Вакарчук І.О. Квантова механіка

означає, що стани квантової системи слiд зiставляти з векторами деякого лiнiйного простору.

Беручи це до уваги й узагальнюючи результати, якi ми одержали в попереднiх параграфах, основнi положення квантової механiки можна сформулювати у виглядi аксiом (постулатiв).

Постулат 1. Стани квантовомеханiчної системи описуються векторами |ψi абстрактного гiльбертового простору.

Нагадаємо означення: кажуть, що заданий гiльбертiв простiр векторiв |ψi, |ϕi, |χi, . . ., якщо цей простiр лiнiйний i в ньому

визначений скалярний добуток векторiв hψ|ϕi. Аксiоми:

1◦. Два довiльнi вектори |ψi, |ϕi або рiзнi (|ψi 6= |ϕi), або тотожнi (|ψi = |ϕi); якщо |ψi = |χi i |ϕi = |χi, то |ψi = |ϕi.

2◦. Для двох векторiв |ψi, |ϕi iснує сума |ψi + |ϕi, яка сама є

вектором i

|ψi + |ϕi = |ϕi + |ψi, |ψi + (|ϕi + |χi) = (|ψi + |ϕi) + |χi.

3◦. Нехай α довiльне комплексне число, тодi для кожного вектора |ϕi величина α|ϕi також є вектором i

α(|ψi + |ϕi) = α|ψi + α|ϕi.

Постулат 2. Кожнiй спостережувальнiй величинi A вiдповiдає

лiнiйний оператор ˆ, що дiє в гiльбертовому просторi векторiв

A

станiв.

У заданому ортонормованому базисi |ψni оператор визначає-

ться сукупнiстю чисел:

h | ˆ| i h | ˆ| i

Amn = ψm A ψn = m A n .

Постулат 3. Єдиними можливими результатами вимiрювання даної фiзичної величини A в заданому станi |ψi є власнi значення

оператора ˆ, що зiставляються з цiєю величиною:

A

ˆ| i | i

A ψn = An ψn .

Постулат 4. Iмовiрнiсть отримання значення An для фiзичної величини A при її вимiрюваннi в станi |ψi дорiвнює

151

Постулат 5. Координатам qi i канонiчно спряженим iмпульсам pi квантовомеханiчної системи вiдповiдають оператори qˆi та pˆi, що задовольняють переставнi спiввiдношення:

qˆipˆj − pˆjqˆi = i~δij

алгебра Гайзенберґа. Це i є умова квантування.

Решту результатiв отримуємо з цих постулатiв як теореми.

Вiдступ. “Божественна пропорцiя”. Тисячi рокiв хвилює людину так званий золотий перерiз, або “Божественна пропорцiя”, що проникла в усi дiлянки її iнтелектуальної дiяльностi i як одне з пояснень природи найвищої довер-

шеностi та краси, i як мiстичний елемент у сприйняттi свiту. Золотий перерiз

√

Φ = ( 5 + 1)/2 = 1.618033988749894 . . . є вiдношенням сторiн прямокутни-

ка, який можна розрiзати на подiбний до нього прямокутник та квадрат, i

отже, Φ є розв’язком квадратного рiвняння Φ2 − Φ − 1 = 0. Винахiд числа Φ приписують стародавнiм грекам (iснує думка, що поняття про Φ пiфаго-

рiйцi запозичили у вавiлонцiв), хоч архiтектура єгипетських пiрамiд указує на те, що його використовували, i, мабуть, не випадково, ще в Стародавньому Єгиптi зокрема в пiрамiди Хеопса (висота дорiвнює 146.6 м, основа 230.4 м) вiдношення висоти бiчної гранi (апофеми) до її пiвоснови дорiвнює

Φ, а вiдношення висоти пiрамiди до її пiвоснови дорiвнює √Φ. В iншiй ча-

стинi свiту, неподалiк Мехiко, на полi руїн залишкiв культури народу, що жив тут до ацтекiв височать пiрамiди Теотiхуакана. Пiрамiда Сонця (висота 71.5 м, основа 223.5 м) також мiстить Φ: вiдношення апофеми до

