diplomna_chornookav

за умовою, тому, за ознакою Абеля, ряд

an

збіжний рівномірно при x 0 ,

n

n 1 x

що й потрібно було довести.

1

2) Довести, що функція f (x)

n n x 2

а)

визначена

і неперервна

у всіх

точках,

за

винятком цілих

чисел:

х= 0, 1, 2,... ;

б) періодична з періодом 1.

Доведення. а) Візьмемо будь-який відрізок a;b ,

що не містить жодного

a;b

1

цілого числа. Покажемо, що на

наш ряд

f x

рівномірно

n x

2

1

1

1

1

1

збіжний.

f x

.

Розглянемо

n x

2

n x

2

x

2

k x

2

n 0

k 1 k

k 0

1

1

1

перший

ряд

.

Якщо

a 0,

то k x k a k ,

,

x

2

k x

2

2

k 1 k

k

x a;b , k N і за ознакою Вейєрштрасса

1

рівномірно збіжний

k x

2

k 1

на a;b .

k x k x .

x l ,

Нехай

a 0 , тоді

Якщо

то

k x k l , причому

k k0 k l N . Для таких

k, x a;b

1

1

,

і знову, за

k x 2

k l 2

1

рівномірно збіжний на a;b . Отже, ряд

ознакою Вейєрштрасса,

ряд

2

1

k 1 k x

a;b

a;b , що не містить

рівномірно збіжний на

для будь-якого

2

k 1

k x

цілого числа.

1

Розглянемо тепер

другий

ряд

і

знову візьмемо

будь-який

2

k 0 k x

Тоді

k x k b ,

причому

k x 0 і k b 0 ,

тому

k x 2

k b 2

і

1

1

1

,

k N ,

x a;b . Таким

чином, за

ознакою

k x 2

k b 2

k 2

1

a;b ,

Вейєрштрасса,

ряд

рівномірно збіжний на

якщо a 0 . Якщо ж

2

k 0

k x

то k x k b ,

k b .

Оскільки

k x 0 і

k b 0 ,

то

маємо

k x 2 k b 2 , k b і

1

1

, x a;b .

Тому,

за

ознакою

k x 2

k b 2

1

рівномірно збіжний на a;b ,

Вейєрштрасса, ряд

a 0 . Значить цей

2

k 0

k x

ряд рівномірно збіжний на довільному відрізку a;b ,

що не містить цілого

1

числа, тому і сума обох цих рядів, яка дасть нам ряд

, рівномірно

2

n

n x

значить вона

неперервна

в

довільній

точці x k , де

k Z .

1 2

1

1

f x 1

f x ,

x R і

x k , де

2

2

n n

x 1

n n 1 x

k k x

n

1 e k 1 x nxe nx ,

Доведення.

Маємо:

Sn x kxe kx

x k

k 1

S x lim Sn x 0 ,

x 0;1 . Таким чином,

S x

– неперервна на 0;1

функція.

n

Проте

x S x

1

(в чому можна переконатись з допомогою похідної),

sup

S

n

e

x 0;1

тому ряд збігається нерівномірно.

x n 1 n

4) Знайти область існування функції

f x

і дослідити її на

x

2

n

2

n 1

неперервність.

Розв’язок.

Функції

f

x

x n 1 n

неперервні

при

x ; .

n

x2 n2

n2

x

1 n

n2

Оскільки f

n

x

, то бачимо, що v

x , де v

x

2

2

2

2

n

2

n

n

n

x

n

n

x

–монотонна

і

рівномірно

обмежена

на

;

послідовність,

а

ряд

x

1 n

L; L , тому ряд

рівномірно

збіжний на кожному інтервалі

2

n

n 1 n

рівномірно збіжний на L; L . Таким чином,

fn x , за ознакою Абеля,

сума

n 1

ряду є неперервною функцією на

L; L . Оскільки

L – довільне число, то

можна стверджувати, що сума ряду неперервна на всій числовій осі.

5) Довести, що

функція

f x

sin nx

неперервна

і має

неперервну

n 1

n3

похідну в області x .

Доведення. Функції sin nx , cosnx неперервні в області x . Крім

sin nx

cosnx

того,

ряди

f x

,

f

x

,

за ознакою Вейєрштрасса, тут

n3

n2

n 1

n 1

рівномірно

збіжні.

Таким

чином,

по-перше,

даний

ряд

можна почленно

диференціювати, по-друге, функції

f x і

f x неперервні на всій осі.

III.

Задачі для розв’язування

1

n

1) Знайти область існування функції

f x x

і дослідити її на

n 1

n

2) Нехай ряд a n збігається. Довести, що ряд

a ne nx збігається

n 1

n 1

рівномірно на області x 0.

2

1

2)

Показати,

що послідовність

fn x x

sin n x

n 1,2,...

n

2

збігається

рівномірно

на

інтервалі

; ,

але

lim fn

x lim fn x

n

n

V. Задачі підвищеної складності

1)

Нехай

rk k 1,2,... – раціональні числа сегмента [0;1]. Довести,

що

x r

функція f x

k

0 x 1 володіє наступними властивостями:

k

k 1

3

а) неперервна; б) диференційована в ірраціональних точках і не

диференційована в раціональних.

1

1

2)

Нехай

an так,

що ряд

збігається. Довести, що ряд

a

x a

n 1

n 1

n

n

1

n

x і дослідити її на

f x

1) Знайти область існування функції

n 1

n x

диференційованість.

Розв’язок. Функціональна послідовність

x

при

x n монотонно по n

n x

прямує до нуля. Тому, за ознакою Лейбніца,

ряд збіжний,

тобто функція f x

x

n

існує при всіх x n . Так як функції

неперервні при x n

n x 2

n x

x

n 1

n

і ряд

, за ознакою Діріхле, рівномірно збіжний на будь-якому відрізку,

n x

2

n 1

2) Показати, що послідовність

fn x

1

arctgxn

n 1,2,... збігається

n

рівномірно на інтервалі ; , але lim fn x

lim fn x .

n

n

Розв’язок.

f x lim f

x lim

arctgx n

0 .

Таким

чином,

n

n

n

n

x f x

arctgx n

arctgx n

,

,

M

n

sup

f

n

sup

0

sup

2

0 M

n

x R

x R

n

x R

n

n 2n

2n