Вакарчук І.О. Квантова механіка

Пiдставмо цей матричний елемент у вираз для диференцiального перерiзу i виконаймо, завдяки δ-функцiї, iнтеґрування за iмпульсом p:

причому пам’ятаймо, що iмпульс p та частота ω пов’язанi рiвня-

нням Айнштайна для фотоефекту. Отже, остаточний вираз для диференцiального перерiзу фотоефекту є таким:

Дослiдимо цей вираз, виконуючи спочатку ряд елементарних перетворень:

тут cos θ = cos( d, ). Далi, використовуючи рiвняння Айнштайна p k

i вираз для енерґiї йонiзацiї для |1si-стану атома водню

де v = p/m швидкiсть фотоелектрона. Оскiльки ми розглядаємо нерелятивiстський випадок ~ω mc2, то для диференцiаль-

ного перерiзу знаходимо:

561

Одиничний вектор поляризацiї ek,α спрямуймо вздовж осi x, а хвильовий вектор k уздовж осi z. У сферичних координатах x-компонента iмпульсу електрона

в напрямку поляризацiї фотона (θ = π/2, ϕ = 0). У напрямку поширення фотона (θ = 0) iмовiрнiсть вильоту фотоелектрона

дорiвнює нулевi. Знаменник у виразi диференцiального перерiзу збiльшує ймовiрнiсть вильоту електрона вперед зi збiльшенням

Повний перерiз фотоефекту σ дає змогу знайти коефiцiєнт по-

глинання електромагнiтного випромiнювання. Але це лише один iз механiзмiв поглинання. Пiд час проходження електромагнiтного випромiнювання через речовину його iнтенсивнiсть зменшується внаслiдок процесiв як поглинання, так i розсiювання. Iснує так зване селективне поглинання, або поглинання в лiнiї, яке вiдбувається на певнiй частотi при переходi мiж дискретними рiвнями квантової системи (див. попереднiй параграф), i неперервне поглинання. Поглинання в неперервному спектрi зумовлене трьома процесами: фотоефектом, комптонiвським розсiянням на вiльних електронах та утворенням електронно-позитронних пар. Коефiцiєнт поглинання, що має розмiрнiсть оберненої довжини, складається iз суми трьох вiдповiдних доданкiв, кожен з яких дорiвнює добутковi ефективного перерiзу процесу на кiлькiсть атомiв

562

в одиницi об’єму. Внесок у коефiцiєнт поглинання фотоелектричного ефекту для N атомiв з урахуванням того, що K-оболонка

мiстить два електрони, дорiвнює

Залежнiсть величини κ вiд частоти ω зображена на рис. 59.

Рис. 59. Залежнiсть коефiцiєнта поглинання електромагнiтного випромiнювання вiд частоти.

Ми розглянули явище фотоефекту на окремому iзольованому атомi. Для системи атомiв фотоелектрон у кiнцевому станi знаходиться в полi не лише власного йона, а взаємодiє з усiма навколишнiми атомами чи йонами, i його хвильова функцiя, вiдповiдно до принципу суперпозицiї, є лiнiйною комбiнацiєю плоских хвиль, “центрованих” на оточуючих частинках exp[ik(Rj − r)], де Rj координата j-ого атома оточення. Зрозумiло, що го-

ловну роль вiдiграє найближче оточення. Отже, диференцiальний перерiз розсiяння й коефiцiєнт поглинання, якi визначаються квадратом модуля матричного елемента, залежатимуть вiд взаємного розташування частинок, що оточують цей атом: κ P exp[ik(Rj − Rl)]. Це спричинює осцилюючий характер залежностi коефiцiєнта поглинання вiд частоти ω = kc (рис. 59),

що дає змогу визначати просторову структуру найближчого оточення атома, з якого вилiтає фотоелектрон. На цьому ґрунтується

563

вимiрювання структури методом EXAFS-спектроскопiї (extended X-ray absorption fine structure) за протяжною тонкою структурою спектрiв рентґенiвського поглинання. Цей метод разом iз методами рентґенiвської та нейтронної дифракцiї дає змогу розшифровувати складнi структури не лише твердих тiл, а, зокрема, й органiчних молекул. Крiм того, EXAFS-метод дозволяє також прямо вимiрювати потенцiал електрон-йонної взаємодiї в конденсованих тiлах.

