Вакарчук І.О. Квантова механіка

Перше рiвняння визначає y0, про що вже йшла мова, а з другого

маємо

y1 = −w1′ (y0)/w0′′(y0),

наступнi поправки, як виявиться, нам не знадобляться. Тепер ефективний потенцiал

w(¯y) = w(y0) + w′(y0)(¯y − y0) + 2!1 w′′(y0)(¯y − y0)2

11

=w0(y0) + N w1(y0) + N2 w2(y0)

Отже, ми маємо розклад за степенями 1/N першого доданка у виразi для енерґiї E/N. Другий доданок ~ω¯ вже має порядок 1/N, оскiльки частота ω¯ 1/N, як це випливає з її означення.

де введено частоту

r

w′′(y0) ω = 0 .

m

Наступнi доданки у формулi для енерґiї E/N, якi походять вiд

кубiчного та четвертого ангармонiзму, не потребують розкладiв за степенями 1/N, оскiльки вони вже є пропорцiйними до (1/N)2, тому що m ω¯ N.

421

Нарештi, збираючи всi цi вирази разом, випишемо шуканий розклад за малим параметром 1/N для енерґiї на один ступiнь

вiльностi3:

Якщо взяти до уваги явнi вирази для функцiй w1(y), w2(y), то остаточно з точнiстю 1/N2 знаходимо:

"

+~ω p0 (2l − 1)(2l − 3) − 4p3(l − 1)2

N2 4 0

3Вищi наближення за параметром 1/N див. I. O. Vakarchuk. The 1/N- expansion in quantum mechanics. High-order approximations // J. Phys. Stud. 6, No. 1, 46–54 (2002).

422

де величина p0 = ~/2mωy02; iндексами бiля енерґiї вказуємо на її залежнiсть вiд квантових чисел n, l.

Ми знайшли бажану формулу розкладу власного значення гамiльтонiана з довiльним потенцiалом за степенями величини, оберненої до кiлькостi вимiрiв. Недолiком цiєї теорiї збурень є те, що вона працює лише для нижнiх збуджених станiв, коли ангармонiзми є нерозвинутими. Водночас вона має й велику перевагу, оскiльки для одержання числового результату потребує лише елементарного вмiння брати похiднi вiд функцiї w0(y).

Обговоримо тепер кiлька модельних задач. Потенцiал U =

де Φ(x) вихiдна потенцiальна енерґiя.

Наприклад, для гармонiчного осцилятора з потенцiальною енерґiєю

а решта розрахункiв є шкiльного рiвня типу “зведення подiбних”:

У результатi у формулi для енерґiї En,l/N член 1/N2 дорiвнює

нулевi i ми отримуємо точний результат:

423

Цей вираз є вiдтворенням перших трьох членiв розкладу за степенями 1/N точної формули

2me4

En,l = −~2(2n + 2l − 1 + N)2 ,

яку ми отримали в §44.

Цiкаво порiвняти, що дають першi члени розкладу для кулонiвської задачi в тривимiрному випадку N = 3. Для основного стану (n = 0, l = 0) наше наближення дає

me4 8

E0,0 = − 2~2 9 ,

тобто з точнiстю 11% вiдтворює точний результат.

Пiсля цiєї успiшної перевiрки 1/N-розкладу на еталонних мо-

делях дослiдимо iншi задачi.

424

Звернемось до вже не раз обговорюваної моделi ангамонiчного осцилятора “x4”, коли U = αy4. Необхiднi розрахунки також

є простими i справдi зводяться хiба що до акуратного зведення подiбних:

Незважаючи на те, що параметр 1/N є зовсiм не малим, коли N = 1, ми з цiєї формули, однак, отримаємо добрий результат i в

цьому випадку:

Числовий коефiцiєнт з 10% точнiстю узгоджується з точним значенням 0.5301810.

На завершення наводимо також результат розрахунку для |x|-

осцилятора:

425

Для одновимiрного випадку, N = 1, числовий коефiцiєнт у ква-

дратних дужках дорiвнює 0.637820, а точний результат (див. §24: ε0/41/3, з таблицi ε0 = 1.018793) дає 0.641799. Як бачимо, i в цьому випадку ми одержали дуже добре узгодження, хоча 1/N знову

ж таки справдi не є малим параметром4.

Насамкiнець зауважимо, що для степеневих потенцiалiв, U ys, наш 1/N-розклад дiйсно виявився “чистим” розкладом за параметром 1/N, оскiльки залежнiсть вiд N множника в U (див. кулонiвську задачу або |x|-осцилятор) збирається у спiльний мно-

жник для всiх поправок. Для iнших потенцiалiв такого спiльного множника вже може й не бути.

§ 48. Ефективна маса домiшок у конденсованих тiлах

Розглянемо задачу про рух домiшкових атомiв у конденсованому середовищi. Це може бути, наприклад, рух атома 3He в рiдкому 4He або рух електрона в йонному кристалi.

Ми розв’яжемо задачу про рух частинки в конденсованому тiлi, яке складається з N атомiв (йонiв) в об’ємi V з координатами R1, . . . , RN . Наше завдання знайти ефективну масу такої ча-

стинки, використовуючи формули стацiонарної теорiї збурень.