пiвоснови дорiвнює √Φ, а висоти до пiвоснови 1/Φ. Як вiдомо, Пiфагор

(VI ст. до Р.Х.) поклав в основу гармонiї музики простi числовi вiдношення. Вiн зауважив, що накладання двох звукiв рiзної висоти є приємним для вуха, якщо їхнi частоти спiввiдносяться як невеликi числа. Мабуть, бажання пiфагорiйцiв звести до числових спiввiдношень i гармонiю просторових образiв, яка була би приємною для ока, привели їх до вiдкриття числа Φ.

Платон (428 або 427 до Р. Х.–348 або 347 до Р. Х.) устами пiфагорiйця Тiмея (Платон. Дiалоги. “Тiмей”, 31с–32b) виклав мiркування про те, як з двох частин скласти одне цiле так, щоб їхню роз’єднанiсть перетворити в єднiсть: “Неможливо, щоб двi речi досконало були з’єднанi без третьої, тому що мiж ними повинен з’явитись певний зв’язок, що їх скрiплював би. Найкраще це може зробити пропорцiя бо, якщо три числа виявляють таку властивiсть, що середнє є в такому вiдношеннi до меншого, як бiльше до середнього, i навпаки, менше є в такому вiдношеннi до середнього, як середнє до бiльшого, то останнє й перше буде середнiм, а середнє першим i останнiм. Отже, все з необхiдностi буде тим самим, а оскiльки воно буде тим самим, то воно складатиме єднiсть.” Така пропорцiя для трьох додатних величин a, b, a + b i a < b приводить нас до золотого перерiзу b/a = Φ, хоча сам Платон не використовував цi мiркування для виведення числа Φ.

Питанню золотого перерiзу придiлив увагу i Евклiд (бл. 365–бл. 300 до н.е.) у своїх “Елементах”. В епоху Вiдродження число Φ вiдiгравало виня-

ткову роль (аж до мiстифiкацiї) в архiтектурi, мистецтвi, законах естетики й дiстало назву “Божественна пропорцiя”, або “золотий перерiз” (aurea sectio)так назвав його Леонардо да Вiнчi (1452–1519). Перший твiр про золотий перерiз “Про Божественну пропорцiю” (de Divina propotione) написав в останнiх роках XV столiття iталiйський математик мiнорит Лука Пачiолi (близько 1445–пiсля 1509). Вiн був особистим другом Леонардо да Вiнчi (1452–1519),

152

який iлюстрував цю книжку. Пачiолi, як математик, навчав геометрiї художникiв й архiтекторiв, а видатний венецiанський художник Джакопо де Барбарi (близько 1445–пiсля 1516) на знак подяки написав картину, де зобразив себе поруч зi своїм учителем: перед ними на столi стоїть додекаедр, у якому наявна пропорцiя Φ, а в лiвому вiльному кутi картини намальовано напiв-

правильний багатогранник Архiмеда тiло, поверхня якого складається з квадратiв i рiвностороннiх трикутникiв. Площина, що проходить через середину висоти цього тiла, дiлить ребра, якi вона перетинає, пропорцiєю золотого перерiзу.

Чари таємничостi навколо золотого перерiзу, який викликає в нас вiдчуття завершеностi й естетичного задоволення, зумовленi тим, що цю пропорцiю часто бачимо як у творiннях Природи, так i в рукотворних об’єктах. Зокрема золотий перерiз наявний у пропорцiях людського тiла: пояс дiлить його у вiдношеннi Φ, рот також дiлить нижню частину обличчя, як i брови

всю голову в такiй же Божественнiй пропорцiї i т. п. Наприклад, легко зауважити, що вiдношення сторiн 42-рядкової двостовпцевої шпальти Бiблiї 1455

року першого винахiдника книгодрукування Йоганна Ґутенберґа (мiж 1394 i 1399–1468), як i шпальти “Апостола” Iвана Федорова (р. н. невiд.–1583), надрукованого у Львовi 1574 року, є близьким до золотого перерiзу Φ. Узагалi

шпальти багатьох книжок мають саме такий формат або близький до нього, як i шпальти книжки, яку Читач тримає в руках. . .

