6. Кінематика руху по колу.

При вивченні обертального руху зручніше характеризувати його не лінійними параметрами (шлях, швидкість, лінійне прискорення), а кутовими: кутом повороту, кутовою швидкістю, кутовим прискоренням. Зручність зумовлена тим, що для різних точок тіла кутові характеристики однакові на відміну від лінійних.

Дамо означення кутовим характеристикам обертального руху.

Кут повороту φ – це кут, на який повертається радіус-вектор будь-якої точки тіла. Вимірюється в радіанах. Довжина дуги (шлях S) зв’язана з кутом повороту (кутовою координатою) через радіус: S=φ٠R.

Кутова швидкість ω - це границя відношення кута повороту ∆φ до проміжку часу ∆t, за який цей поворот здійснений, при умові, що ∆t зменшується до нуля, тобто перша похідна від кута повороту за часом:

.

Кут повороту є величина псевдоскалярна, так як його знак змінюється при переході від правої системи координат до лівої. Тому кутову швидкість прийнято вважати вектором (рис.), направленим вздовж осі обертання у відповідності з правилом правого гвинта: якщо обертати гвинт з правою різьбою разом з тілом, то поступальний рух гвинта вкаже напрямок вектора кутової швидкості. З кінця цього вектора обертання тіла видно проти годинникової стрілки. Вимірюється кутова швидкість в рад/с.

Встановимо зв’язок між кутовою та лінійною швидкостями:

Вектори v, ω i R, як видно із рис., взаємно-перпендикулярні. Тому рівняння для швидкості записують у векторній формі через векторний добуток: .

Кутове прискорення – це границя відношення зміни кутової швидкості до проміжку часу ∆t, за який ця зміна відбулася, при умові, що ∆t → 0, тобто це перша похідна від кутової швидкості за часом: .

Так як вектор ω направлений по осі обертання, то і вектор Δω, а отже і вектор кутового прискорення ε теж направлений вздовж закріпленої осі обертання. У випадку прискореного руху він співпадає з напрямком кутової швидкості і протилежний їй при сповільненому русі. Вимірюється кутове прискорення в рад/с2.

Лекція 2 Динаміка матеріальної точки.

План

1. Перший закон Ньютона.

2. Другий закон Ньютона.

3. Закон збереження імпульсу.

4. Третій закон Ньютона.

5. Вивчення законів поступального руху.

1. ПЕРШИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.

Динаміка вивчає причини руху тіл. Вона поділяється на три розділи:

– класична динаміка вивчає рух тіл великої маси (набагато більшої, ніж маса атомів) з малими швидкостями (набагато меншими, ніж швидкість світла 3•108 м/с). Вона базується на законах Ньютона;

– релятивістська динаміка вивчає рух тіл із швидкостями, близькими до швидкості світла;

– квантова механіка вивчає рух мікрочастинок.

1-й закон Ньютона (закон інерції). Всяке тіло зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху до тих пір, поки дія інших тіл не виведе його із цього стану. Властивість тіл зберігати набутий стан (спокою, чи руху) називається інертністю. Мірою інертності тіл є маса (m), яка в СІ вимірюється в кг.

Є й інша редакція цього закону інерції, а саме: існують системи відліку, в яких тіла, що не зазнають дії інших тіл або сил, знаходяться у стані відносного спокою, або рівномірного прямолінійного руху, в них відсутній обертальний рух. Такі системи називаються інерціальними. Всі системи відліку, які рухаються відносно інерціальної рівномірно і прямолінійно, або знаходяться у стані спокою, теж являються інерціальними. Всі інші системи неінерціальні. Закони Ньютона справедливі для інерціальних систем.

Неінерціальними системами є системи, що рухаються прямолінійно з прискоренням відносно інерціальних систем (кабіна ліфта, ракета) або обертаються (карусель, Земля). Однак, у багатьох випадках Землю можна наближено вважати інерціальною системою.

Сила (F) – це міра дії одного тіла на інше, яка проявляється у виникненні прискорення тіла, або в його деформації (зміні розмірів і форми).

2. ДРУГИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.

Однакова дія приводить до різного прискорення різних тіл. Прискорення тіла обернено пропорційне його масі ─ експериментальний факт. Добуток маси на прискорення характеризує вплив іншого тіла (або поля), що діє на дане тіло, і є величиною сталою. Вплив іншого тіла (або поля), що діє на дане тіло, називається силою. Сила ─ будь-яка причина, змінююча швидкість тіла.

