Вакарчук І.О. Квантова механіка

виникає проблема опису ангармонiчного осцилятора непертурбацiйними методами, тобто без застосування теорiї збурень.

Отже, обчислимо енерґетичнi рiвнi системи з гамiльтонiаном

α ≥ 0, використовуючи хвильовi функцiї гармонiчного осцилятора з варiацiйною частотою ω′ як пробнi функцiї.

Почнемо з одновимiрного випадку. Енерґiя n-го рiвня

Розв’язок цього кубiчного рiвняння знаходимо за шкiльними формулами, i в результатi енерґiя

461

За своїм фiзичним змiстом вiдношення частот ω′/ω є дiйсною i

√

додатною величиною. Тому для λ > 2/3 3 беремо один дiйсний

√

розв’язок, а два комплекснi вiдкидаємо; для λ ≤ 2/3 3 з трьох

дiйсних коренiв рiвняння один є додатним, а iншi два вiд’ємнi, яких не беремо до уваги.

Дослiдимо граничнi випадки. Коли λ = 0, ω′/ω = 1, E = 1, отримуємо рiвнi енерґiї гармонiчного осцилятора. Якщо λ 1, то

збiгається з виразом, який дає звичайна теорiя збурень (див. приклад 1 до §45). Коли λ 1, то ω′/ω = λ1/3, E = 3λ1/3/4 i ми приходимо до результату варiацiйної задачi для осцилятора “x4”

з §46.

При великих значеннях квантового числа n

462

Таку ж залежнiсть дає i квазiкласичне наближення (див. Приклад 2 до §30), але з iншим числовим коефiцiєнтом: замiсть 34/3/4 =

1.081687 маємо [3√π (3/4)/ (1/4)]4/3 /2 = 1.092535. Зауважимо, що оскiльки частота ω′ залежить вiд квантового числа n, то нашi варiацiйнi хвильовi функцiї для рiзних n не є ортогональними мiж собою. Тому й не дивно, що знайденi рiвнi енерґiї En є нижчими, нiж точнi значення, якi дає квазiкласичне наближення для n 1.

Рис. 50. Залежнiсть енерґiї E вiд параметра ангармонiзму λ.

Величина E , тобто вiдношення En до енерґiї гармонiчного осцилятора, є унiверсальною функцiєю параметра λ i повнiстю ви-

значає енерґетичний спектр ангармонiчного осцилятора: фiксуючи параметр ангармонiзму λ0 = 6α~/m2ω3 при заданому значеннi квантового числа n, обчислюємо величину λ i ω′/ω, пiсля чого знаходимо E та En. Графiк залежностi E вiд параметра λ подано

на рис. 50.

Функцiя E визначає спектр енерґiй i для N-вимiрного ан-

гармонiчного осцилятора. Покажемо це. Для просторового осцилятора (див. §40) усереднення знерозмiреного оператора енерґiї

463

радiального руху дає

p

ρ = r mω/~, r радiальна координата. Оскiльки усереднення,

яке ми позначили рискою, проводимо за хвильовими функцiями

штрих з нової змiнної опускаємо. Оскiльки, як ми знаємо, для просторового гармонiчного осцилятора середнє

n = 0, 1, 2, . . . радiальне квантове число, то попереднє рiвняння

Потрiбнi середнi ρ2, ρ4 легко розраховуємо, використовуючи ра-

рекурентне спiввiдношення для узагальнених полiномiв Лаґерра:

464

жником Cn2ρ2le−ρ2 i проiнтеґруємо за r. У результатi з лiвого боку маємо, за означенням, ρ2, а з правого, враховуючи ортонормова-

нiсть хвильових функцiй, залишається лише внесок вiд першого доданка:

ρ2 = 2n + l + 32 .

Пiдносимо тепер обидвi частини рекурентного спiввiдношення до квадрата, множимо на той самий ваговий множник й iнтеґруємо. Злiва матимемо, за означенням, ρ4, а з правого боку, внаслiдок

ортогональностi хвильових функцiй, усi перехреснi доданки зникають, i з урахуванням сталих нормування отримуємо:

ρ4 = (2n + ν + 1)2 + (n + 1)2(Cn/Cn+1)2 + (n + ν)2(Cn/Cn−1)2,

або, пiдставляючи сюди величини Cn, дiстаємо

ρ4 = (2n + ν + 1)2 + (n + 1)(n + ν + 1) + (n + ν) n.

