Вакарчук І.О. Квантова механіка

розв’язуваннi задач, для яких стандартна теорiя збурень не застосовна. Деякою мiрою успiх варiацiйного пiдходу залежить вiд iнтуїцiї та досвiду. Ми вже мали з ним справу ранiше в декiлькох задачах.

Розглянемо квантовомеханiчну систему, що характеризується

Цю функцiю називають пробною. Будемо вимагати, щоб малi змi-

ни не змiнювали середнього h ˆ i. Тобто при замiнi на

ψ H ψ ψ + δψ

варiацiя

hˆ i

δH = 0.

Ми сформулювали варiацiйну задачу для функцiонала h ˆ i з дода-

H

тковою умовою нормування на хвильову функцiю. Цю додаткову умову можна зняти, як вiдомо, уведенням множникiв Лаґранжа.

Пiдрахуємо варiацiю h ˆ i:

H

ZZ

h ˆ i ˆ ˆ

δ H = δψ Hψ dq + ψ Hδψ dq.

Вiднiмемо вiд неї варiацiю умови нормування,

Z Z Z

δ ψ ψ dq = δψ ψ dq + ψ δψ dq,

помноживши її на множник Лаґранжа E, i отримаємо рiвняння

на безумовний екстремум:

451

Z

ˆ −

δψ(Hψ Eψ ) dq = 0.

Другу умову отримуємо при попередньому “перекиданнi” звичай-

ним чином дiї оператора ˆ з на . Зважаючи на довiльнiсть

H δψ ψ

варiацiї δψ , з першої умови одержимо стацiонарне рiвняння Шре-

динґера

ˆ

Hψ = Eψ.

З другої умови виходить спряжене до нього рiвняння, яке не виписуємо. Таким чином, варiацiйний принцип твердить, що найбiльш пiдхожою хвильовою функцiєю, яка приносить мiнiмум середнього значення гамiльтонiана, є та, що задовольняє рiвняння Шрединґера. Ми отримали важливий i цiкавий результат, однак вiн не дає рецепта для розв’язку задачi в конкретних випадках. Перед тим як перейти до формулювання такого рецепта, отримаємо ще один важливий результат.

Нехай величина ψ є пробною хвильовою функцiєю для основ-

ного стану системи, а власними функцiями ˆ :

ϕn H

ˆ

Hϕn = Enϕn.

Розкладемо пробну функцiю в ряд

X

ψ = Cnϕn

i обчислимо середнє значення гамiльтонiана, тобто наближене значення енерґiї основного стану:

452

де E0 точне значення енерґiї основного стану системи. При будьякому n, за означенням основного стану, En ≥ E0 i отже, другий

доданок у рiвняннi є додатним, тому отримуємо:

E ≥ E0.

Нерiвнiсть говорить, що, яку б ми не взяли пробну функцiю, завжди отримується значення енерґiї основного стану вище, нiж справжнє.

Нехай ми пiдiбрали деяку нормовану пробну ψ-функцiю, яка залежить вiд змiнної q i, крiм того, мiстить у собi вiльнi параметри a1, a2, . . . :

ψ = ψ(q; a1, a2, . . .),

Z

|ψ(q; a1, a2, . . .)|2dq = 1.

Пiдрахуємо з її допомогою енерґiю

Z

h ˆ i ˆ

E(a1, a2, . . .) = H = ψ (q; a1, a2, . . .)Hψ(q; a1, a2, . . .) dq.

Вона залежить вiд величин a1, a2, . . ., якi ми маємо змогу пiдiбра-

ти з умови мiнiмальностi енерґiї:

Iз цих рiвнянь знаходимо значення a¯1, a¯2, . . . , якi приносять мi-

нiмум енерґiї

E= E(¯a1, a¯2, . . .).

Урезультатi отримуємо верхню межу енерґiї основного стану. Ми очiкуємо, що вона буде близькою до точного значення, якщо пробна функцiя подiбна до справжньої. Успiх тут залежить вiд iнтуїцiї та навичок.

Перейдемо до визначення збуджених станiв. Знову пiдберемо деяку пробну функцiю

ψ1 = ψ1(q; b1, b2, . . .)

453

з iншим набором вiльних параметрiв i також нормовану

Z

|ψ1(q; b1, b2, . . .)|2dq = 1.

Накладаємо, крiм цього, ще додаткову умову ортогональностi

функцiї ψ1 до вже знайденої функцiї основного стану ψ:

Z

ψ1 (q; b1, b2, . . .)ψ(q; a1, a2, . . .) dq = 0.

Знову пiдраховуємо середнє значення

Z

ˆ

E1 = E1(b1, b2, . . .) = ψ1 (q; b1, b2, . . .)Hψ1(q; b1, b2, . . .) dq

i просимо виконати умови екстремуму, якi фiксують нам вiльнi параметри й енерґiю E1:

Зрозумiло, що додаткова умова приводить до зсуву E1 уверх що-

до енерґiї основного стану. Цю процедуру можна продовжити i знайти, в принципi, усi хвильовi функцiї та вiдповiднi значення енерґiї.

Варiацiйний пiдхiд є потужним непертурбацiйним6 методом розв’язку багатьох задач квантової механiки. Ґрунтується вiн на iнтуїтивному усвiдомленнi того, що принцип мiнiмальностi тiсно пов’язаний з iснуванням певної симетрiї в задачi. Саме вона i вловлюється при “вгадуваннi” пробної функцiї.

