Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный педагогический университет им. В. Гнатюка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diplomna_chornookav

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

													1
	1	1							1							1						1
	1	1				...			1					2n 1		1		.	p N, n N		lim	1	0 ,	звідси
						...								2n 1				.	p N, n N		lim		0 ,	звідси
	2n 1		2n 2					2n p					1			2n					n	2n
													1
													1		2
0, n N: n n													1	. Отже, маємо, що
0, n N: n n														. Отже, маємо, що
		0										0	2n
													2n
0, n0 N: n n0 , p N																	sin(n 1)x			sin(n 2)x	...	sin(n p)x
																	sin(n 1)x			sin(n 2)x		sin(n p)x
																		2(n 1)		2(n 2)
																		2(n 1)		2(n 2)			2(n p)		,
x R ,		а це і означає збіжність даного ряду x R за критерієм Коші.
Користуючись критерієм Коші, довести розбіжність наступного ряду
	2) 1			1		1	...		1		...
	2) 1						...				...
		2			3					n

Розв’язок. Заперечимо висновок критерію Коші:

																									n p
							0					n0 N					n n0				p N				ak		.		(1)
																								k n 1
Оцінимо наступну суму поки-що n N, p N																							,
			1					1					1				1				1				p			p n ,
	1		1					1					1				1				1				p
								...												...						.	Нехай		тоді
		n 1		n 2				...			n p			n p				n p		...		n p			n p	.	Нехай		тоді
																			p разів
		p			n	1		. Поклавши								1	, матимемо,
	n p							. Поклавши								2	, матимемо,
	n p				2n	2										2
n N i p n												1					1
									1			1					1
															...						, а це значить, що							даний	ряд
										n 1			n 2		...				n p		, а це значить, що							даний	ряд

розбіжний (див. (1)).

Таким чином, аналіз розв’язування цих задач приводить до наступних висновків. Якщо потрібно довести збіжність ряду, використовуючи критерій Коші, то потрібно спочатку взяти модуль частини ряду від n-го до n+p-го члена, де n i p поки що довільні, і спробувати одержати оцінку зверху цього модуля, яка не залежно від р, прямує до нуля при n . Якщо ж потрібно довести розбіжність ряду за допомогою того ж критерію, то слід цей модуль

оцінити знизу так, щоб цю оцінку можна було зробити за рахунок вибору р,

більшою якогось додатного , для довільного n.

III. Задачі для розв’язування

Користуючись критерієм Коші, довести збіжність наступних рядів:

1)a0 10a1 ... 10ann ...( an 10) ;

2)cos x cos 2x cos 2x cos3x ... cos nx cos(n 1)x ... ; 1 2 n

Користуючись критерієм Коші, довести розбіжність наступного ряду:

3)	1	1	...	1	....


	1 2	2 3		n(n 1)

IV. Задачі для домашнього розв’язування.

Користуючись критерієм Коші, довести збіжність, чи розбіжність наступних

рядів:

1)		cos x		cos x2	...	cos xn	... ;
1)	12				...	n2	... ;
	12		22			n2
	Примітка. Використати нерівність							1	1	1	1	(n 2,3,...)
	Примітка. Використати нерівність							n2	n(n 1)			(n 2,3,...)
								n2	n(n 1)	n 1 n

2) 1 12 13 14 15 16 ....

§5. Практичне заняття №4

Ознаки Даламбера і Коші збіжності знакододатних рядів

I.Контрольні запитання

1.Як одержати ознаку Даламбера із ознаки Куммера?

2.Сформулювати і обґрунтувати ознаку Даламбера з допомогою границі,

нерівності і верхньої, нижньої границь.

3.Аналогічні запитання і для ознаки Коші.

4.Розказати про співвідношення між ознаками Даламбера і Коші.

II. Приклади розв’язування задач

Користуючись ознаками Даламбера або Коші, дослідити на збіжність ряди

1)–3).

1000

10002

10003

...

1000n

...

Розв’язок.

