6. . Лінійні оператори дійсних векторних просторів,їх матриці ранг і дефект.

Кажуть, що в лінійному просторі V задано перетворення А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність деякий векторА(х) (пишуть Ах). Вектор Ах називають образом вектора х.

Перетворення А називається лінійним, якщо для довільних двох векторів х та у із V і довільного дійсного числа α виконуються рівності:

1. А(х+у)=Ах+Ау, 2)А(αх)=αАх.

В кожному лінійному перетворенню А в заданому базисі е відповідає цілком певна матриця

стовпчиками якої є коефіцієнти розкладу векторів Ае_і (і=1,2,…,п) за базисом е і рядками якої є коефіцієнти розкладу вектора Ах за координатами вектора х.

Ясно, що в п-вимірному векторному просторі V кожна квадратна матриця п-го порядку є матрицею деякого лінійного перетворення(матриця А).

Сукупність всеможливих векторів вигляду Ах, де , називаєтьсяобластю значень або образом лінійного перетворення А. Позначається ImА.

Сукупність всеможливих векторів , для якихАх=0, називається ядром лінійного перетворення А. Позначається KerА.

І образ, і ядро лінійного перетворення А є підпростором в V.

а) Якщо тох=Ах₁, у=Ау₁, де тох+у=Ах₁+Ау₁=А(х₁+у₁), де і, значить,.

αх=αАх₁=А(αх₁), де і, значить,.

Отже, ImА – підпростір простору V.

б) Якщо , тобто якщоАх=0 і Ау=0, то і

А(х+у)= Ах+Ау=0+0=0 і А(αх)=αАх=α·0=0,

тобто іОтже,KerА – підпростір простору V.

Розмірність образу перетворення А dim(ImА) співпадає з рангом матриці А цього перетворення і називається рангом перетворення А. Дійсно, підпростір ImА породжується векторами Ае₁, Ае₂,..., Ае_п, де е={e₁, e₂,…,e_n} – довільний базис простору V і, значить, розмірність ImА дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних стовпчиків матриці А.

Розмірність ядра dim(KerА) називається дефектом лінійного перетворення А.

Важливим є твердження, що сума рангу і дефекту лінійного перетворення А дорівнює розмірності п простору V. Тобто,

dim(ImА)+dim(KerА)=n.

7) Власні вектори та власні числа лінійних операторів.

Розглянемо одновимірні інваріантні підпростори. Якщо - такий підпростір і. Якщо у – будь-який інший вектор із, то.

Вектор називаєтьсявласним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число , що. Числоназиваєтьсявласним значенням перетворення А, яке відповідає власному вектору х.

Очевидно, що якщо - одновимірний інваріантний підпростір просторуV, то кожний вектор із є власним вектором перетворення А, причому з одним і тим же власним значенням. Навпаки, якщо х – власний вектор перетворення А, то породжений ним підпростірбуде інваріантним відносно А.

Теорема1. Власні вектори лінійного перетворення А, що відповідають попарно різним власним векторам, лінійно незалежні.

Доведення.

Доведення проведемо індукцією за кількістю власних векторів. Для одного вектора х це ясно, оскільки, за означенням власного вектора, він відмінний від нуля і, значить, із рівності випливає, що.

Нехай твердження теореми справедливе для k-1 векторів . Припустимо, щоk власних векторів , які відповідають попарно різним власним значенням, є лінійно залежними:

де не всі рівні нулю. Застосувавши до обох частин рівності перетворення А, отримаємо:

.

З другого боку, помноживши передостанню рівність на , матимемо

.

Віднявши дві останні рівності, отримаємо

звідки із припущення лінійної незалежності випливає.

Тоді із рівності (*) матимемо Отже припущення невірне і теорему доведено!

Теорема 2. Характеристичний многочлен лінійного перетворення не залежить від вибору базису.

Доведення.

Характеристичний многочлен перетворення А в базисі е нехай буде Нехай новий базисутворюється із старого за допомогою матриці С. Тоді характеристичний многочлен перетворення А в базисіматиме вигляд:

.Теорему доведено!

10