Тепер бачимо, що вираз для енерґiї, вiднесеної до енерґiї гармонiчного осцилятора ~ω(2n + l + 3/2), формально збiгається з величиною E для одновимiрного осцилятора з тим самим кубiчним рiвнянням на ω′/ω, але з iншим параметром

λ= 4α ~ 2 ρ4.ρ2. ~ω mω

Перехiд до простору довiльної вимiрностi N здiйснюємо iз “закритими очима” простою замiною (див. §44) l на l + (N − 3)/2, i остаточно рiвнi енерґiї N-вимiрного ангармонiчного осцилятора

En,l = ~ω 2n + l + N E ,

2

465

причому вiдношення ω′/ω, яке входить до E , задається тим же

розв’язком кубiчного рiвняння, у якому тепер

λ= 4α ~ 2

~ω mω

×(2n + l + N/2)2 + (n + 1)(n + l + N/2) + n(n + l + N/2 − 1) . 2n + l + N/2

Отже, задаючи розмiрнiсть простору N, квантовi числа (n, l), знаходимо λ, за яким визначаємо ω′/ω, i нарештi, E та En,l.

При N → ∞ параметр λ = 2α~N/m2ω3 i енерґiя En,l/N = ~ωE /2 = 3~ωλ1/3/8 = 3(2α′~4/m2)/8, α′ = αN збiгається з то-

чним результатом для цiєї межi. Тому робимо висновок про те, що чим бiльша вимiрнiсть системи, тим нашi результати ближчi до точних.

Зробимо зауваження щодо розмiрностi простору N = 1. Па- м’ятаємо (див. §44), що при переходi в N-вимiрному радiальному рiвняннi до N = 1, ми матимемо при l = 0 парнi функцiї змiнної x, а при l = 1 непарнi. Тим самим звiдси вiдтворюємо одновимiрнi розв’язки для всiх квантових чисел n. Легко бачити, що одновимiрне λ при замiнi в ньому n на 2n збiгається, як i повинно бути, з N-вимiрним λ при N = 1, l = 0, а при замiнi n на (2n + 1) також збiгається з N-вимiрним λ, коли N = 1, l = 1.

Насамкiнець пiдкреслимо, що важливiсть отриманого результату є в тому, що знайдено достатньо добре наближення для рiвнiв енерґiї ангармонiчного осцилятора довiльної вимiрностi для довiльних значень квантових чисел i без обмежень на параметр ангармонiзму.

Читачевi, який “зустрiне” задачу, де, крiм четверного ангармонiзму, наявний i кубiчний βx3, дамо пiдказку для її розв’язку.

Оскiльки положення рiвноваги в такiй системi змiщується з точки x = 0 в деяку точку x = x0, то природно взяти пробну хвильову функцiю гармонiчного осцилятора залежною вiд x′ = x − x0. Отже, матимемо два варiацiйнi параметри: частоту ω′ i координату x0. Енерґiя дорiвнює потенцiальнiй енерґiї в точцi x0 плюс

466

вираз, який ми мали вище для одновимiрного випадку iз замiною частоти ω на ω[1 + 6x0(β + 2αx0)/mω2]1/2. Мiнiмiзацiя її за x0

чисельними методами дає остаточний результат.

§ 55. Теорiя збурень, залежних вiд часу

Ми бачили, що для стацiонарних станiв, коли оператор Гамiльтона не залежить вiд часу, вдається знайти часову залежнiсть хвильових функцiй у явному виглядi. Якщо гамiльтонiан залежить вiд часу, то знайти точний розв’язок рiвняння Шрединґера в загальному випадку неможливо. Причому оскiльки енерґiя вже не є iнтеґралом руху, то змiнюється й сама постановка задачi. Мова вже не може йти про обчислення власних значень гамiльтонiана. Отже, задача зводиться лише до знаходження хвильових функцiй

у будь-який момент часу . Якщо в гамiльтонiанi ˆ дослiджуваної t H

системи член ˆ ˆ , залежний вiд часу , є малим у порiвняннi

V = V (t) t

з визначальною частиною H0, то можна побудувати теорiю збу-

рень.