Приклад 1. Ангармонiчний осцилятор. Задано гамiльтонiан

Знайти енерґiю основного стану.

Бачимо, що в задачi є симетрiя: замiна x на (−x) не змiнює гамiльтонi-

ана. Тому пробну функцiю основного стану вибираємо парною. Крiм того, вона не має вузлiв i повинна бути гладкою, щоб не “набiгло” велике значення кiнетичної енерґiї вiд другої похiдної. Отже, нехай пробна функцiя основного стану

ψ = Ce−a1x2−a2x4−a3x6+···,

6Вiд англ. perturbation збурення.

454

Для простоти обiрвемо ряд на квадратичному членi, i нехай a1 = mω/2~, ω

вiльний параметр. З урахуванням умови нормування,

ψ = mω 1/4 e−mωx2/2~

π~

маємо хвильову функцiю основного стану гармонiчного осцилятора з частотою ω. Середнє значення енерґiї

яка дає верхню межу для значення енерґiї основного стану E0. Цiкаво порiв-

няти цей результат iз результатом теорiї збурень,

а також iз нерiвнiстю, яку ми отримали в §7 (приклад 2), застосовуючи принцип невизначеностей Гайзенберґа:

455

Отже, точне значення енерґiї основного стану ангармонiчного осцилятора “x4” знаходиться в таких межах:

де α константа зв’язку, а N-вимiрнi вектори x = (x1, . . . , xN ), pˆ = −i~ =

−i~ (∂/∂x1, . . . , ∂/∂xN ).

Виберiмо пробну хвильову функцiю основного стану з двома варiацiйними параметрами a та k:

ψ(x) = Ce−axk , x = |x|.

З умови нормування

Z ∞ Z ∞

dx1 . . . dxN ψ2(x) = 1

−∞ −∞

знаходимо сталу C. Оскiльки функцiя залежить вiд x, перейдiмо до N-

де об’єм N-вимiрної кулi VN = CN xN , dVN = NCN xN−1dx, CN = πN/2/ (1 + N/2), (x) гамма-функцiя7 (див. §44). Iнтеґруючи, зна-

7Сталу CN легко знайдемо, якщо iнтеґрал

Порiвнюючи цi два вирази, одержуємо CN = πN/2/ (1+N/2), i зокрема об’єми

V1 = 2x, V2 = πx2, V3 = 4πx3/3.

456

Якщо зафiксувати параметр k = 2, то ми отримаємо результат, знайдений у §46. Результати комп’ютерної мiнiмiзацiї за параметром k подано в таблицi.

457

Як бачимо, lim E/N = 3 2α~4/m2 1/3 /8, причому цiкаво, що ця грани-

N→∞

ця не залежить вiд k. Це легко довести також “руками”. Якщо у вираз для E пiдставити асимптотичнi формули для -функцiй,

Пробну функцiю основного стану ψ(x) з урахуванням того, що ψ(0) = 0,

задаємо в такому виглядi:

ψ(x) = Cxk′ e−axk ,

де a, k, k′ варiацiйнi параметри, C стала нормування. Виконуючи еле-

ментарнi розрахунки, знаходимо середнє значення h ˆ i:

E = H

Умова мiнiмуму за величиною a дає:

Пiдставляючи цей вираз у попередню формулу, знаходимо

458

Для нашого випадку комп’ютерний розрахунок мiнiмуму цiєї величини як функцiї параметрiв k та k′ дає: E = 1.148991 при k = 2.001041, k′ = 0.660304;

величина a = 0.1899897. Як бачимо, цей результат дає значення, близьке до p

квазiкласичного E = 3/2 = 1.224745 (див. Приклад 2 до §30).

Приклад 4. Знайти вираз для середнього значення повної енерґiї E через

середнi значення оператора збурення ˆ . Скористаймося теоремою про те, що

V

середнє значення похiдної ермiтового оператора за деяким параметром λ дорiвнює похiднiй вiд середнього значення цього оператора за λ (див. Приклад

Наприклад, для основного стану атома водню вiзьмiмо за оператор збурення

злiва на будь-яку функцiю ϕ, не ортогональну до ψ, i проiнтеґруймо за змiнними q:

459

Пiдберiмо тепер функцiю ϕ такою, щоб

,r

ξ = x mω~ .

Простим пiдбором функцiї ϕ знаходимо й енерґiю збуджених станiв. Ви-

являється, що знайдений тут шляхом застосування нескладних трюкiв вираз

для повної енерґiї через оператор збурення ˆ дає змогу отримати чимало

E V

нетривiальних результатiв у теорiї багаточастинкових систем.

§ 54. Непертурбацiйний розрахунок енерґетичного спектра

ангармонiчного осцилятора

Гармонiчний осцилятор описує малi коливання, тобто амплiтуда яких є достатньо малою, а рiвняння руху для них є лiнiйними, саме тому такi коливання i називають лiнiйними. Задача про нелiнiйнi або ангармонiчнi коливання має багато важливих прикладних застосувань, особливо коли мова йде про сильну нелiнiйнiсть i звичайна теорiя збурень не працює. У зв’язку з цим

460