Вакарчук І.О. Квантова механіка

це є не що iнше, як зсув рiвня енерґiї атома за рахунок взаємодiї з полем у повнiй вiдповiдностi до загальної формули для другої поправки стандартної теорiї збурень:

Так само величина γ є не що iнше, як iмовiрнiсть квантового пере-

ходу за одиницю часу, пiдсумована за поляризацiями i хвильовими векторами (а фактично за напрямками поширення) фотона:

X

γ = wi→f ,

k,α

541

γ = X 2~π |Vfi|2δ(E2 − E1 − ~ωk).

k,α

Отже, при ввiмкненнi поля енерґетичний рiвень зсувається i початковий стан загасає:

Ci = e− γ2 te− ~i E2t.

Знайдемо тепер iмовiрнiсть перебування атома в станi |fi при t → ∞:

Обчислюємо повну енерґiю випромiнювання:

Перейдемо вiд пiдсумовування за k до iнтеґрування й отримаємо

матричний елемент беремо тут при ωk = ω0. Тепер енерґiя

Завдяки тому, що γ є малою величиною, можемо записати:

542

причому величину γ беремо при резонанснiй частотi ω0. Повна

енерґiя

Z ∞

E = Eω dω,

0

де спектральна функцiя Eω має вигляд контура Лоренца (див.

рис. 56б):

γ/2π

Eω = ~ω0 (ω − ω0)2 + (γ/2)2 .

При γ → 0 контур Лоренца стає дельтаподiбним:

Eω = ~ω0δ(ω − ω0).

Зрозумiло, що повна енерґiя повинна дорiвнювати енерґiї фотона

~ω0:

Z ∞

Нижню межу, зважаючи на швидке спадання пiдiнтеґральної функцiї, ми поширили на (−∞).

Знайденi формули повнiстю збiгаються з вiдповiдними виразами феноменологiчного пiдходу i строго обґрунтовують висновки, зробленi на їхнiй основi. Крiм того, ми побачили, яким чином, вiдбираючи лише певнi розв’язки зворотного в часi рiвняння Шрединґера, можна описувати незворотнi процеси.

Вiдступ. Пам’ять i повторюванiсть подiй.

Рiвняння загасаючого осцилятора описує цiлий ряд цiкавих явищ, i не лише у фiзицi. Наприклад, характерною рисою бiологiчних, психологiчних i соцiальних явищ також є їхня перiодичнiсть. Причому виняткову роль при

543

цьому вiдiграє пам’ять у найширшому її розумiннi (тобто властивiсть записувати, накопичувати, зберiгати та вiдтворювати iнформацiю). Саме вона зумовлює повторюванiсть тих чи iнших подiй. Значною мiрою будь-яке явище спричинюється iнформованiстю (або неiнформованiстю) про параметри, що визначають стан системи. Iнтуїтивно зрозумiло i без знання механiзму, який запускає процес прийняття рiшень, що вони будуть тим якiснiшими, чим бiльшу кiлькiсть iнформацiї беруть до уваги.

Якщо через = Δ(t) позначити нестачу iнформацiї (неiнформованiсть) у певний момент часу t, то її зменшення з часом залежить як вiд самої в цей

механiзму пам’ятi (надалi вважаємо його сталою величиною). У лiнiйному наближеннi за цими величинами рiвняння для зменшення в часi можемо записати в такому виглядi:

Z t

− ˙ ′ ′

Δ(t) = K Δ(t ) dt + K1Δ(t).

t0

Диференцiюючи його за t, отримаємо рiвняння для загасаючих коливань лi-

нiйного осцилятора:

¨ + K1 ˙ + K = 0.

При достатньо добрiй пам’ятi, коли K > (K1/2)2, маємо осцилюючий розв’я-

зок

= 0e− K21 t sin(ωt + δ),

p

ω= K − (K1/2)2,

де δ початкова фаза, tg(ωt0 + δ) = −2ω/K1, а 0 знаходимо за початковим значенням Δ(t0). Реалiстичнiше припустити, що внесок вiд далекого минулого є меншим, нiж вiд часiв, близьких до t, i вибрати ядро K пропорцiйним,

наприклад до величини e−p(t−t′), p ≥ 0. Однак це лише перенормує частоту,

декремент загасання та початкову фазу i не вплине на якiснi висновки. Можна наважитись за допомогою цього рiвняння зробити спробу iнтер-

претацiї деяких явищ. Наприклад, якщо пiд iнформацiєю розумiти взаємно неґативну iнформацiю в подружньому життi, то ми знайдемо пояснення перiодичностi розлучень. Перiодичнiстю моди на будь-що в людському життi, як i, зрештою, циклiчнiстю характерних рис у державному життi, ми також зобов’язанi пам’ятi10 .

Екстремальнi часовi точки tn величини наближено можна оцiнити з рiвняння ωt + δ = 2πn, n = 0, 1, 2, 3, . . . (точне рiвняння на екстремум лише зсуває початкову фазу). Отже, tn = t0 + 2πnt , де t0 деякий характерний

10“Все минає з тим, аби повернутися.” Луцiй Анней Сенека. Моральнi листи

до Луцiлiя (лист XXIV) (Переклад з латини Андрiй Содомора). Освiта, Київ, 1996.

544

початковий час, а t це натуральна, тобто природна, одиниця вимiру часу:

одна доба або один рiк (величини, пов’язанi з рухом Землi), час правлiння монарха (сумiрний iз середнiм вiком життя людини), часова дистанцiя мiж поколiннями i т. п. Важливо, що в цих натуральних одиницях t перiодичнiсть явищ дорiвнює 2π. Читач сам може легко помiтити це число (6÷7) у багатьох

явищах.