Використаємо

ознаку

lim

1000(n 1) n!

lim

1000

0 1, отже, ряд збіжний.

(n 1)!1000n

n n 1

2)				2 3 2						2 5 2 ...					2 2n 1 2

	n 1
			Розв’язок. Використаємо ознаку Даламбера. Маємо,
													...				2n 1						2n 3
		2 3			2		2 5				2		...		2		2n 1		2		2		2n 3	2	lim
lim																...				2n 1					lim
n						2 3			2			2 5		2		...		2		2n 1		2			n
						1
				22n 3				2			1 1, отже, ряд збіжний.
lim			2	22n 3				2			1 1, отже, ряд збіжний.
n

Даламбера:

2 2n 3 2

		n 1
	n		n
3)
				1	n
n 1
	n

				n

Розв’язок. Тут ознаку

Даламбера використовувати

незручно, тому

n 1

n n2

застосуємо ознаку Коші, lim

n n

lim

n n

lim

0 1

n n

отже, ряд збіжний.

Відповідаючи на четверте контрольне запитання, ми посилаємось на таке

an 1

твердження: якщо

an – ряд такий,

що

і якщо

lim

A, то існує

n 1

lim n a

яка

теж

дорівнює А. Використаємо

цю

теорему

для обчислення

lim

Для

цього покладемо an

Ясно,

що

an 0, n N . Тоді

	a	n 1		n 1 n 1 n!	n 1		n
обчислимо lim			lim		lim
				n 1 ! nn
n	an		n		n	n

	1 n
lim 1		e . Значить із

n	n

попереднього твердження маємо, що

lim n	nn	e .	(1)
	n!
n

Остання границя часто використовується в теорії рядів (і не тільки).

III. Задачі для розв’язування

Користуючись ознаками порівняння, Даламбера, або Коші, дослідити на збіжність ряди:

1)		(1!)2				(2!)2					...				(n!)2		...;
1)											...						...;
	2!						4!								(2n!)
2)	а)		2 1!					22 2!					23 3!			...		2n n!	...;
2)	а)			1				22								...		nn	...;
				1				22							33			nn
		б)		3 1!					32 2!					33 3!		...		3n n!	...;
		б)								22						...		nn	...;
				1						22					33			nn
3)		4			4 7					4 7 10					...;
3)	2				2 6					2 6 10					...;
	2				2 6					2 6 10
				n 1						n(n 1)
				n 1
4)												.
4)												.
		n 2 n 1

IV. Задачі для домашнього розв’язування

Користуючись ознаками порівняння, Даламбера, або Коші, дослідити на збіжність ряди:

1)	1!		2!	3!	...	n!	... ;
		1	2	3		n
			2	3		n

2)			(1!)2		(2!)2		(3!)2			...		(n!)	2	...;
2)				24			29			...		2		...;
	2			24			29					2n
3)	1000			1000 1001						1000 1001 1002						...;
3)											1 3 5					...;
	1					1 3					1 3 5
					n	n 1											n	5
4)					n				;					5)			n			.
4)							1		;					5)			n		n	.
		n 1 (2n2 n 1)n												n 1	2				3
		n 1 (2n2 n 1)n						2						n 1	2				3

V. Задачі підвищеної складності

Скільки членів ряду

((2n)!!)

де (2n)!! 2 4 ... 2n ,

достатньо взяти,

n 1

(4)!!

щоб

відповідна часткова сума Sn , відрізнялась від суми ряду S менше, ніж на

10 6 ?

____

an 1

Довести, що, якщо lim

q 1 (an 0) ,

то ряд an збіжний.

n a

n 1

an 1

Довести,

що,

якщо для ряду an

(an 0)

існує

lim

q, ( A)

то існує

n 1

n a

q. (B) Обернене твердження невірно: якщо існує границя

також lim n a

( 1)

(B) , то границя ( A) може і не існувати. Розглянути приклад

2n 1

n 1

____

Довести,

що,

якщо lim n an

q (an

0) , то а) при q 1 ряд an

збіжний;

n 1

б) при q 1 ряд цей ряд розбіжний(узагальнена ознака Коші).

