Вакарчук І.О. Квантова механіка

Отже, виходить, що

а тензор поляризованостi системи:

N

αµν = V βµν .

Розглянемо найпростiший випадок, коли координатнi осi напрямленi вздовж головних осей тензора поляризованостi, βµν

δµν :

Якщо в цьому виразi x замiнити на y, отримаємо βyy, а замiна x на z дає βzz. Уведемо величину, яку називають “сила осцилятора”:

fkn = 2mωkn |xkn|2.

~

Тодi

e2 X fkn

βxx = m ω2 − ω2 .

k(k6=n) kn

Для iзотропного розрiдженого середовища, з якого ми починали наш розгляд, поляризованiсть є скаляром β = βxx = βyy = βzz, i

ми отримуємо для показника заломлення11:

11Сподiваємось, що читач не буде плутати нумерацiю хвильової функцiї початкового стану значком n iз позначенням показника заломлення лiтерою n.

551

Цей вираз повнiстю вiдповiдає класичнiй формулi для показника заломлення, причому величину fkn теж називають силою осци-

лятора, яка має змiст кiлькостi оптичних електронiв iз власною частотою коливань ωkn. Дослiд показував, однак, що це число

є меншим за одиницю. Квантова механiка дає просте пояснення цьому. Величини fkn у квантовiй механiцi вже не є цiлими числа-

ми, крiм того, вони можуть бути як додатними, так i вiд’ємними числами залежно вiд знака частоти переходу ωkn. Легко довести,

що їхня сума за першим iндексом дорiвнює одиницi. Справдi,

тут pˆ є x-компонентою оператора iмпульсу електрона.

Отже, ми отримали так зване правило сум для сил осциляторiв (теорема Томаса–Райхе–Куна):

X

fkn = 1.

k

На рис. 57 зображена частотна залежнiсть показника заломлення в дiлянцi резонансних частот для додатної (fkn > 0) дисперсiї та вiд’ємної (fkn < 0), коли атом знаходиться в збудженому

станi: Ek(0) < En(0). Якщо атом перебуває в основному станi, то очевидно всi fkn > 0.

Цiкаво, що коли атоми середовища моделювати гармонiчними осциляторами з частотою ω0, то показник заломлення пiсля пiдсумовування за iндексом кiнцевих станiв k набирає класичного

вигляду (без явища вiд’ємної дисперсiї)12:

Коли система атомiв знаходиться в термодинамiчно рiвноважному станi при температурi T , то ймовiрнiсть перебування атома

12Сили осцилятора розраховано в прикладi до цього параграфа.

552

Рис. 57. Поведiнка показника заломлення в дiлянцi резонансних частот: а додатна дисперсiя; б вiд’ємна дисперсiя.

в початковому станi з енерґiєю En(0) задається розподiлом Боль-

цмана

ρn = e−En(0)/T ,

Z

де статистична сума

Z = X e−En(0)/T .

n

За означенням, термодинамiчне середнє iндукованого полем ди-

польного моменту

X

hdi = ρndnn. n

Для поляризованостi α тепер знаходимо:

Звiдси можна отримати температурну залежнiсть для показника заломлення.

В околi резонансних частот ω = ωkn одержанi вирази, як ба-

чимо, не працюють, оскiльки в знаменнику отримуємо нулi. Причина цього полягає в тому, що ми розглядаємо атомнi стани як стацiонарнi.

553

Для того щоб працювати в околi резонансної частоти, ми мусимо взяти до уваги час життя атомiв у збуджених станах, урахувавши, що немає стацiонарних станiв, а є лише квазiстацiонарнi. Це легко зробити замiною стацiонарних станiв квазiстацiонарни-

де γk, γn сталi загасання для станiв з iндексами k та n. У ре-

зультатi, повторивши попереднi викладки, для атомної поляризованостi знаходимо

де γ = γk + γn.

Зрозумiло, що β i α в цьому випадку є комплексними величи-

нами:

554

Комплексним є i показник заломлення

n′′ = 2παn′ ′′ .

Як бачимо, в околi резонансної частоти величини α′ та α′′, а з

ними й показник заломлення, мають скiнченнi значення. Комплексний характер показника заломлення легко iнтерпре-

тувати. У мiру проходження свiтла через речовину його iнтенсивнiсть зменшується. Якщо свiтло поширюється, наприклад, уздовж осi z, то амплiтуда хвилi пропорцiйна до

eikz = ei ωv z = ei ωc zn = ei ωc zn′ e− ωc zn′′ ,

де v = c/n швидкiсть поширення свiтла в середовищi. Звiдси

можна знайти коефiцiєнт поглинання свiтла для середовища через n′′. Справдi, iнтенсивнiсть свiтла I, яка пропорцiйна до квадрата модуля амплiтуди хвилi, експоненцiально спадає зi збiльшенням z:

I = I0e−κz,

де I0 iнтенсивнiсть падаючого на речовину свiтла в точцi z = 0,

а величина 2ω

κ = c n′′

має змiст коефiцiєнта поглинання свiтла. Отже,

κ = 4πωα′′ n′c

або, пiдставляючи явний вигляд уявної частини поляризованостi, маємо:

555

Урахування температурної залежностi здiйснимо, якщо помножимо цей вираз на ймовiрнiсть реалiзацiї початкового стану ρn i пiдсумуємо за iндексом n. При цьому в другому доданку “нiмi” iндекси пiдсумовування помiняємо мiсцями i з урахуванням того, що

Якщо частота ω близька до резонансної, то з усiєї суми важливим

є лише один доданок, який називається коефiцiєнтом поглинання в спектральнiй лiнiї:

Другий доданок, який зменшує поглинання, ураховує внесок у випромiнювання спонтанних переходiв зi збуджених станiв атомiв. Цей внесок, як правило, несуттєвий, унаслiдок того, що ~ω/T 1.