Нехай задана система з гамiльтонiаном ˆ , що не залежить

H0

вiд часу. Розв’язок хвильового рiвняння Шрединґера нам уже вiдомий це стацiонарнi стани:

i (0)

ψn(0)(q, t) = e− ~ En tψn(0)(q).

Рiвнi енерґiї En(0) та хвильовi функцiї ψn(0)(q) визначаємо з рiвня-

Цим збуренням може бути, наприклад, взаємодiя атома з електромагнiтним полем. Нашим завданням є знайти розв’язок нестацiонарного рiвняння Шрединґера

467

Оскiльки система ψn(0)(q, t) є повною, то шукану хвильову функцiю ψ(q, t) розкладаємо в ряд:

ψ(q, t) = X Cn(t)e− ~i En(0)tψn(0)(q).

n

Коефiцiєнти розкладу очевидно залежать вiд часу. Для розв’язку задачi потрiбно знайти рiвняння для них. Цей пiдхiд, що запропонував Дiрак, часто називають методом варiацiй сталих. Назва походить вiд вiдомого методу з теорiї диференцiальних рiвнянь.

Пiдставимо цей розклад у рiвняння Шрединґера:

X n ~ ˙ − i E(0)tψ(0)(q) + C (t)E(0)e− i E(0)tψ(0)(q)o i Cn(t) e ~ n n n n ~ n n

n

Крапкою над Cn(t) позначена похiдна за часом. Як бачимо, дру-

гий член у лiвiй частинi рiвняння скорочується з першим у правiй.

Помножимо обидвi частини рiвняння на ψm(0) (q) i проiнтеґруємо за q:

де частоти

468

Мiж iншим, величини ˜ є нiчим iншим, як матричними

Vmn(t)

Припустимо, що збурення вмикається в деякий момент часу t = t0 i вимикається в момент t = t1. Спостережувальнi величини, зрозумiло, залежатимуть лише вiд рiзницi τ = t1 − t0. Тобто кiн-

цевий ефект залежатиме вiд того, як довго дiє збурення, а не вiд того, коли воно вмикається чи вимикається. Очевидно також, що це не матиме мiсця у випадку, коли гамiльтонiан “нульової”, тобто незбуреної, задачi залежить вiд часу. Тут важливо, у якому станi систему “захопить” збурення. Але нас цей випадок не цiкавить,

Таким чином, при t < t0 наша фiзична система перебуває в де-

якому початковому станi

ψ(q, t) = ψi(0)(q, t),

i номер стану, у якому пребуває система. А при t > t1

ψ(q, t) = ψf(0)(q, t),

iндекс f номер цього стану. Iндекси i та f скорочено познача-

ють сукупнiсть квантових чисел, що характеризують початковий (initial) та кiнцевий (final) стани.

Тепер запитаймо: до якого ж кiнцевого стану f прийде система

пiд дiєю збурення ˆ за час − , якщо вона стартувала з

V (t) τ = t1 t0

початкового стану i? Знайдемо ймовiрнiсть такого переходу. Для

цього спочатку потрiбно знайти його амплiтуду ймовiрностi, тобто коефiцiєнт Cf (t). Запишемо ряд теорiї збурень

Cn(t) = Cn(0)(t) + Cn(1)(t) + Cn(2)(t) + · · · .

469

Ми вже не виписуємо явно бiля поправок Cn(ν)(t) параметр вмикання взаємодiї λ, тримаючи його в пам’ятi. При вiдсутностi збу-

рення всi поправки, починаючи з першої, дорiвнюють нулевi,

Cn(ν)(t) = 0, ν = 1, 2, . . . ,

а нульове наближення, як i в стацiонарнiй теорiї збурень,

Cn(0)(t) = δni.

Прирiвнюючи злiва i справа в рiвняннi для Cn(t) множники при однакових степенях параметра λ, отримуємо такий ланцюжок рiв-

нянь:

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Зпершого рiвняння

Ми знайшли розв’язок задачi в першому наближеннi, а саме: амплiтуда ймовiрностi того, що за час τ = t1 − t0 дiї збурення з моменту t0 до t1 система перейшла зi стану i в стан f,

470