Вакарчук І.О. Квантова механіка

У бiльшостi задач, як правило, користуються саме цiєю формулою першого наближення.

Перейдемо до обчислення вищих поправок. Маємо:

Цей вираз можна записати ще й так:

де оператор збурення у представленнi взаємодiї

˜ ~ ˆ ′ ˆ ~ ˆ ′

V (t′) = e(i/ )H0t V (t′)e−(i/ )H0t .

Бачимо, що друга поправка визначається матричним елементом вiд добутку двох операторiв збурення в рiзнi моменти часу.

Так само легко знайти й наступнi поправки. Якщо їх додати, то результат для Cf можна записати знову як матричний елемент

Ця, як її називають, ˆ-матриця, або матриця розсiяння, вiдiграє

S

центральну роль у нерелятивiстськiй та релятивiстськiй теорiях квантових переходiв.

Пiд термiном “квантовi переходи” ми розумiємо i переходи в атомах, i розсiяння частинок на силових центрах, i зiткнення

471

частинок, у результатi чого народжуються iншi частинки, тобто явища, у яких вiдбуваються переходи з одного стану в iнший8. Саме позначення цього оператора походить вiд англiйського слова scattering або нiмецького Streuung. Вимiрювання ймовiрно-

стей у процесi зiткнень частинок наводить на думку, що саме ˆ-

S

матриця є основною спостережуваною величиною, оскiльки через її матричнi елементи розраховуються цi ймовiрностi. Iншими сло-

вами, теорiю можна будувати в термiнах ˆ-матрицi без уведення

S

поняття взаємодiї чи поля, беручи до уваги як аксiоми умови причинностi та iнварiантностi стосовно до перетворень Лоренца. Саме з аналiзу того, що насправдi вимiрюється у фiзицi елементарних частинок, В. Гайзенберґ i поклав початок цьому, так званому аксiоматичному пiдходовi у квантовiй теорiї.

§ 56. Iмовiрнiсть квантового переходу за одиницю часу

Важливою характеристикою квантових переходiв є їхня швидкiсть. З уваги на це розрахуємо цю величину в простому випадку, коли збурення протягом часу його дiї є сталим:

Vfi не залежить вiд t. Отже, повна ймовiрнiсть переходу в першо-

му наближеннi теорiї збурень

8Останнiм часом iнтенсивно дослiджують задачу про так звану квантову

брахiстохрону (див. також Приклад до §80), тобто при яких параметрах гамiльтонiана частинка перейде з початкового квантового стану у фiксований кiнцевий стан за якомога менший час.

472

або

ми працюємо в межах теорiї збурень. Тепер дивимось на вираз

Зазначимо, що ця величина пов’язана з ймовiрнiстю переходу на одиничний iнтервал квантового числа f, а швидкiсть квантових

переходiв

473

остаточно знаходимо

wi→f = 2~π |Vfi|2 δ Ef(0) − Ei(0) .

Дельта-функцiя в цьому виразi забезпечує виконання закону збереження енерґiї при квантових переходах. Розмiрнiсть цiєї величини, означеної як iмовiрнiсть переходу за одиницю часу, є оберненою до часу.

Оскiльки кiнцевий стан характеризується неперервним квантовим числом f, то швидкiсть переходу з початкового стану в

будь-який кiнцевий отримуємо iнтеґруванням за всiма значеннями f:

яку назвемо густиною кiнцевих станiв i яка дорiвнює кiлькостi станiв на одиничний iнтервал енерґiї. Тепер iнтеґрування легко виконати:

w = 2~π ρf (Ei(0))|Vfi|2.

Таким чином, iнтенсивнiсть квантових переходiв визначається величиною квадрата матричного елемента оператора збурення та густиною кiнцевих станiв при початковiй енерґiї. Ця формула вiдома як золоте правило Фермi9.

9Енрiко Фермi (1901–1954) iталiйський фiзик, у 1942 роцi побудував

перший ядерний реактор у лабораторiї Чиказького унiверситету, брав участь у створеннi та випробовуваннi американської атомної бомби. Лауреат Нобелiвської премiї 1938 року за вiдкриття штучної радiоактивностi, спричиненої бомбардуванням повiльними нейтронами.

474

Обчислимо ймовiрнiсть квантового переходу за одиницю часу в другому наближеннi, беручи до уваги, що в нашому випадку поправка

ми скористались тим, що ωff′ + ωf′i = ωfi. Зауважимо, що в сумi за f′ доданок з f′ = i не дає внеску i тому далi його не враховуємо.

Часовий множник у першому доданку у квадратних дужках збiгається з тим, що ми мали в першому наближеннi, i отже при τ → ∞ вiн дає в iмовiрнiсть переходу лiнiйний внесок за τ. Другий доданок у квадратних дужках при τ → ∞, внаслiдок пiдсумовування

475

за iндексом промiжного стану f′ (а практично мова йде, як прави-

ло, про iнтеґрування), дає скiнченну величину10. Тому його внесок у швидкiсть квантових переходiв при τ → ∞ дорiвнює нулевi.

