2.4. Упрощенное описание э.Д.С., напряжений и токов гармоническими функциями с постоянными параметрами

Основным преимуществом такого представления электромагнитного поля является существенное упрощение расчетов электрических цепей, а также возможность графического решения ряда задач. Например, анализ процессов в электрической цепи состоящей из последовательно или параллельно включенных резистора (R), индуктивности (L) и емкости (C), которые описываются в общем случае интегрально-дифференциальными уравнениями, может быть проведен путем достаточно простых построений на комплексной плоскости.

В основе этого широко используемого упрощенного метода анализа электрических цепей положено представление гармонического колебания (э.д.с., напряжения, токов) в следующем виде:

(2.22)

или , (2.23)

где A и  ‑ амплитуда и начальная фаза гармонического колебания;

 =2f – угловая частота колебаний; [радиан/c],

f ‑ частота колебаний, [Гц.],

Re{}-символ, означающий, что берется действительная часть,

Im{}-символ, означающий ,что берется комплексная часть

Обычно символы ReилиImопускают и полагают, что

, (2.24)

где – комплексная амплитуда.

В выражении (2.24.) комплексная амплитуда Aпринимается постоянной величиной, не зависящей от времени.

Представление э.д.с., напряжений и токов в виде радиус- векторов на комплексной плотности является условным, но весьма удобным приемом.

При графической интерпретации колебания предполагают, что вектор Aвращается на комплексной плоскости против часовой стрелки с неизменной угловой скоростью. При сложении или вычитании нескольких гармонических колебаний одной частоты, представленных в виде, множительопускают и производят все операции над комплексными амплитудами, используя аппарат векторной алгебры. После определения амплитуды и фазы результирующего колебания мгновенное значениеa(t) может быть определено из выражений (2.22) или (2.23).

При таком представлении колебаний напряжения или тока, алгебраическому сложению или вычитанию мгновенных или действующих значений синусоидальных величин соответствуют геометрическое сложение или вычитание радиус-векторов.

Необходимо еще раз напомнить, что использование такого описания процессов в цепях переменного тока допустимо только при условии, что Aив выражениях (2.22)…(2.24) являются постоянными величинами, и что представление переменного напряжения или тока гармоническими функциями (2.22), (2.23) является идеализацией, не учитывающей того, что реальная форма напряжения, вырабатываемого генераторами близка к трапеции.

2.4.1. Представление элементов электрических цепей в комплексном виде

Для упрощения расчетов электрических цепей целесообразно также перейти к комплексному представлению элементов электрических цепей. При этом комплексные величины элементов цепи принято выделять подчеркиванием снизу. При этом выражение для полного сопротивления последовательно включенных элементов электрической цепи R-L-Cзаписывается в следующем виде:

Z=|Z|exp[jφ]=R+jX, (2.25)

где - – модуль полного комплексного сопротивления (Z=R+jХ)цепи, состоящей из последовательно включенных элементов R-L-C,φ = arctg X/R-cдвиг фаз между напряжением подводимым к цепи и током, протекающим в ней,

j=√-1 – обозначение корня квадратного из минус единицы буквой (j) принято в электротехнике, так как буква i занята для обозначения тока.

Необходимо помнить следующую особенность такого представления: реактивных сопротивлений: X_l и Xc равны не вещественной или мнимой части комплексного числа, а модулю комплексного числа. При этом Х=X_l–Xc – полное реактивное сопротивление цепи, равное алгебраической разности индуктивного и емкостного сопротивлений,

Х =X_l – Xc – полное реактивное сопротивление цепи, равное алгебраической разности индуктивного и емкостного сопротивлений,

R – активное сопротивление цепи,

X=X_l+Xc – полное комплексное реактивное сопротивление цепи,

X_l=jL=j |X_l| – комплексное представление сопротивления индуктивности, Xc=1/jC=-j |Xc| –комплексное представление сопротивления емкости,

Х_l=L=2πfL – индуктивное сопротивление цепи для переменного напряжения,

Xc=1/C=1/2πfC – емкостное сопротивление цепи для переменного напряжения,