Дослідити збіжність рядів:

2 ( 1)n

a cos2

;

n 1

( 1)

1 cos n

2n ln n

;

n 1

cos n

§6. Практичне заняття №5

Ознака Раабе та Гауса збіжності знакододатних рядів

I.Контрольні запитання

1.Сформулювати ознаку Куммера і одержати із неї ознаку Раабе в різних формах.

2.Порівняти ознаки Раабе і Даламбера.

3.Сформулювати і одержати ознаку Гауса показавши, що вона містять в собі ознаки Даламбера, Раабе і Бертрана.

II. Приклади розв’язування задач

Сформулюємо спочатку потрібну нам далі наступну ознаку.

Ознака Гауса. Якщо для ряду an , an 0 має місце співвідношення,

n 1

a	n		O 1	, де 0, то:

an 1		n	1
			n

1)при 1 ряд збіжний;

2)1 – розбіжний;

3)1, 1– збіжний;

4)1, 1 – розбіжний.

Користуючись ознаками Раабе і Гауса, дослідити збіжність ряду

1 p

1 3 p

1 3 5 p

...

2 4

4 6

1 3 p

1 3 5

1 3 5 2n 1 p

Розв’язок.

...

2 4 6 2n

2 4

n 1

Скористаємося ознакою Раабе:

1 3 5 2n 1 p

1 3 5 2n 1

lim n

1 lim n

2 4

6 2n

6 2n 2

an 1

1 p

2n 1

lim n

2n 1

p lim

тут

ми

скористалися

відомою

цікавою

границею

n 2n 1

lim 1 x

1 .

x 0

Таким чином:

1)якщо 2p 1 p 2 , то ряд збіжний;

2)якщо 2p 1 p 2, то ряд розбіжний;

якщо

1 p 2 , то ознака Раабе відповіді не дає.

Тому дослідимо даний ряд при

p 2 . Для цього застосуємо ознаку Гауса,

яка

2n 2

сильніша за Раабе. Складемо співвідношення:

an 1

2n 1

(деяка допоміжна інформація) і властивості

Використавши формулу 1

обмежених послідовностей, матимемо:

O 1

2n 1

O 1

p 2

за

ознакою

Гауса

при

ряд

2n 1 n2


O 1

n2

розбіжний (бо 1).

Отже, при p 2 ряд збіжний, а при p 2 – розбіжний.

III. Задачі для розв’язування

Користуючись ознаками Раабе і Гауса, дослідити збіжність наступних рядів:

1)a a(a d ) b b(b d )

n!en

2)nn p .n 1

		a(a d )(a 2d )	...(a 0, b 0, d>0) .
		b(b d )(b 2d )

IV. Задачі для домашнього розв’язування

Користуючись ознаками Раабе і Гауса, дослідити збіжність наступних рядів:


				n!
1)				n!				;


		(2	1)(2		2)...(2
	n 1	(2	1)(2		2)...(2		n)
			n!n p
2)						(q 0) .
2)						(q 0) .
	n 1	q(q	1)...(q n)

§7. Практичне заняття №6

Застосування ознаки Гауса

I.Контрольні запитання

1.Дати алгоритм використання ознаки Гауса для дослідження на збіжність знакододатних рядів.

2.Чи для будь-яких знакододатних рядів ефективна ознака Гауса?

3.Порівняйте ознаку Гауса і Бертрана.