Цiкаво, що число Φ iтеруванням наведеного вище рiвняння, Φ = 1 + 1/Φ,

можна зобразити нескiнченним ланцюговим дробом,

Як тут не згадати “Божественну одиницю” Пiфагора, з якої складається Все. Обриваючи ланцюговий дрiб для Φ на кожнiй ланцi, отримаємо послiдовнiсть його наближених значень Φ = 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, . . . , якi є вiдношеннями чи-

сел Фiбоначчi (кожне наступне таке число дорiвнює сумi двох попереднiх, причому два першi числа дорiвнюють одиницi). Iталiйський математик Фiбоначчi, вiдомий також як Леонардо Пiзанський (бл. 1170–пiсля 1240), прийшов до них, розв’язуючи знамениту “задачу про розмноження крiликiв”: потрiбно обчислити, скiльки пар крiликiв народжується протягом року, якщо через мiсяць пара крiликiв вiдтворює нову пару, а народжують вони з другого мiсяця пiсля свого народження. Число Φ є границею виписаної вище послiдовностi.

Довiв цей факт уперше 1596 року Й. Кеплер (1571–1630). Цiкаво також, що з цiєю послiдовнiстю пов’язане гвинтоподiбне розташування листкiв на стеблi рослин (фiлотаксис), яке характеризується деяким кутом повороту мiж двома послiдовними листками. Цей кут є часткою повного кута 2π i для рiзних

рослин є рiзним, але, як правило, ця частка дорiвнює вiдношенню сусiднiх чисел Фiбоначчi. . .

Виявляє “Божественну пропорцiю” й логарифмiчна спiраль, яку знаходимо у творiннях природи згадаймо хоча б черепашки слимакiв i молюскiв чи розташування зерен соняшника на його шляпцi, чи яскравих плям-прикрас на розпущеному вiялом барвистому хвостi пави. Якщо наведене на початку нашої розповiдi розрiзання “золотого прямокутника” продовжити на наступнi все меншi прямокутники, то виявимо, що спiльнi зовнiшнi вершини квадратiв

153

Г Л А В А III

РIВНЯННЯ ШРЕДИНҐЕРА

§ 15. Хвильове рiвняння

Перейдемо до побудови рiвняння, яке описує змiну станiв квантових систем iз часом основного, фундаментального рiвняння квантової механiки. Почнемо розгляд iз порiвняння з класичною теорiєю. Аналогiя з класичною механiкою вiдiграє велику роль. По-перше, класична механiка є граничним випадком квантової механiки, коли квант дiї ~ → 0; по-друге, цей зв’язок є додатковим

евристичним принципом.

Отже, розглянемо класичну систему. Її стан повнiстю задається канонiчно спряженими змiнними q, p (для простоти розгля-

даємо один ступiнь вiльностi). Твердження “величини повнiстю задають стан системи” означає, що, задавши їх у деякий момент часу t, ми можемо за цими значеннями знайти їх у наступний момент часу t + t,

q(t + t) = q(t) + q˙(t)Δt,

p(t + t) = p(t) + p˙(t)Δt,

використовуючи рiвняння руху канонiчнi рiвняння Гамiльтона:

де H = H(p, q, t) класична функцiя Гамiльтона. Цi рiвнян-

ня, як i еквiвалентнi їм рiвняння Ньютона, або Лаґранжа, або Гамiльтона–Якобi, не виводяться. Вони встановлюються i постулюються на основi експериментальних фактiв. Щоб не було непорозумiнь, укажемо, що всi цi рiвняння є наслiдком принципу найменшої дiї, який теж постулюється. Сам цей принцип був уведений пiзнiше, нiж були написанi рiвняння руху Ньютона. Отже,

155

ми бачимо, якщо величини q, p задають стан системи, то рiвняння руху мiстять лише першi похiднi за часом q,˙ p˙, якi необхiднi

