мезонiв у полi атомних ядер (π-мезонний атом).

4Цю формулу вперше отримав А. Зоммерфельд у межах “старої” квантової

механiки.

578

Рис. 60. Розщеплення енерґетичних рiвнiв атома водню в теорiї Кляйна–Ґордона–Фока.

А тепер повернемось до знаходження точного значення енерґiї E′. Точне рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока, яке ми виписали на початку параграфа, з кулонiвським потенцiалом ϕ = |e|/r пiсля елементарного розкриття в ньому квадрата (E′ −eϕ)2 має вигляд:

Його можна звести до нерелятивiстської задачi про атом водню. Для цього останнiй член у квадратних дужках перенесемо в праву частину рiвняння i введемо енерґiю

E = E′ + E′2/2mc2

та квадрат ефективного заряду

e 2 = e2(1 + E′/mc2).

Крiм того, пiсля переходу до радiального рiвняння Шрединґера доданок 1/r2 об’єднуємо з вiдцентровою енерґiєю i вводимо таке

позначення:

~2l (l + 1) = ~2l(l + 1) − e4/c2,

579

тобто вводимо ефективне орбiтальне квантове число

p

l = −1/2 + (l + 1/2)2 − α2,

перед коренем беремо знак “+”, щоб при α = 0 отримати l = l.

Iз “зiрковими” величинами релятивiстське рiвняння точно збiгається з нерелятивiстським, i тому вже “з руками в кишенях”, використовуючи формулу Бора з §41, для енерґiї E знаходимо:

nr радiальне квантове число, nr = 0, 1, 2, . . .. Пiдстановка в цю

формулу “зiркових” величин дає квадратне рiвняння на енерґiю

E′:

причому перед коренем фiксуємо знак “+”, щоб забезпечити перехiд до нерелятивiстської теорiї при α = 0. Розклад за степенями константи тонкої структури α з урахуванням того, що головне квантове число n = nr + l + 1, повертає нас до наближеної фор-

мули Зоммерфельда, яка наведена вище.

Приклад. Квантування Бора–Зоммерфельда в релятивiстськiй проблемi Кеплера. Повна енерґiя релятивiстського електрона в кулонiвському полi ядра (без енерґiї спокою)

E = pp2c2 + m2c4 − mc2 − e2 . r

Звiдси маємо

580