Вакарчук І.О. Квантова механіка

числа n: En n4/3, n → ∞. Легко помiтити, що в одновимiрному випадку для будь-якого потенцiалу енерґiя в цiй границi En nν, де ν ≤ 2. Верхня межа ν = 2 вiдповiдає “рiзкому” потенцiаловi

прямокутного ящика з безмежно високими стiнками. Для основного стану енерґiя

Цiкаво порiвняти чисельне значення коефiцiєнта в цьому виразi 31/3/2 = 0.721125 iз його значенням, яке ми знайшли ра-

нiше за допомогою спiввiдношення невизначеностей Гайзенберґа 3 · 21/3/8 = 0.472470 (оцiнка знизу для енерґiї, див. Приклад 2 до §7), а також з його точним значенням 0.667986. . ., одержаним чи-

сельними методами. Мiж iншим, це число вiдоме на сьогоднi з рекордною точнiстю в тисячу значущих цифр.

Можна визначити невiдому частоту i з умови мiнiмуму повної енерґiї

Цей вираз також знайдено в Прикладi 2 до § 7. Вiдзначимо неаналiтичну залежнiсть енерґiї вiд константи взаємодiї α в цiй моделi,

що свiдчить про незастосовнiсть до неї стандартної теорiї збурень.

411

Отже, за допомогою гармонiчного осцилятора як системи вiдлiку ми побудували теорiю збурень для моделi “x4”. Можна по-

лiпшити збiжнiсть, якщо знайти вдалiшу систему вiдлiку, яка б була подiбнiшою при малих x до “x4”, але мала точний розв’язок.

Наприклад, для дослiдження основного стану можна використати з §18 як опорну модель з квазiточно розв’язуваним потенцiалом,

Якщо тепер додати й вiдняти в гамiльтонiанi моделi “x4” потенцiал U, то пiсля усереднення енерґiя

E = E0 + V ,

де усереднений оператор збурення

V = αx4 − 2~2 (Ax6 + √6A3/4x4), m

тут уведено середнi, згiдно з означенням, а саме,

−∞

412

причому

413

Порiвнюючи цi чисельнi значення зi знайденими вище на основi моделi гармонiчного осцилятора, бачимо, що ця друга опорна модель є успiшнiшою, оскiльки числовi множники в енерґiї є ближчими до точного значення 0.667986. . ..

Запропонуємо ще один пiдхiд до знаходження малого параметра теорiї збурень. Для цього введемо модель N-вимiрного ангар-

монiчного осцилятора з гамiльтонiаном

H = pˆ2 + α |x|4, 2m N

де вектор координати x = (x1, . . . , xN ), а оператор iмпульсу pˆ =

(ˆp1, . . . , pˆN ).

Використаймо попереднiй трюк з вiднiманням та додаванням потенцiальної енерґiї гармонiчного осцилятора й обчислимо в першому наближеннi енерґiю основного стану

де хвильова функцiя основного стану ψ0 = |0i є добутком N хви-

льових функцiй одновимiрних гармонiчних осциляторiв. Потрiбнi тут середнi значення знаходимо, використовуючи попереднi результати з одновимiрної моделi (див. Приклад 1 до §45):

414

~ 2 h0|x4i |0i = 3 2mω .

Цi середнi значення, очевидно, не залежать вiд i та j, тому по-

правка

При N = 1 отримуємо наведений вище результат. Цiкавим, однак, є випадок N → ∞, коли можна здiйснити розклад енерґiї за степенями 1/N у розрахунку на один ступень вiльностi:

Виявляється, що перший член розкладу це точний результат. Таким чином, ми знайшли “з нiчого” ще один малий параметр λ = 1/N. Тобто для λ = 0 задача має точний роз-

в’язок, що дозволяє обчислювати поправки, пропорцiйнi до степенiв 1/N. Зокрема, коефiцiєнт бiля 1/N, який ми отримали на-

ступний член розкладу, пропорцiйний до (1/N)2, точне значення p

якого 25/36 − 2/3 = −0.122052.

415

Цей нестандарний пiдхiд у теорiї збурень, коли малий параметр вноситься з-поза меж вихiдного гамiльтонiана, можна доповнити цiкавим прикладом iз теорiї фазових переходiв та критичних явищ. Точний розв’язок задачi розрахунку асимптотики термодинамiчних функцiй в околi критичної точки є можливим у 4-вимiрному просторi. К. Вiльсоновi2 вдалось сформулювати теорiю збурень, де малим параметром є величина вiдхилення вимiрностi простору D вiд чотирьох, ε = 4 − D. Отриманi ряди теорiї збурень (так званий ε-розклад) виявились асимптотичними, але

їхнi першi члени дають змогу одержати надiйнi результати для вимiрностi D = 3. Крiм того, це привело до розвитку цiлого ма-

тематичного напрямку “пiдсумовування” асимптотичних рядiв. Ми бачимо, що знайти в задачi малий параметр це й справ-

дi мистецтво, а стандартнi пiдходи теорiї збурень можливi лише для обмеженого класу явищ. До цього хiба що додамо вислiв вiдомого швейцарського фiзика-теоретика Р. Йоста, який iронiчно пiдкреслює бухгалтерський пiдхiд звичайної теорiї збурень: “Пiд деморалiзуючим впливом квантовомеханiчної теорiї збурень потреба фiзика-теоретика в математичних знаннях звелась до рудиментарного володiння латинським та грецьким алфавiтами”.

§47. 1/N-розклад

Упопередньому параграфi ми вiдшукували малi параметри в задачах, де їх, здавалось би, немає. Одним iз таких параметрiв виявилась величина, обернена до кiлькостi ступенiв вiльностi дослiджуваної системи. Тепер ми розвинемо послiдовну теорiю збурень за цим параметром.