Як бачимо, профiль коефiцiєнта поглинання збiгається з профiлем спектральної лiнiї i має лоренцiвський характер. Площа пiд цим контуром, тобто iнтеґрал за ω, є пропорцiйною до сили осци-

лятора, що дозволяє її експериментально визначити через вимiрювання коефiцiєнта поглинання13.

Приклад. Сила осцилятора лiнiйного гармонiчного осцилятора. За означенням,

fkn = 2~m ωkn|xkn|2,

13Послiдовне виведення виразу для коефiцiєнта поглинання шляхом побу-

дови кiнетичного рiвняння для фотонiв подано в пiдручнику: I. О. Вакарчук. Теорiя зоряних спектрiв. Львiв: Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, 2002, де наведено також розрахунок сил осциляторiв для водневоподiбних атомiв, сталої загасання γ, коефiцiєнта розсiяння, необхiдних

для дослiдження структури контурiв спектральних лiнiй атома.

556

а далi беремо з §22 вираз для матричного елемента оператора координати

перехресний доданок, зрозумiло, дає нуль. Ураховуючи, що ωn−1,n = −ω, а ωn+1,n = ω, маємо остаточно

fkn = (n + 1)δk,n+1 − nδk,n−1.

Перевiримо правило сум:

X

fkn = (n + 1) − n = 1,

k

а пiдсумовування за другим iндексом дає

X

fkn = (k − 1) + 1 − (k + 1) = −1,

n

як i повинно бути.

§ 66. Фотоефект

Система заряджених частинок, якi перебувають у зв’язаному станi, при поглинаннi фотонiв достатньо високої енерґiї може розпадатись. Наприклад, таким явищем є розщеплення ядер при поглинаннi фотона, яке має назву фоторозщеплення, а виривання електронiв з атома пiд дiєю фотона називають фотоелектричним ефектом, або просто фотоефектом. Процесом, зворотним до фотоефекту (фотойонiзацiї), є радiацiйна рекомбiнацiя електрона та йонiзованого атома: при зiткненнi електрона з йоном система переходить у зв’язаний збуджений стан iз наступними переходами з випромiнюванням фотонiв у стани з усе нижчими значеннями енерґiї аж до основного стану.

Розгляньмо задачу розрахунку ймовiрностi фотоефекту. Нехай електрон в атомi (див. рис. 58) перебуває в |1si-станi з енерґiєю E1s (за класифiкацiєю рентґенiвських термiв це K-

оболонка), а стан електромагнiтного поля задається амплiтудою = 1, 0, . . .i, яка описує наявнiсть одного фотона

557

Рис. 58. Квантовi переходи при фотоефектi.

з енерґiєю ~ωk, хвильовим вектором k i поляризацiєю α так, що по-

чатковий стан системи “атом плюс поле”

|ii = |1si|0, . . . , 0, Nk,α = 1, 0, . . .i.

Кiнцевий стан системи |fi описує вакуумний стан поля й електрон у незв’язаному станi з енерґiєю p2/2m. Причому вважати-

мемо хвильову функцiю електрона в нульовому наближеннi плоскою хвилею. Це означає, що взаємодiю електрона з йоном ми розглядаємо як мале збурення, тобто швидкiсть електрона вважаємо великою. Отже, енерґiя фотона є великою в порiвняннi з енерґiєю йонiзацiї. У загальному випадку ми повиннi брати для електрона точну хвильову функцiю неперервного спектра. Таким чином:

|fi = |pi|0, . . . , 0, . . .i,

де хвильова функцiя електрона в кiнцевому станi:

|pi = √1 eipr/~. V

Випишiмо вiдповiднi енерґiї:

558

E0 енерґiя вакууму електромагнiтного поля.

У загальному виразi для ймовiрностi квантового переходу за одиницю часу

в матричний елемент оператора взаємодiї дає внесок лише перший доданок:

оскiльки розглядаємо однофотонний перехiд. Цей матричний елемент ми розраховували, обчислюючи iнтенсивнiсть випромiнювання й поглинання свiтла в §61. Тому, не повторюючи цих викладок, виписуємо результат:

Дельта-функцiя забезпечує виконання закону збереження енерґiї:

p2

2m − ~ωk − E1s = 0,

де E1s це енерґiя йонiзацiї атома, або робота виходу I, узята з оберненим знаком, E1s = −I. Отже, ми отримуємо закон фото-

ефекту, який установив Айнштайн у 1905 роцi:

p2

~ωk = 2m + I.

Пiдсумуймо вираз для ймовiрностi переходу за всiма можливими iмпульсами електрона, що вилiтає з атома:

X

w = wi→f .

p

559

Якщо цю величину подiлити на густину падаючого потоку фотонiв (фотон у нас один) j = c/V , то ми отримуємо повний перерiз

фотоефекту

w σ = j .

Перейдемо стандартним чином у рiвняннi для w вiд пiдсумовування за p до iнтеґрування:

Уведемо для iнтеґрування сферичну систему координат:

Звiдси знаходимо диференцiальний перерiз фотоефекту:

Нам залишилось обчислити матричний елемент

hp|eikr(ek,αpˆ)|1si = h1s|e−ikr(ek,αpˆ)|pi .

Цю рiвнiсть отримуємо iнтеґруванням частинами та з урахуванням умови поперечностi поля (ek,αk) = 0. Тепер

де q = p/~ − k iмпульс передачi. Ми скористались явним виразом для |1si-стану водневої задачi (a = aB = ~2/me2), а також тим, що плоска хвиля є власною функцiєю оператора iмпульсу pˆ.

560