II. Приклади розв’язування задач

Користуючись ознакою Гауса, дослідити збіжність ряду

	1 3 5 ...(2n 1)	p	1


1)
	2 4 6 ...(2n)		n	q
n 1

Розв’язок. Для того, щоб застосувати ознаку Гауса для дослідження збіжності даного ряду, складемо спочатку співвідношення:

1 3 5 2n 1 p

1 3 5 2n 1

2n 2 p

2 4 6 2n

2 4 6 2n 2

n 1

n 1 q

2n 1

n 1 qn

	1 p		1 q
1		1		. Використовуючи формулу	1	(деяка

	2n 1		n

допоміжна інформація) і властивості нескінченно малих та обмежених послідовностей, матимемо наступне:

O 1

2n 1

O 1

2n 1

2n 1 2

n n2

O 1

, тому що:

2n 1

O 1

;

2n2 n

2n 1 n

O 1

2n 1 n

2n 1

2n 2n 1

Отже,

за

ознакою Гауса,

при

q 1

даний ряд збіжний, а при

2p q 1– розбіжний.

III. Задачі для розв’язування

Користуючись ознакою Гауса, дослідити збіжність наступних рядів:

			n!n p
1)				(q 0) ;
1)				(q 0) ;
	n 1	q(q 1)...(q n)

		p( p 1)...( p n 1)
		p( p 1)...( p n 1)
2)					( p 0, q 0) .
2)			q(q 1)...(q n 1)		( p 0, q 0) .
	n 1		q(q 1)...(q n 1)

IV. Задачі для домашнього розв’язування

		p( p 1)...( p n 1)		1
1)		p( p 1)...( p n 1)		1	;
1)				q	;
	n 1		n!	n

		p( p 1)...( p n 1)
		p( p 1)...( p n 1)
2)					( p 0, q 0) .
2)			q(q 1)...(q n 1)		( p 0, q 0) .
	n 1		q(q 1)...(q n 1)

V. Задачі підвищеної складності

1) Довести, що, якщо для знакододатнього ряду an (an 0) при n

n 1

	a	n		p		1
виконується умова			=1+		+O		,	то	an	O

	an+1			n	n

мале; причому, p 0 , то an 0 при n ,

монотонно спадає, прямує до нуля, коли n .

Встановивши порядок спадання загального члена

ряду an , якщо:

n 1

	1	, де 0 довільно
n	p	, де 0 довільно
n
?т.		е.? an при n n0 ,

an , дослідити збіжність

sin ;

n p

a n p 1

... a

, де nq b nq 1 ... b

0 ;

nq b nq 1

... b

p ln

n 1

(n 1) ;

n 1

;

ln n

Довести,

що

ряд

an (an

збіжний,

якщо

існує

0 , таке, що

n 1

1 при

n n

розбіжний,

якщо

1 при

n n

ln n

(логарифмічна ознака).

§8. Практичне заняття №7

Застосування різних ознак для дослідження на збіжність знакододатних

числових рядів

I.Контрольні запитання

1.Як по зовнішньому вигляді ряду підбирати ефективну для нього ознаку збіжності?

2.Що робити, коли застосування іменних ознак зв’язано з суттєвими труднощами обчислення відповідних границь?

3.Якщо вдалось довідатись, що для якогось ряду буде ефективна ознака

порівняння, то як підбирати еталонний ряд?

II. Приклади розв’язування задач

Дослідити на збіжність ряди 1) – 3).

	n		n
1) ctg		sin
1) ctg	4n 2	sin	2n 1
n 1	4n 2		2n 1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.09.20193.65 Mб7DE.doc
#
18.08.2019295.94 Кб4derevo.doc
#
14.11.2018134.14 Кб9Diagnostika.doc
#
19.11.2019220.67 Кб2Diagno_prog_tehnologi_SR.doc
#
01.05.2025118.02 Mб5Dialogue.doc
#
14.02.20161.7 Mб40diplomna_chornookav.pdf
#
14.02.20162.92 Mб67diplomna_protsyuk.doc
#
01.07.20251.34 Mб0diplomna_Vosstanovlen.docx
#
01.07.202592.73 Кб1DIPLOM_material_dlya_chitannya_VKAZIVKI_KhTO_C....docx
#
01.05.2025215.22 Кб1dkr_dermat.docx
#
01.07.2025423.42 Кб0drugy_riven_po_alfavitu.doc