2-й закон Ньютона. Прискорення (a), з яким рухається центр маси тіла, прямо пропорційне векторній сумі сил, що діють на нього (рівнодіючій), обернено пропорційне масі тіла, направлене в бік рівнодіючої і прикладене до центру маси тіла:

(1)

Якщо хоч одна сила змінюється з часом, ця формула дає миттєве значення прискорення, тобто в даний момент часу. З цього закону (F=ma) визначається одиниця сили ньютон: Н=кг•м/с2.

3. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ.

Враховуючи, що прискорення a=dv/dt, формула 2-го закону Ньютона набуде виду:

(2)

Добуток маси тіла на швидкість його руху називається імпульсом або кількістю руху p=mv. Це векторна величина. Його величина і напрям залежить від вибраної системи відліку. Швидкість зміни імпульсу з часом дорівнює діючій силі. Змінити ж імпульс тіла можна не тільки за рахунок зміни швидкості, а і за рахунок зміни його маси. Тому остання формула для 2-го закону Ньютона є більш загальною. Таке формулювання дає можливість вивчати рух тіл змінної маси, наприклад, рух ракети.

Добуток сили на час її дії називають імпульсом сили. Він дорівнює зміні імпульсу тіла: Fdt=dp або FΔt=Δp.

Ізольованою (замкнутою) називається система тіл, на які не діють зовнішні сили, або їхня рівнодіюча дорівнює нулю. Тобто тіла взаємодіють тільки між собою.

При F=0 формула (2) дає dp=0 або ж p=const. Тобто, імпульс ізольованої (замкнутої) системи не змінюється. Вектор імпульсу системи тіл знаходиться як векторна сума імпульсів усіх тіл цієї системи. В цьому полягає суть закону збереження імпульсу: повний імпульс замкненої системи тіл (якщо зовнішні сили не діють або вони врівноважені) залишається незмінним за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою.

Закон збереження імпульсу використовується в реактивному русі (літаки, ракети), ним користуються також деякі організми.

4. ТРЕТІЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.

Якщо два тіла взаємодіють, то відношення їхніх прискорень обернено пропорційні відношенню мас: . Звідси: a1m1=a2m2, причому прискорення мають протилежні напрямки.

3-й закон Ньютона. Два тіла взаємодіють з силами F1 і F2, однаковими за величиною і протилежними за напрямком: F1= ─ F2. Усякій дії відповідає рівна і протилежно напрямлена протидія. Вони не зрівноважують одна іншу, так як прикладені до різних тіл.

Сумарна зміна імпульсу внаслідок такої взаємодії: dp1+dp2=F1dt+F2dt=0, а це означає, що закон збереження імпульсу виконується: p1+p2=const.

Тіла можуть взаємодіяти:

1. При безпосередньому контакті. Сили викликаються деформацією тіл, яка має електромагнітну природу. Сила тертя залежить, крім деформації, від відносних швидкостей. Це ─ сили близькодії.

2. При контакті через третє тіло: нитка, пружина.

3. На відстані – сили далекодії.

У класичній механіці вважається, що взаємодія передається миттєво. Насправді ж між двома взаємодіючими тілами завжди є поле (один з видів матерії): електромагнітне, гравітаційне тощо, а взаємодія передається не миттєво, а з скінченою швидкістю. Якщо два тіла знаходяться далеко одне від одного, і одне з них швидко перемістилось в інше положення, то складається враження, що ІІІ закон Ньютона порушується, оскільки сили взаємодії між ними в один і той самий момент часу вже не є однаковими. Але поле також має імпульс, він розподілений у всьому просторі. Сумарний імпульс всіх об’єктів замкнутої системи: p1+p2+pполя=const. Тому для таких випадків правильніше сформулювати ІІІ закон Ньютона так: сумарний імпульс тіл і полів, які беруть участь у взаємодії, зберігається.

Поле може існувати навіть після припинення існування його джерела.

5. ВИВЧЕННЯ ЗАКОНІВ ПОСТУПАЛЬНОГО РУХУ.

Розглянемо рух системи, яка складається з двох вантажів (див.рис.), маса кожного з яких M, і блока, який будемо вважати невагомим. На один із них покладемо тягарець масою m. На тягарці діють напрямлені вниз сили тяжіння Mg та (M+m)g відповідно, а також однакові сили натягу T, напрямлені вверх. Рівнодійна сил, діючих на лівий тягарець: Fлів=Mg–T<0 (напрямлена вверх), рівнодійна сил, діючих на правий тягарець: Fпр=(M+m)g–T>0 (напрямлена вниз). Результуюча сила, діюча на систему тягарців: Fрез=Fпр–Fлів=(M+m)g–T–(Mg–T)=mg, рухає їх з прискоренням навколо блока за годинниковою стрілкою. Це прискорення легко визначити, скориставшись 2-м законом Ньютона: . З формули випливає, що збільшення маси додаткового тягарця приводить до збільшення прискорення системи.

