12.Розподіл Фермі — Дірака.

Розподіл Фермі - Дірака як функція від , Побудована для 4-х різних температур. З ростом температури сходинка розмивається.

Статистика Фермі - Дірака в статистичної фізики - квантова статистика, застосовувана до систем тотожних ферміонів (як правило, часток з напівцілимспіном, що підкоряються принципу заборони Паулі, тобто, одне і те ж квантовий стан не може займати більше однієї частки); визначає розподіл ймовірностейзнаходження ферміонів на енергетичних рівнях системи, що перебуває в термодинамічній рівновазі; запропонована в 1926 італійським фізиком Енріко Фермі і одночасно англійським фізиком Полем Діраком, який з'ясував її квантово-механічний зміст; дозволяє знайти ймовірність, з якою ферміонів займає даний енергетичний рівень.

Роботи по статистиці Фермі - Дірака були опубліковані в 1926, а в 1927 вона була застосована Арнольдом Зоммерфельдом до електронам в металі.

У статистиці Фермі - Дірака середнє число часток в стані з енергією є

де

 - Середнє число часток в стані ,

 - Енергія стану ,

 - кратність виродження стану (Число станів з енергією),

 - хімічний потенціал (який дорівнює енергії Фермі при абсолютному нулі температури),

 - постійна Больцмана,

 - Абсолютна температура.

В (ідеальному) фермі-газі в межі низьких температур . В цьому випадку (вважаючи рівні енергії невиродженими), Функція розподілу частинок називаєтьсяфункцією Фермі:

Розподіл Фермі - Дірака як функція температури. Заповнення рівнів з енергіями зростає зі збільшенням температури.

13.Теорія провідності металів

Класична (у розумінні неквантова) електрон­на теорія провідності металів створена в 1900 р. німецьким фізиком П. Друде (1863—1906). Ідеї Друде розвинув далі X.Лоренц, підвівши під них досконалішу теоретичну основу. У своїй теорії П. Друде виходив із припущення, що висока електропровідність металів зумовлена великою кількістю носіїв заряду – електронів, які хаотично переміщаються в об'ємі металу. Електрони провідності утворюють в металі електронний газ, який має властивості одноатомного газу. При хаотичному русі електрони зазнають зіткнень з іонамикристалічної ґратки металу. Тому можна говорити про середню довжину вільного пробігу електронів, яка за значенням має дорівнювати параметру кристалічної ґратки, тобто < l > »10^-10 м. Користуючись закономірностями кінетичної теорії газів, можна обчислити середню арифметичну швидкість < v > теплового руху електронів; при темпе­ратурі 273 К v » 10⁵ м/с. Електричний струм у металевому провіднику виникає під дією електричного поля як упорядкований рух електронів із середньою дрейфовою швидкістю V_Д. Густина струму виражається формулою (2.6), яка дає можливість оцінити середню дрейфову швидкість V_Д. електронів у металі. Для металевих провідників з різних матеріалів існують максимальні технічно припустимі значення густини струму, перевищення яких призводить до небезпечного перегрівання провідника. Наприклад, для мідного ізольованого дроту найбільша припустима густина струму дорівнює 11 А/мм².

Оскільки для міді концентрація електронів провідності n₀=8,5·10²⁸ м^-3, а заряд електрона е = 1,6·10^-19 Кл, то середня швидкість упорядкованого руху електронів за цих умов V_Д = 8∙10^-4 м/с.

Надзвичайно мала швидкість упорядкованого руху електронів порівняно зі швидкістю < v > їх теплового руху при звичайних температурах пояснюється дуже частими зіткненнями електронів з іонами кристалічної ґратки. Як же узгоджується дуже мала дрейфова швидкість V_Д електронів, яка зумовлює електричний струм у металі, з практично миттєвою передачею електричних, наприклад телефонних, сигналів по провідниках на величезні відстані? При замиканні протяжного електричного кола в провіднику створюється електричне поле, яке поширюється зі швидкістю світла с = 3∙10⁸ м/с. З такою швидкістю поширюються будь-які зміни електричного поля. Тому впорядкований рух електронів під дією електричного поля виникає на всій довжині кола практично одночасно з подачею сигналу. Наприклад, в електричному колі 300 км завдовжки установиться квазістаціонарне електричне поле і почнеться впорядкований рух електронів через проміжок часу 0,01 с після замикання кола (подачі сигналу).

В основу класичної електронної теорії провідності металів покладено такі положення.

1 . Метал як кристалічне тверде тіло є системою позитивних іонів і вільних електронів. Кристалічну гратку утворюють розташовані правильними і жорсткими рядами іони, які здійснюють теплові коливання навколо положення рівноваги (вузлів кристалічної ґратки). Всередині іонної ґратки хаотично рухаються електрони, створюючи електронний газ.

2.   Електронний газ вважається ідеальним газом, взаємодією між електронами можна знехтувати, враховується тільки взаємодія з іонами ґратки.  Електронний газ перебуває в термодинамічній рівновазі з іонною граткою.

3.   Електронний газ підлягає законам одноатомного ідеального газу. Середня довжина вільного пробігу електрона не залежить від його швидкості хаотичного руху. Середня кінетична енергія теплового руху, що припадає на один електрон,

                                                                            

де т — маса електрона;k – стала Больцмана; Т – абсолютна температура металу.

4. Внаслідок хаотичного руху електронів у разі відсутності електричного поля в металі немає домінуючого напряму переміщення зарядів. В електричному полі всередині металу на тепловий рух електронів накладається впорядкований рух у напрямі, протилежному до напряму напруженості поля.

5. Електрон набуває енергії впорядкованого руху під дією зовнішнього електричного поля тільки на шляху вільного пробігу. Між електроном та іоном відбувається не пружні зіткнення, і електрон передає іонній гратці енергію впорядкованого руху, внаслідок чого виділяється джоулева теплота і метал нагрівається.

Основне завдання електронної теорії провідності металів полягає у теоретичному обґрунтовані основних законів постійного струму, установлених експериментальне, і поясненні властивостей металів.