Отже, розглянемо рух частинки в N-вимiрному просто-

2За розробку теорiї критичних явищ К. Вiльсон у 1982 роцi нагороджений

Нобелiвською премiєю.

416

√

Робимо замiну змiнних y = x/ N i отримуємо таке рiвняння:

де ефективна маса m = N2m, а ефективний потенцiал

Якщо N → ∞, то ефективна маса m → ∞, i отже, кiнетична

енерґiя частинки дорiвнює нулевi, а ефективний потенцiал прямує до

~2

w0(y) = 8my2 + U(y).

Енерґiя на один ступiнь вiльностi E/N, як випливає з рiвняння,

дорiвнює ефективному потенцiаловi, i, зрозумiло, щоб забезпечити стiйкiсть, ми повиннi взяти потенцiал у точцi y = y0, де вiн має

мiнiмальне значення:

E

N = w0(y0),

координату y0 знаходимо з рiвняння

w′(y0) = 0

за умови, що w′′(y0) > 0. Отже, в просторi з нескiнченним числом

вимiрiв частинка здiйснює стiйкий рух по гiперсферi на вiдстанi y = y0 вiд силового центра, а її повна енерґiя на один ступiнь

вiльностi має лише одне можливе значення.

Цей вираз для енерґiї є лише нульовим наближенням. Наступний крок розглянути скiнченне значення N i дати можливiсть частинцi рухатись в околi точки y0. Такий коливний рух є в голов-

ному наближеннi гармонiчним i вiдповiдає врахуванню першого незникаючого квадратичного члена розкладу потенцiалу w(y) за

степенями вiдхилення вiд положення рiвноваги.

Перейдiмо до практичного обчислення поправок вищих порядкiв до нульового наближення енерґiї w0(y0). Зручно вчинити так. Повертаємось до вихiдного рiвняння з потенцiалом w(y), який

417

розкладаємо в ряд в околi точки y = y¯, де функцiя w(y) має мiнiмум. Квадратичний доданок за вiдхиленням z = y − y¯ об’єднуємо

з оператором кiнетичної енерґiї, це буде гамiльтонiаном ˆ для

H0

нульової задачi, а решту, тобто всi ангармонiзми, розглядаємо як оператор збурення. У результатi наше рiвняння стає таким:

а точку мiнiмуму потенцiалу w(y) знаходимо з рiвняння

w′(¯y) = 0,

причому величина z змiнюється в межах [−y,¯ ∞). Оператор збу-

рення

визначенi k-тою похiдною ефективного потенцiалу в точцi рiвноваги y = y¯.

Тепер, за теорiєю збурень, енерґiя (E/N − w(¯y)) складається

з енерґiї гармонiчного осцилятора плюс поправки вiд ангармонi-

n = 0, 1, 2, . . ., i причому E(ν), ν = 1, 2, . . . це звичайнi поправки ν-того порядку за оператором збурення V , якi мають стандартний

вигляд.

418

Вiдзначимо одну особливiсть сформульованої теорiї збурень. Оскiльки координата z змiнюється не в безмежних межах, то,

здавалось би, виникатимуть додатковi труднощi з розрахунком матричних елементiв. Насправдi це не так, тому що знерозмiрена координата

√

змiнюється в межах [−y¯ N(mw′′(¯y)/~2)1/4, ∞), i отже, при N → ∞ область її змiни це вся дiйсна вiсь (−∞, ∞), як i для

звичайного одновимiрного осцилятора. Правда, пiд час обчислень поправок вищих порядкiв при розрахунках матричних елементiв виникатимуть на нижнiй межi iнтеґрування величини exp[−Ny¯2pmw′′(¯y)/~] вiд множника exp(−ξ2/2) у хвильових фун-

кцiях. Однак цi величини порiвняно зi степеневими поправками(1/N)k, k = 1, 2, . . ., обчислення яких є нашою метою, дають при N → ∞ зникаючий внесок для будь-якого значення k. Тому

надалi використовуємо звичайну теорiю збурень для ангармонiчного осцилятора, не беручи до уваги скiнченнiсть нижньої межi областi змiни величини z.

Перш нiж рухатись далi, зробимо ще одне зауваження. Оскiльки в нас масштаб довжини p~/m ω¯ = (~/N)1/2.[mw′′(¯y)]1/4, то

розклад за степенями 1/N є еквiвалентним розкладовi за степенями ~. Ми зупинимось на розрахунку енерґiї E/N у наближеннi(~/N)2. У зв’язку з цим нам достатньо врахувати лише кубi-

чний i четвертий ангармонiзми i просто скористатись результатом розрахунку їхнього внеску ~2 з Прикладу 2 до §45.

Таким чином, енерґiя на один ступiнь вiльностi

419

де квантове число n = 0, 1, 2, . . ..

Оскiльки ефективний потенцiал w(¯y) та його похiднi w(k)(¯y)

1/N, то ця формула для E/N ще не є “чистим” розкладом за степенями 1/N. Для того щоб витягти параметр 1/N з цих величин,

запишемо ефективний потенцiал у такому виглядi:

де величини y0, y1, . . . визначаємо з рiвняння w′(¯y) = 0, задовольняючи його в кожному порядку за малим параметром 1/N. Для цього розкладаємо w′(¯y) у ряд за 1/N i з потрiбною нам точнiстю

Оскiльки цей ряд повинен дорiвнювати нулевi, то звiдси знаходимо, що

w0′ (y0) = 0,

w1′ (y0) + w0′′(y0) y1 = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . .

420