Приклад. EXAFS-спектроскопiя. Оцiнимо зсув коефiцiєнта поглинання атома κ, зумовлений збуренням частинок середовища, для частот, далеких вiд краю поглинання ω I/~.

Розраховуємо потрiбний нам для обчислення κ матричний елемент (ek,αpˆ)|p), де круглими дужками |p) ми позначаємо хвильову фун-

кцiю кiнцевого стану електрона, який перебуває не лише в полi “свого” атома, а й в оточеннi збурюючих частинок. За теорiєю збурень (див. §45), хвильова функцiя у першому наближеннi

де |pi хвильова функцiя електрона на iзольованому атомi з номером a i координатою Ra, ми вважаємо, що |pi та |p′i є плоскими хвилями; Wенерґiя взаємодiї електрона (з координатою r вiдносно ядра “свого” ато-

ма) з навколишнiми частинками. Для односортної системи величина W =

P

j≥1 w(|r + Ra − Rj |), w так званий екранований псевдопотенцiал взаємодiї електрона з йонами, розташованими в точках Rj .

Отже, матричний елемент

(p 6=p)

Згiдно з означенням, коефiцiєнт поглинання пропоцiйний квадратовi модуля цього матричного елемента. Нас цiкавлять великi значення хвильового вектора k = ω/c, тому з-пiд знака суми за p′ можна винести матричний елемент

h1s|e−ikr(ek,αpˆ)|p′i при p′ = p. Справдi, як видно з його явного вигляду, наведеного в текстi, при ~k p′ цей матричний елемент (ek,αp′)/ω4. А з

огляду на те, що головний внесок при пiдсумовуваннi даватимуть вектори p′, близькi до p (знаменник близький до нуля), то замiна p′ на p є правомiрною.

Допитливий Читач, зробивши детальнiший аналiз внеску кутової залежностi величини (ek,αp′) в цей матричний елемент, зможе переконатись, що пiсля

564

iнтеґрування за кутами отримаємо результат, еквiвалентний замiнi p′ на p.

де κ0 коефiцiєнт поглинання iзольованого атома, виписаний в основному текстi цього параграфа. З урахуванням того, що хвильову функцiю |p) ми взяли в першому наближеннi за енерґiєю збурення W , з тiєю ж точнiстю

потрiбно брати i κ, i у зв’язку з цим для вiдносного зсуву коефiцiєнта поглинання знаходимо

=wq X eiq(Ra−Rj ), V

j≥1

Z

wq = e−iqRw(R) dR,

~q = p′ − p iмпульс передачi. Узявши до уваги те, що видiлений атом iз номером a є будь-яким з усiєї сукупностi, цей матричний елемент можна, пiдсумувавши за a (a 6= j) i подiливши на кiлькiсть атомiв N, записати так:

hp′|W |pi = wq(Sq − 1),

(p 6=p)

Переходимо вiд пiдсумовування за p′ до iнтеґрування за q у сферичних координатах, направляючи вiсь z уздовж вектора p, i пiсля iнтеґрування за

азимутальним кутом отримуємо

565

де x = cos θ, θ кут мiж векторами q та p/~. Iнтеґруючи далi за x, остаточно

знаходимо

“вiдслiдковує” осциляцiйний характер структурного фактора Sq. Отже, за вiдомими величинами wq та χ(p) звiдси можна знайти структурний фактор, що

й використовують в EXAFS-спектроскопiї.