4Для довiдки наведемо наступнi члени розкладу у квадратних дужках у

виразах для енерґiй основного стану цих моделей: для ангармонiчного осци-

426

де m початкова або “гола” маса частинки, pˆ оператор її iм-

пульсу, ˆ ′ гамiльтонiан середовища, а оператор ˆ , який ми

H V

розглядаємо як збурення (наближення слабкого зв’язку), описує потенцiальну енерґiю взаємодiї частинки з атомами середовища:

де r координата частинки.

Розрахуємо поправки до енерґiї системи “частинка плюс се-

редовище” вiд оператора збурення ˆ , коли середовище перебу-

V

ває в основному станi з енерґiєю E0′ i хвильовою функцiєю |0), а частинка√має iмпульс ~k, енерґiю ~2k2/2m i хвильову функцiю |ki = eikr/ V . Отже, повна енерґiя системи

Ek = Ek(0) + Ek(1) + Ek(2) + . . . ,

де нульове наближення

Перша поправка за означенням дорiвнює:

де хвильова функцiя системи в нульовому наближеннi |k, 0i = |ki|0). Розрахуємо недiагональний матричний елемент оператора

ˆ на плоских хвилях, який використаємо i для другої поправки:

V

427

тут уведено позначення для нової змiнної iнтеґрування R = r−Rj

(якобiан переходу дорiвнює одиницi). Оскiльки iнтеґрал не залежить вiд iндексу j, то

коефiцiєнт Фур’є флюктуацiї густини атомiв у середовищi, а νq

є коефiцiєнтом Фур’є енерґiї взаємодiї домiшки з атомом:

Z

νq = e−iqR U(R) dR,

де хвильовий вектор q = k′ − k. Тепер маємо:

Ek(1) = ρν0,

де ρ = N/V густина атомiв середовища.

Зробимо тепер розрахунок другої поправки:

енерґiя збудження середовища, а хвильова функцiя |k′, q′i = |k′i|q′). Хвильову функцiю середовища |q′) в головному набли-

женнi можна записати, згiдно з принципом суперпозицiї, як добу-

ток суми плоских хвиль атомiв середовища на хвильову функцiю p

основного стану |q′) = ρ−q′ |0)/ Sq′ , Sq′ = (0|ρq′ ρ−q′ |0). Середньо-

квадратичну флюктуацiю густини атомiв

Sq = (0|ρqρ−q|0) = |ρq|2,

яка визначається розташуванням атомiв у середовищi, називають структурним фактором конденсованого тiла (тут риска означає усереднення за основним станом).

Використовуючи знайдений вище матричний елемент оператора збурень, перейдемо вiд пiдсумовування за k′ до пiдсумовування

428

за хвильовим вектором q i отримаємо

Хвильова функцiя основного стану |0) залежить лише вiд рiзницi

координат атомiв, тому матричний елемент

p p

(q′|ρq|0) = (0|ρq′ ρq|0)/ Sq′ = Sqδq+q′,0.

Справдi, обчислюючи цю величину в деякiй iншiй системi координат, зсунутiй стосовно початкової на довiльний сталий вектор R, коли Rj → Rj + R, ми отримаємо зайвий множник ei(q+q′)R, i оскiльки результат не має залежати вiд R, то мусить бути: q + q′ = 0.

Розкладемо вираз пiд знаком суми в ряд за степенями k:

Найнижчi збудженi стани конденсованого тiла це звичайнi звуковi хвилi (фонони), коли E(q) = c~q, q → 0, c швидкiсть зву-

ку. Отже, такий розклад можна робити при будь-яких значеннях q. Внесок вiд другого члена розкладу очевидно дорiвнює нулевi,

оскiльки доданки з вiд’ємними й додатними напрямками вектора q взаємно скорочуються:

429

де величина

разом iз першою поправкою дорiвнює енерґiї зв’язку домiшки в конденсованому середовищi (енерґiя “занурення” домiшки). Пе-

рейдемо у виразi для Ek(2) вiд пiдсумовування за хвильовим вектором q до iнтеґрування, маючи на увазi граничний перехiд V → ∞, i проiнтеґруємо у сферичних координатах за кутовими змiнними:

Бачимо, що при малих значеннях хвильового вектора k друга поправка до енерґiї пропорцiйна до k2. Тепер повна енерґiя

де енерґiя “занурення”

Ek=0 − E0′ = ρν0 + Ek(2)=0,

а другий доданок можна трактувати як кiнетичну енерґiю домiшки з ефективною масою m , що визначається з рiвняння:

Для оцiнки ефективної маси незарядженої частинки використаймо одиницю вимiру довжини a, яка є радiусом дiї потенцiалу, ν0 = 2π~2a/m¯ , m¯ зведена маса домiшки й атома середовища

(див. Приклад до §107). Перейдемо до знерозмiреної змiнної iнтеґрування p = qa i введемо знерозмiрений коефiцiєнт Фур’є енерґiї взаємодiї νq = νq/ν0. У результатi

де q = p/a. Як бачимо, ефективна маса домiшки лiнiйно зростає з густиною при малих значеннях ρ.

430