2.3.1.Аналитическое представление э.Д.С., напряжений и токов

Таким образом, при достаточно общих предположениях, хорошо выполняющихся на практике, электродвижущую силу (э.д.с.), переменное напряжение и ток, можно представить в виде произведения случайной амплитуды Um(t) и гармонической функции случайной фазы Ψ (t).

Как известно, такое представление электрических величин требует наложения определенных ограничений на сомножители, которые в общем случае нельзя выбирать произвольно. Для устранения неоднозначности наиболее целесообразно использовать представление переменного напряжения в электрической цепи в комплексном аналитическом виде:

; (2.4)

где ; (2.5)

, (2.6)

u(t) ‑ реальное напряжение в электрической цепи;

-дополняющая компонента, связанная с u(t) преобразованием Гильберта:

(2.7)

(2.8)

При этом выражение для реального напряжения может быть представлено в виде:

(2.9)

Такое представление переменного (в общем случае случайного) напряжения u(t) имеет следующие преимущества:

а) амплитуда и фаза напряжения связаны между собой единственным образом, что исключает неоднозначность;

б) комплексный спектр напряжения U()отличен от нуля только при положительных, причем спектры напряженийu(t)исовпадают по форме и отличаются только масштабным множителем, т.е. спектр комплексного напряжения в этом случае имеет ту же структуру, что и спектр исходного реального напряженияu(t);

в) представление переменного напряжения в комплексном виде (2.9) может быть применимо как к быстро, так и к медленно изменяющимся напряжениям в электрических и электронных цепях,

В тех случаях, когда зависимость напряжения от времени u(t)характеризуется быстрым изменением со средней круговой частотойср=2fср, можно считать, что за время, равное по крайней мере нескольким периодам, амплитуда и фаза остаются практически неизменными.

Выражение для комплексного аналитического представления переменного флуктуирующего напряжения может быть записано в виде:

(2.10)

или (2.11)

где - комплексная огибающая узкополосного случайного процесса:

(2.12)

- средняя круговая частота, определяемая выражением:

(2.13)

где -дисперсия флуктуаций напряжения, квадрат которой определяется из выражения:

(2.14)

– энергетический спектр напряжения, определяющийся выра­жением:

(2.15)

2.3.2. Учет флуктуаций амплитуды и фазы при выполнении операций диференцирования и интегрирования

Флуктуации амплитуды и фазы напряжения и тока в электрической цепи необ­ходимо учитывать при выполнении операций дифференцирования и ин­тегрирования. Пусть, например,

(2.16)

В случае, когда или, т.е. амплитуда и фаза постоянны, первая производная имеет вид:

(2.17)

Собственно n-ая производная равна

(2.18)

Из рассмотрения выражений (2.17) и (2.18) видно, что операция дифференцирования эквивалентна умножению исходного выражения ( 2.16) на «j».

Аналогично оказывается, что операция интегрирования эквивалентна делению выражения (2.16.) на «j». Соотношения (2.17), (2.18) положены в основе широко применяемого символического метода расчета электрических цепей

При анализе или синтезе реальных электрических и электронных цепей с учетом флуктуаций амплитуды и фазы напряжения производную по времени от выражения (2.I6.) необходимо представлять в следующем виде:

(2.19)

Соответственно n-ая производная по аналогии с (2.19) принимает вид:

(2.20)

Как следует из выражений (2.19) и(2.20), оператор « j« , используемый при символическом методе, следует везде заменить на оператор:

. (2.21.)