Видiлимо особливу точку q0 = 2p/~, використовуючи такий iнтеґрал:

правiй частинi рiвняння для χ(p), i знайдемо:

Ми очiкуємо, що головним тут є перший неiнтеґральний доданок. Це рiвняння дає також змогу при вiдомiй залежностi вiдносного зсуву коефiцiєнта поглинання вiд частоти та визначеного з незалежних експериментiв структурного фактора знайти коефiцiєнт Фур’є екранованого псевдопотенцiалу електрон– йонної взаємодiї.

Г Л А В А X

РЕЛЯТИВIСТСЬКА КВАНТОВА МЕХАНIКА

§ 67. Рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока

Хвильове рiвняння Шрединґера, як уже ми зазначали, не описує релятивiстських ефектiв, коли швидкостi частинок великi й сумiрнi зi швидкiстю свiтла. Це видно iз самого рiвняння

де в найпростiшому випадку для частинки з потенцiальною енерґiєю U = U(x, y, z) гамiльтонiан

По-перше, координати x, y, z i час t, що є рiвноправними в ре-

лятивiстськiй теорiї, у це рiвняння входять украй несиметрично. По-друге, видно, що в цьому рiвняннi не можуть бути врахованi релятивiстськi ефекти, оскiльки в нього просто не входить швидкiсть c. Отже, рiвняння Шрединґера не є iнварiантним стосовно

перетворень Лоренца, воно залишається незмiнним при перетвореннях Ґалiлея. Наше завдання полягає в тому, щоб установити таке рiвняння, яке б задовольняло вимоги теорiї вiдносностi та основнi принципи квантової механiки.

При встановленнi хвильового рiвняння Шрединґера ми попередньо звертались до рiвнянь класичної фiзики, якi допомагають сформулювати саму проблему. Зробiмо так само тепер. Нагадаймо, що рiвняння Ньютона є iнварiантними щодо перетворень Ґалiлея, а рiвняння електродинамiки Максвелла щодо перетворень Лоренца. Якщо вважати, що правильними є рiвняння Максвелла, як це зробили А. Айнштайн та А. Пуанкаре, то рiвняння

567

Ньютона потребує змiн. Центральним поняттям у релятивiстськiй теорiї є так званий iнтервал, квадрат якого

ds2 = gµν dxµ dxν ,

µ, ν = 0, 1, 2, 3, x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z,

де метричний тензор gµν задає спосiб вимiрювання довжин та ку-

тiв у 4-вимiрному просторi. У загальнiй теорiї вiдносностi величини gµν задають стан ґравiтацiйного поля i залежать вiд розподiлу

мас у просторi. У спецiальнiй теорiї вiдносностi компоненти метричного тензора

g00 = 1, g11 = g22 = g33 = −1, gµν = 0, µ 6= ν

i квадрат iнтервалу має такi ж геометричнi властивостi, як i хвильове рiвняння електродинамiки Максвелла, зокрема вiн також є лоренц-iнварiантним:

ds2 = inv.

Виправленi А. Айнштайном та А. Пуанкаре, згiдно з вимогою лоренц-iнварiантностi, рiвняння Ньютона для частинки маси m

мають такий вигляд:

E = p mc2 . 1 − v2/c2

Перше з цих рiвнянь, власне, i є рiвнянням Ньютона для частинки, на яку дiє зовнiшня сила f, а друге це теорема про кiнети-

чну енерґiю. Якщо енерґiю записати через iмпульс, виключивши

швидкiсть, то ми отримаємо класичну функцiю Гамiльтона p

H = p2c2 + m2c4.

568

Здавалось би, далi все просто: стандартним чином, замiною iмпульсу p на оператор pˆ = −i~ знаходимо оператор Гамiльтона

p

ˆ ˆ2 2 2 4

H = p c + m c ,

а з ним i хвильове рiвняння для релятивiстського випадку

i~∂ψ∂t = ppˆ2c2 + m2c4 ψ.