І. Перевірка закону шляху . Тягарці рухаються рівноприскорено, аж поки правий пройде підставку з отвором і кільце залишиться на ній. Далі тягарці рухаються рівномірно з набутою швидкістю. Вимірюється середній час (з трьох вимірів), за який правий тягарець пройде відстань S від верхньої точки до підставки з отвором, і за формулою обчислюється прискорення тягарців. Дослід повторюється для кількох різних відстаней S, прискорення при цьому повинні виходити приблизно однаковими.

II. Перевірка другого закону Ньютона F=ma. Якщо маса m додаткового вантажу складається із кількох тягарців, то, перекладаючи тягарці з правої сторони на ліву, ми цим самим забезпечимо рух системи незмінної маси M’=2M+m з різним прискоренням. Результуюча сила, діюча на систему тягарців: F1=mg, а згідно ІІ закону Ньютона F1=M’a1, прискорення системи: . Після перекладання одного тягарця справа наліво різниця мас зменшиться до m2, результуюча сила та прискорення також зменшаться: F2=m2g=M’a2, , відношення прискорень: . У лабораторній роботі потрібно, переклавши додатковий тягарець, ще й змінити відстань до підставки, а також виміряти час руху тягарців. Шлях в обох випадках: , , відношення прискорень: . Прирівнявши обидві рівності, отримаємо: . Вірність цього співвідношення необхідно перевірити.

Лекція 3 Сили в природі.

План

1. Сила тяжіння.

2. Вага і невагомість.

3. Фундаментальні сили.

4. Сила тертя.

5. Пружні сили.

6. Пружні властивості біологічної матерії.

1. СИЛА ТЯЖІННЯ.

У системі відліку, пов'язаній з Землею, на будь-яке тіло масою m діє сила тяжіння F=mg. Ця сила біля поверхні Землі надає тілу прискорення, яке є прискоренням вільного падіння g.

Прискорення вільного падіння (позначення g) – прискорення, яке отримує тіло, рухаючись під впливом сили тяжіння Землі. Воно однакове для всіх тіл, залежить від географічної широти місцезнаходження тіла, його висоти підняття над рівнем моря та інших факторів. Прискорення вільного падіння не залежить від маси тіл, але сильно змінюється в залежності від маси самої планети (і навіть від положення на ній, від полюса до екватора). Прискорення вільного падіння не однакове скрізь на Землі. Стандартне значення g = 9,80665 м/с2 приблизно відповідає прискоренню падіння тіла на широті 45° і на висоті рівня моря. Відхилення від стандартної величини обумовлено низкою причин:

• обертанням Землі (внаслідок обертання Землі, за рахунок дії доцентрової сили, прискорення вільного падіння тіла на полюсах вище, ніж на екваторі);

• формою Землі (Земля не ідеальна сфера, а має сплюснуту на полюсах форму);

• висотою над рівнем моря;

• неоднорідністю Землі.

2. ВАГА І НЕВАГОМІСТЬ.

Вага тіла – це сила, з якою тіло внаслідок притягання до Землі діє на опору або натягує підвіс. Сила тяжіння дорівнює вазі тіла тільки в тому випадку, коли прискорення тіла відносно Землі дорівнює нулю (у стані спокою або рівномірного руху): P=mg.

У загальному випадку вага тіла, що рухається з прискоренням відносно Землі (яку можна вважати інерціальною системою відліку), дорівнює P=m(g±a). Якщо тіло перебуває в ліфті, який рухається з прискоренням, напрямленим вверх (розганяється при русі вверх або уповільнюється при русі вниз), то його вага зростає: P=m(g+a), виникає перевантаження. Якщо ж його прискорення напрямлене вниз (розганяється при русі вниз або уповільнюється при русі вверх), то вага тіла зменшується: P=m(g–a). Якщо тіло вільно рухається в полі сили тяжіння (вниз або вверх), то a=g і вага дорівнює нулю, тобто тіло буде невагомим (перебуваючи в ліфті, воно не тисне на підлогу, і, відповідно, відсутня сила реакції на тіло з боку ліфту). Вільно падаюче тіло перебуває у стані невагомості. Невагомість – це стан тіла, при якому тіло рухається тільки під дією сили тяжіння.