Цiкавим є приклад з iсторiї Львова XVII столiття, як мiщани, щоб зберегти своє мiсто вiд руйнацiї, в цей неспокiйний час багаторазово платили викупи з перiодом у 9 рокiв (t 1.5 року).

§ 65. Квантова теорiя дисперсiї свiтла

Однiєю iз задач теорiї дисперсiї, або теорiї розсiяння свiтла, є розрахунок залежностi показника заломлення речовини n вiд частоти свiтла ω: n = n(ω).

Електромагнiтна хвиля, що падає на атом, iндукує в ньому електричний дипольний момент, i в системi атомiв виникає поляризацiя. Вектор поляризацiї P це середнiй дипольний момент

тiла, розрахований на одиницю об’єму. З електродинамiки суцiльного iзотропного середовища добре вiдомий зв’язок мiж вектором поляризацiї та середнiм значенням напруженостi макроскопiчного поля E в середовищi:

εE = E + 4πP,

де ε дiелектрична проникнiсть. Для iзотропного тiла в лiнiйному наближеннi вектор поляризацiї P пропорцiйний до вектора напруженостi поля E:

P = αE,

величину α називають поляризованiстю тiла. Отже,

ε= 1 + 4πα,

аз теорiї Максвелла маємо зв’язок мiж дiелектричною проникнiстю та показником заломлення ε = n2. Таким чином,

n2 = 1 + 4πα.

545

Узагалi кажучи, цей вираз визначає показник заломлення для розрiджених систем. Для густих систем необхiдно враховувати локальне поле, у результатi чого отримуємо добре вiдомий зв’язок:

формула Клаузiуса–Мосоттi. Для анiзотропного середовища величина α є тензором.

Для розрахунку поляризованостi α, як випливає з її означення, нам необхiдно знайти дипольний момент системи N атомiв

P = NV hdi,

де hdi середнє значення дипольного моменту атома

d = e r.

Для спрощення ми розглядаємо одноелектронний атом так, що r це радiус-вектор електрона, заряд якого e = −|e|, тому

−| | Якщо гамiльтонiан iзольованого атома дорiвнює ˆ , то d = e r. Ha

при наявностi поля гамiльтонiан

оператор взаємодiї атома з полем. Ми нехтуємо в операторi взаємодiї членом, пропорцiйним до A2, як величиною другого по-

рядку мализни.

Нехай на атом падає монохроматичне свiтло частоти ω. По-

ле вважаємо заданим, тобто в цьому випадку стан поля не змiнюється. Iнакше кажучи, мова не йде про операцiї знищення та породження фотонiв, i тому векторний потенцiал A вважатиме-

мо класичною величиною. Чому i за яких умов ми маємо право розглядати A як класичну величину? Покажемо, що, з кванто-

вомеханiчного погляду, це означає, що ми маємо макроскопiчне число фотонiв Nk,α з частотою ω = ωk = kc, хвильовим вектором k i поляризацiєю α. Можна говорити про своєрiдну конденсацiю

546

фотонiв у цьому станi: Nk,α 1. Макроскопiчнiсть числа фото-

нiв означає, що їхня густина є величиною сталою при прямуваннi об’єму до безмежностi, коли

У цьому випадку для середнiх значень добуткiв операторiв породження i знищення фотонiв маємо:

hBk,αBk,αi = hBk,αBk,αi

i, таким чином, оператори породження та знищення комутують

макроскопiчному заповненнi фотонами певного стану (k, α) еле-

ктромагнiтне поле можна описувати класичною мовою. Оператор векторного потенцiалу для вiдповiдної моди поля

записуємо з урахуванням часової залежностi вiд гайзенберґiвсь-

547

Ми розглядаємо випадок дипольного наближення, коли довжина хвилi

λ 1000 ˚, kr ka = 2πa/λ 1,

A

де a довжина порядку лiнiйних розмiрiв атома.

Тому eikr 1 + · · ·, i отже, в довгохвильовому наближеннi амплiтуда хвилi A0 не мiняється, якщо r змiнюється в межах атома. Таким чином, величину A0 вважаємо сталою.

Нехай

i (0)

ψn(0)(r, t) = e− ~ En tψn(0)(r)

є хвильовою функцiєю n-го стацiонарного стану iзольованого ато-

ма. Хвильову функцiю атома в електромагнiтному полi шукаємо за нестацiонарною теорiєю збурень. У першому наближеннi

Будемо шукати середнє значення дипольного моменту атома для n-го квантового стану:

548

то очевидно, що i квадратичний доданок за Ckn(1) у виразi для hdi,

як величину другого порядку мализни, надалi не враховуємо. Се-

реднє значення дипольного моменту незбуреного атома d(0)nn є ста-

лою величиною i для хвильових функцiй певної парностi, як ми

бачили в теорiї ефекту Штарка, дорiвнює нулевi, d(0)nn = 0. Крiм

того, ми цiкавимось лише дипольним моментом, iндукованим зовнiшнiм полем. Таким чином,

X h i

dnn = ernkCkn(1)eiωnkt + к.с. , k(k6=n)

де через “к.c.” позначена величина, комплексно спряжена до першого члена. Далi знаходимо

Ми тут опустили сталу iнтеґрування (позначену нулем), тобто внесок вiд нижньої межi t0, уважаючи, що збурення при t = t0

дорiвнює нулевi. Можна скористатись i так званою адiабатичною гiпотезою, згiдно з якою вмикання збурення вiдбувається поступово: вiд нуля в далекому минулому, t0 = −∞, до його скiнченного значення в момент часу t. Тепер

549

Перепишемо цей вираз через амплiтуду напруженостi електричного поля замiсть амплiтуди векторного потенцiалу A0. Для цього

нагадаємо, що

Розпишемо тепер вектори за компонентами i праву частину цiєї рiвностi зобразимо як подвоєну дiйсну частину:

550