Таким чином, отримуємо простий результат: ймовiрнiсть квантового переходу в другому наближеннi дорiвнює виразу, який ми знайшли в першому наближеннi, якщо в ньому матричний елемент Vfi замiнити на круглу дужку в попереднiй формулi. От-

же, остаточно ймовiрнiсть квантового переходу за одиницю часу в другому наближеннi:

Урахування другого доданка пiд знаком модуля в цiй формулi важливе, наприклад, при дослiдженнi процесiв розсiяння свiтла в речовинi (двофотоннi переходи), коли вiн є одного порядку величини з першим11.

§ 57. Розсiяння нейтронiв у конденсованих тiлах

Як приклад застосування нестацiонарної теорiї збурень дослiдимо проблему розсiяння нейтронiв у речовинi. Будемо вважати, що стан речовини при проходженнi нейтрона не змiнюється. Iнакше кажучи, розглядаємо пружне розсiяння, коли нейтрон не

10Для iлюстрацiї сказаного розгляньмо простий приклад, вiдштовхуючись вiд якого, можна зробити i детальнiший аналiз (f(ω) хороша функцiя):

11Див. I. О. Вакарчук. Теорiя зоряних спектрiв. Львiв: Львiвський нацiо-

нальний унiверситет iменi Iвана Франка, 2002.

476

втрачає своєї енерґiї. Стан нейтрона до розсiяння характеризується хвильовим вектором k, а початкова хвильова функцiя є пло-

скою хвилею:

Пiсля розсiяння маємо знову вiльний нейтрон, але зi змiненим за напрямком хвильовим вектором k′ i хвильовою функцiєю

Оскiльки розсiяння пружне, то |k′| = |k|. Iмовiрнiсть такого пере-

ходу за одиницю часу

j=1

енерґiя сильної взаємодiї нейтрона з ядрами атомiв середовища, у якому вiдбувається розсiяння. Радiус-вектор Rj задає положення j-го ядра. Матричний елемент

де ми ввели вектор

q = k′ − k,

який називають iмпульсом передачi. Iнтеґрал не залежить вiд Rj , i матричний елемент

477

де коефiцiєнт Фур’є енерґiї взаємодiї

Z

νq = e−iqR Φ(R) dR,

а величина

має змiст коефiцiєнта Фур’є флюктуацiї числа атомiв середовища. Таким чином,

Ми перейшли до сферичної системи координат, причому dΩ є еле-

ментом тiлесного кута, у якому розсiюється нейтрон.

Уведемо перерiз розсiяння як вiдношення величини w до по-

чаткової густини потоку налiтаючого нейтрона:

σ = w ~mk × V1 ,

478

Тепер iнтеґрал легко беремо, i для диференцiального перерiзу розсiяння остаточно знаходимо:

тут

Sq = |ρq|2

є структурним фактором конденсованого тiла, причому q = |k′ − k| = pk′2 − 2kk′ + k2 = 2k sin 2θ ,

де кут розсiяння θ = d′. kk

Якщо нейтрон розсiється на одному атомi, то N = 1, Sq = 1 i

диференцiальний перерiз

dσ = mνq 2 . dΩ 2π~2

Iнтенсивнiсть розсiяння на N невзаємодiючих центрах є дифе-

ренцiальним перерiзом розсiяння на одному центрi, збiльшеним в N разiв:

I0 = N mνq 2 .

q 2π~2

Таким чином, вiдношення iнтенсивностi розсiяння в конденсованому тiлi на взаємодiючих атомах до Iq0 дорiвнює структурному

факторовi:

Iq

Iq0 = Sq.

Це дозволяє визначати в дифракцiйних експериментах структуру речовини. На рис. 51 зображений структурний фактор рiдкого 4He, отриманий у дослiдах з розсiяння нейтронiв та рентґенiв-

ських променiв.

Ми говорили весь час про розсiяння нейтронiв, однак результат залишається тим самим, якщо розсiюються будь-якi частинки: електрони, α-частинки, фотони i т. д. Мiж iншим, звiдси отримуємо i формулу Резерфорда для перерiзу розсiяння α-частинок на

479

Рис. 51. Структурний фактор рiдкого 4He при T = 0◦ K.

атомних ядрах. Справдi, α-частинка взаємодiє з ядром за законом Кулона, νq = 4πe2ZαZ/q2, де Z заряд ядра, Zα = 2 заряд α-частинки:

p = ~q

формула Резерфорда.

§ 58. Квантовi переходи пiд дiєю раптових збурень

Цiкавими є задачi, коли збурення дiє раптово, тобто змiна гамiльтонiана вiдбувається за час τ < 1/ωfi. Як приклад такої

раптової змiни можна навести змiну заряду атомного ядра при β-розпадi. Час проходження β-частинки через оболонку ядра ато-

ма є малим у порiвняннi з перiодом обертання електрона навколо ядра, так що змiну заряду можна вважати миттєвою.

480