Однак це рiвняння нам не пiдходить воно не iнварiантне стосовно перетворень Лоренца, адже похiдна за часом i похiднi за координатами знову входять зовсiм не рiвноправно1. Як бачимо, що хоча воно задовольняє всi принципи квантової механiки, але, внаслiдок несиметричного входження часу t i координат (x, y, z),

не вiдповiдає принципам релятивiстської механiки.

1Цiкаво, що цю iдею рiвноправностi всiх вимiрiв простору, на яку вперше

1907 року наголосив Г. Мiнковський (1864–1909), говорячи, що “вiдтепер простiр сам по собi i час сам по собi мусять перетворитись у фiкцiї i лише деякий вид поєднання обох повинен ще зберегти самостiйнiсть”, було пiдхоплено i в iнших напрямках людської дiяльностi, зокрема в мистецтвi.

Видатний український актор, режисер, драматург Лесь Курбас (1887–1937)

людина потужного таланту i трагiчної долi, у лекцiях для студентiврежисерiв у Мистецькому об’єднаннi “Березiль” у 1922–1933 роках говорив, що “театр як мистецтво чотирьох вимiрiв зостанеться постулатом, який мусить бути виповненим . . . Час то є четвертий вимiр. Я говорив про те, як формулює свiт Айнштайн, за ним це просторовий i часовий континуум. Континуум значить, неперервний предмет, iснує не тiльки в просторi, але й в часi. . . ”.

Лесь Курбас, який був у 1909–1910 студентом фiлософського факультету Львiвського унiверситету, узагалi є яскравим представником творчої особистостi з мiждисциплiнарним мисленням. У своїх лекцiях вiн упевнено послуговувався фiзичною термiнологiєю (iнтенсивнiсть дiї та сила взаємодiї, iнерцiя, кiнетична та потенцiальна енергiї, прискорення, динамiка, статика, механiчний момент. . . ) з посиланнями на закони Ньютона, Гюйґенса, Гельмгольца. . .

Читачевi також цiкаво буде знати, що Iван Франко, як студент фiлософського факультету Львiвського унiверситету, записався на лекцiї вiдомого польського вченого Юлiана Охоровича (1850–1917) з курсу “Фiлософiя фiзики”, якi прослухав пiд час зимового семестру 1878/79 навчального року,

унiверсальний генiй Iвана Франка потребував дiяльностi як iнтуїтивнообразної, так i евристично-логiчної складової його “розуму–бистроуму”.

569

Ми можемо створити цю симетрiю, якщо будемо виходити з квадрата енерґiї

E2 = p2c2 + m2c4.

Запишемо рiвняння на власнi значення та власнi функцiї для квадрата написаного вище оператора Гамiльтона:

(pˆ2c2 + m2c4) ψ = E2ψ.

Тепер дiємо так, як би ми дiяли в нерелятивiстськiй теорiї, щоб отримати нестацiонарне хвильове рiвняння Шрединґера зi стацiонарного: формальною замiною енерґiї E на похiдну i~∂/∂t утворюємо таке рiвняння для хвильової функцiї ψ = ψ(x, y, z; t):

i~∂t∂ 2 ψ = (pˆ2c2 + m2c4) ψ,

або

Ми отримали рiвняння, вiдоме як рiвняння Кляйна–Ґордона– Фока, назване за iменами вчених, якi його винайшли й дослiдили, хоча вперше це рiвняння написав Е. Шрединґер. Рiвняння, як бачимо, є релятивiстськи iнварiантним. Це стає ще очевиднiшим, якщо ввести оператор 4-iмпульсу

i лiву частину рiвняння записати як квадрат цього оператора:

pˆµpˆµψ = m2c2ψ.

Однак це рiвняння нам теж не пiдходить. Тепер уже тому, що воно не задовольняє першого постулату квантової механiки. Згiдно з ним, стан квантовомеханiчної системи повнiстю описується хвильовою функцiєю ψ i тому рiвняння руху повиннi мiстити лише

570