для визначення координат та iмпульсiв у наступнi моменти часу. Така ж ситуацiя виникає i в класичнiй електродинамiцi. Стан електромагнiтного поля повнiстю задається напруженостями електричного та магнiтного полiв E i H, якi є функцiями точки про-

стору та часу. Для визначення напруженостей поля в момент часу t + t нам необхiдно знайти їхнi похiднi за часом у момент t (про-

сторову змiнну не виписуємо):

(t + t) = (t) + ˙ (t)Δt,

E E E

(t + t) = (t) + ˙ (t)Δt.

H H H

Рiвняннями руху поля є рiвняння Максвелла, до яких також входять лише першi похiднi за часом вiд напруженостей:

тут ρ, v густина та швидкiсть зарядiв. Як i рiвняння Ньютона,

рiвняння Максвелла є узагальненням експериментальних фактiв. Рiвняння Ньютона i Максвелла це фундаментальнi рiвняння, якi класичною мовою описують матерiю.

Наше завдання установити вигляд рiвнянь руху для квантовомеханiчних систем. Стан такої системи задається хвильовою функцiєю ψ = ψ(q, t). Маючи хвильову функцiю в момент часу t, ми зможемо знайти її в наступний момент t + t, якщо вiдома її перша похiдна за часом у момент t:

Тепер необхiдно знайти рiвняння для першої похiдної за часом вiд ψ(q, t). Це i буде квантовомеханiчне рiвняння руху.

156

Розглянемо так званий “аксiоматичний пiдхiд”, тобто сформулюємо ряд вимог i на їхнiй основi встановимо загальний вигляд цього рiвняння.

Вимоги.

1◦. Рiвняння повинно мiстити лише першу похiдну за часом вiд ψ(q, t) це є наслiдком того, що ψ(q, t) повнiстю визначає

стан системи. Наприклад, якби рiвняння мiстило другу похiдну за часом, то для знаходження його розв’язку необхiдно було б задавати двi початковi умови: для ψ(q, t) та

∂ψ(q, t)/∂t.

2◦. Рiвняння повинно бути лiнiйним щодо ψ ця вимога дикту-

ється принципом суперпозицiї, основним принципом квантової механiки. Якщо ψ1 i ψ2 є розв’язками, то i лiнiйна комбiнацiя ψ = c1ψ1+c2ψ2 також є розв’язком шуканого рiвняння.

3◦. Рiвняння повинно зберiгати умову нормування хвильової функцiї. Зокрема для довiльного моменту часу t

Z

|ψ(q, t)|2dq = 1.

Це означає, що частинка в будь-який момент часу повинна знаходитись в областi змiни q: вона не зникає, а зi стовiдсо-

тковою ймовiрнiстю перебуває в межах цiєї областi.

4◦. Це рiвняння повинна задовольняти хвиля де Бройля.

5◦. У рiвняння, крiм ψ, повиннi входити лише фундаментальнi константи типу ~, c, . . . та константи типу маси m i заряду e,

що характеризують саму частинку, а також силовi характеристики поля, яке дiє на частинку. У рiвняння не повиннi входити конкретнi динамiчнi змiннi, як наприклад iмпульс або енерґiя.

157

З перших двох вимог випливає, що рiвняння має вигляд:

∂ψ(q, t) ˆ

∂t

= Lψ(q, t),

ˆ лiнiйний оператор. Третя вимога накладає деякi обмеження

L

на оператор ˆ. Справдi, маємо:

L

d Z |ψ(q, t)|2dq = 0. dt

Уважаємо, що межi областi визначення величини q не змiнюються

в часi, тому ця умова є такою:

Z ∂ψ ψ + ψ ∂ψ dq = 0, ∂t ∂t

арґументи хвильової функцiї для простоти запису опускаємо. Далi використовуємо загальний вигляд рiвняння i виключимо похiднi

або, вводячи в першому доданку транспонований оператор,

Оскiльки функцiя ψ = ψ(q, t) довiльна, то повинно виконуватись

158

Сталу Планка ми ввели тiльки з мiркувань зручностi, щоб не додавати промiжних позначень. Таким чином, рiвняння руху набирає вигляду:

де ˆ лiнiйний самоспряжений оператор. Отже, ми встанови-

H

ли загальний вигляд рiвняння, яке описує еволюцiю в часi станiв квантовомеханiчних систем.