Якщо ліфт летить вниз з прискоренням a>g, то тіло в ньому не тільки не тисне на підлогу, але й натягає шнур, якщо воно ним прикріплено до підлоги ліфту. У цьому випадку вага тіла є від’ємною.

Стан невагомості виникає в космічному кораблі на орбіті. Фактично, він вільно падає у полі сили тяжіння Землі разом з усіма тілами, які знаходяться всередині.

У газах та рідинах на тіло діє виштовхувальна сила (сила Архімеда), внаслідок чого його вага зменшується. Падаюче в рідині тіло рухається з прискоренням меншим, ніж g, легше за рідину тіло, замість падати вниз, навпаки, вискакує з рідини вверх з прискоренням (його вага <0). Якщо тіло плаває на поверхні рідини, то воно перебуває

у стані, аналогічному до невагомості (його вага =0).

Сила Архімеда і сила тяжіння, діючі на рибу, зрівноважуються, і риба перебуває у стані, аналогічному до невагомості. Для того, щоб опуститись або піднятись вверх, риба за допомогою плавального міхура змінює силу тяжіння або виштовхувальну силу.

3.ФУНДАМЕНТАЛЬНІ СИЛИ.

Гравітаційні сили – це сили притягання, які діють між усіма тілами. Величина гравітаційної взаємодії для двох точкових тіл визначається законом всесвітнього тяжіння:

Між будь-якими двома тілами діє сила взаємного притягання, прямо пропорційна добутку їхніх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Особливістю цих сил є те, що для тіл з малими масами вони проявляються дуже слабо, а для масивних тіл є дуже великими.

Закон всесвітнього тяжіння: , G=6,67∙10–11 Н∙м2/кг2. Тіла взаємодіють між собою на відстані, причому тільки притягаються, гіпотетично за допомогою гравітаційного поля. Поле можна розглядати як хвилі або особливі частинки (корпускули). Але ні гравітаційні хвилі, ні гравітони експериментально не виявлені. Існує також інша гіпотеза – ЗТВ, згідно якої масивне тіло змінює метрику простору-часу. Тоді поняття маси слід розглядати як здатність тіла викривлювати 4-мірний простір. Вважається, що інформація про зміну положення тіла передається зі швидкістю світла.

На тіло біля поверхні Землі діє сила тяжіння , . На висоті h – . Сила тяжіння залежить від маси планети і її радіусу. Так, на Місяці вона в 6 разів менша, ніж на Землі.

Електричні заряди взаємодіють за допомогою електростатичного поля, носіями якого є особливі частинки – мезони. Рухомий заряд, крім електричного, створює також і магнітне поле. Внаслідок дії полів на заряд діє сила Кулона і сила Ампера. Ці поля є проявами єдиного електромагнітного поля.

У ядро входять протони, відстані між ними дуже малі, але ядро не розлітається під дією сили Кулона. Цю силу скомпенсовують ядерні сили – сили притягання, причому вони діють не тільки між протонами, але й між нейтронами. Ці сили короткодіючі (діють на дуже малих відстанях, а при збільшенні відстані різко зменшуються). Сильна взаємодія утримує разом кварки, з яких складаються протони та нейтрони, а також усі інші адрони. Ці ж самі сили утримують протони та нейтрони у складі атомних ядер. Переносником сильних взаємодій є глюон.

Сили слабкої взаємодії також короткодіючі і діють між всіма елементарними частинками. Завдяки слабкій взаємодії відбувається радіоактивний β-розпад ядер. Ці сили відіграють важливу роль у реакціях ядерного синтезу, що відбуваються у надрах Сонця. Вони також відповідальні за взаємодію нейтрино з речовиною. Переносником слабких взаємодій є W- та Z-бозони

4. СИЛА ТЕРТЯ.

Сили, що виникають при рухові одного тіла по поверхні другого, називаються силами зовнішнього тертя, а сили, які виникають при відносному русі шарів речовини, називаються силами внутрішнього тертя. Будемо спочатку розглядати зовнішнє сухе (без змащування рідиною контактуючих поверхонь) тертя, яке буває трьох видів: тертя спокою; тертя ковзання; тертя кочення.

Сила тертя спокою виникає між контактуючими поверхнями тіл без їх відносного руху. Вона виникає за рахунок сил міжмолекулярної взаємодії і за рахунок зачеплення мікронерівностей (рис.3.2) та їх деформації. Мікронерівності зазнають деформації згинання, виникають пружні сили, які і зрівноважують зовнішню, паралельну до поверхонь силу Fτ. У відповідності з першим законом Ньютона тіло не рухається, коли рівнодіюча сил дорівнює нулю. Тому в загальному випадку сила тертя спокою дорівнює зовнішній силі, яка направлена паралельно контактуючим поверхням і протилежна їй за напрямком, Fсп= - Fτ.