Для встановлення змiсту оператора ˆ звернемось до гiпотези

H

де Бройля i врахуємо вимогу 4◦. Пам’ятаючи, що для хвилi де

Бройля

i~∂ψ∂t = Eψ,

знаходимо, що

ˆ

Hψ = Eψ.

Ми отримали рiвняння на власнi функцiї та власнi значення. За своїм змiстом E це повна енерґiя частинки, стан якої опи-

сується хвилею де Бройля. Отже, оператор ˆ це не що iнше,

H

як оператор енерґiї, або оператор Гамiльтона. Припустимо, що

змiст оператора ˆ як оператора енерґiї не буде змiнюватись при

H

переходi до розгляду iнших квантовомеханiчних об’єктiв, а мiнятиметься лише його конкретний вигляд.

Таким чином, постулюємо:

Рiвняння, що описує змiну станiв квантовомеханiчних систем з часом, має вигляд

де ˆ оператор Гамiльтона системи. Це рiвняння називають хви-

H

льовим рiвнянням Шрединґера, або просто хвильовим рiвнянням. Воно є фундаментальним рiвнянням квантової механiки.

До винайденого рiвняння справдi не входять такi “деталi”, як iмпульс чи енерґiя i т. п. тобто воно задовольняє пункт 5◦.

Зробимо тепер декiлька зауважень до нього. Як i при встановленнi рiвнянь Ньютона або Максвелла, ми не вивели хвильового рiвняння, а постулювали його на основi загальних принципiв i деяких конкретних припущень. Установлення Е. Шрединґером

159

цього рiвняння було генiальною здогадкою, i 1926 рiк, коли воно було винайдене, є великим iсторичним моментом ми отримали у своє розпорядження iнструмент для квантовомеханiчного опису матерiї.

Розв’язки цього рiвняння i висновки з них дають змогу пояснити безлiч експериментальних фактiв, починаючи вiд стабiльностi атомiв, структури їхнiх енерґетичних рiвнiв, хiмiчного зв’язку та властивостей твердих тiл i аж до явищ надплинностi рiдкого гелiю, надпровiдностi металiв, природи космiчних об’єктiв, складних реакцiй з участю бiлкових молекул i ролi ферментiв. Усi цi явища квантова механiка, у принципi, пояснює за допомогою рiвняння Шрединґера. Для цього нам необхiдно зробити лише один крок i записати його для N частинок:

ψ = ψ(r1, . . . , rN , t).

Фактично всi наступнi роздiли, якi ми вивчатимемо, так або iнакше пов’язанi з цим рiвнянням.

Однак i рiвняння Шрединґера має свої межi застосовностi. Передусiм безпосередньо з цього рiвняння можна вже вiзуально зауважити, що в нього не входить швидкiсть свiтла. Отже, рiвняння не може описувати явищ, пов’язаних з теорiєю вiдносностi. Не може воно в такому виглядi повнiстю описати й магнетизм. У нерелятивiстськiй квантовiй теорiї час t входить у рiвняння як

параметр. У релятивiстськiй теорiї просторовi координати i час є рiвноправними змiнними. Отже, вони повиннi входити в рiвняння симетричним чином, чого немає в рiвняннi Шрединґера. Правильне релятивiстське рiвняння для електрона вiдкрив через рiк П. А. М. Дiрак.

Зрозумiло, що рiвняння Шрединґера має точнi розв’язки лише для деяких задач типу гармонiчного осцилятора, атома водню та ще декiлькох. Однак за допомогою рiзних наближених методiв, часом не обґрунтованих строго, можна зрозумiти багато чудових явищ, якi вiдбуваються в природi.

160