Але сила тертя спокою не може зростати до нескінченності при зростанні сили Fτ. В деякий момент тіло прийде в рух. В момент перед початком руху сила тертя спокою досягає свого максимального значення Fсп макс=μспN, яке дорівнює добутку коефіцієнта тертя спокою μсп на силу нормального тиску N. Вести мову про силу тертя спокою втрачає сенс. Виникає сила тертя ковзання.

Сила тертя ковзання має таку ж природу, як і тертя спокою. Але при відносному русі нерівності не встигають глибоко зачепитись між собою, а як би пролітають одна над іншою. Тому сила тертя ковзання менша від сили тертя спокою. Сила терта ковзання завжди дорівнює добуткові коефіцієнта тертя ковзання μковз і сили нормального тиску N: Fковз=μковзN.

Сила тертя кочення має іншу природу, ніж дві попередні. Коли колесо не рухається, картина деформації поверхонь симетрична відносно вертикального діаметра (рис.3.3,а). Рівнодіюча сила реакції N проходить через центр колеса. Тому її момент дорівнює нулю. При рухові колеса попереду виникає деформаційний горб, а за колесом поверхня не встигає відновити свою форму (рис.3.3,б) за рахунок так званого явища пружної післядії (для відтворення форми після деформації необхідний деякий час). Рівнодіюча сила реакції N проходить попереду центра колеса. Виникає момент цієї сили, який і гальмує рух колеса. Горизонтальна складова сили реакції і є сила тертя кочення, яка обернено пропорційна радіусу колеса: .

Сила тертя виникає також при русі молекул біологічної тканини одна відносно одної, що призводить до нагрівання тканин. Це явище використовується при НВЧ-терапії в медицині, коли заряджені макромолекули під дією змінного електричного поля з великою частотою коливаються в середовищі, а також при електрофорезі (електрофорез – рух частинок у рідині під дією електричного поля), коли органічні іони рухаються по міжклітинній рідині під дією постійного електричного поля. В останньому випадку сила тертя пропорційна до швидкості руху іонів: F=fv. При певній швидкості сила тертя зрівноважується з силою Кулона F=qE (E – напруженість електричного поля). Метод електрофорезу використовують для визначення молекулярної маси білків. Білок денатурують за допомогою детергента (додецилсульфату натрію), причому заряджені молекули детергента охоплюють молекулу білка у вигляді шуби (рис.3.4).

Чим більша молекулярна маса білка, тим більша довжина молекули, тим більше молекул детергента до нього приєднуються, тим більший заряд несе на собі молекула білка. Швидкість вимірюють експериментально і вираховують електрофоретичну рухливість:

(1)

Експериментально встановлена залежність між рухливістю і молекулярною масою макромолекули: u=b–a•lgM, де a і b – постійні, залежать від властивостей гелю.

Для визначення молекулярної маси досліджуваного білка треба побудувати калібровочну пряму по маркерних білках (із відомими молекулярними масами), як показано на рис.3.5 (для цього потрібно виміряти швидкість руху цих молекул в електричному полі і вирахувати рухливість), виміряти швидкість руху та вирахувати рухливість досліджуваного білка за формулою (1) і з графіка визначити молекулярну масу як показано на рис.3.5.

При русі рідини (газу) по трубі (капілярі) виникає сила тертя із стінками труби, тому швидкість рідини біля стінок менша, ніж по центру. Якщо рідину поділити на шари, то між ними також виникає сила тертя. Її причина в тому, що внаслідок хаотичного руху відбувається зіткнення молекул та обмін молекулами між сусідніми швидшими і повільнішими шарами, тобто відбувається перенос імпульсу, і в результаті шари намагаються вирівняти свої швидкості. Силу тертя між ними називають силою в’язкості і вона визначається за законом Ньютона: , S - площа контакту між шарами, dv/dx - градієнт швидкості, η - коефіцієнт в'язкості, [η]=Па•с. В'язкість рідин – властивість, завдяки якій вирівнюються швидкості руху різних шарів рідини.

По швидкості витікання рідини з капіляра можна визначити коефіцієнт в’язкості. За допомогою віскозиметра вимірюють в’язкість біологічних рідин, що дає змогу визначати форму макромолекул та інші властивості.