ТЕСТИ_ЗНО_МАТЕМ

37.32.Установити відповідність між пірамідами (1–4) та ортогональними проекціями їх вершин на площину основи (А–Д).

37.33. Установити відповідність між довжиною ребра (1–4) тетраедра та його об’ємом (А–Д).

3Основа піраміди — квадрат зі стороною 4 см. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а більше бічне ребро

дорівнює 4 21 см. Знайти кут нахилу бічної грані, яка не містить

3

висоту, до площини основи

4Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 3 6 см, а проекція

бічного ребра на площину основи — 6 3 см. Знайти плоский кут при вершині піраміди

37.35.Площа діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди дорівнює S і є прямокутним трикутником. Установити відповідність між площею перерізу (1–4) та площею бічної поверхні (А–Д) піраміди.

271

37.37.Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з висотою 9 см й основою 6 см. Кожне з бічних ребер піраміди дорівнює 13 см. Знайти у сантиметрах висоту піраміди.

37.38.Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює 60°, а відстань від центра основи піраміди до її бічного ребра — 2 см. Обчислити в сантиметрах довжину сторони основи піраміди.

37.39. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 см, а плоский кут при вершині піраміди — 60°. Обчислити в сантиметрах висоту піраміди.

37.40. В основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною 2 3 см і гострим кутом 60°.

Усі бічні грані піраміди нахилені під кутом 60° до площини основи. Обчислити в кубічних сантиметрах об’єм піраміди.

37.41.В основі піраміди лежить квадрат. Висота піраміди збігається з найменшим її бічним ребром і дорівнює 3 см. Найбільше ребро піраміди дорівнює 3 3 см. Знайти в кубічних сантиметрах об’єм піраміди.

37.42.У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою кут 30°. Відрізок, що спо-

лучає основу висоти з серединою бічного ребра, дорівнює 3 . Знайти об’єм піраміди.

37.43.Об’єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює 64 см3, а висота піраміди — 3 см. Обчислити в квадратних сантиметрах площу повної поверхні піраміди.

37.44.Площа основи піраміди дорівнює 72 см2. Площі двох перерізів, які паралельні до основи, дорівнюють 18 см2 і 50 см2. Знайти у сантиметрах висоту піраміди, якщо відстань між перерізами дорівнює 8 см.

37.45.Бічна грань правильної п’ятикутної піраміди утворює з площиною основи кут 60°. Площа основи піраміди дорівнює 5 см2. Обчислити в квадратних сантиметрах площу бічної поверхні піраміди.

37.46.Сторони основи правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють 2 см і 5 см, бічне ребро — 2 см. Знайти у сантиметрах висоту піраміди.

37.47.Бічне ребро зрізаної правильної трикутної піраміди завдовжки 4 3 утворює зі стороною більшої основи кут 30°, а площі її основ відносяться як 4 : 1. Знайти площу повної поверхні піраміди.

37.48.Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 1 і нахилена до площини основи під кутом 60°. Визначити повну поверхню піраміди.

272

37.49. У правильній піраміді площа основи становить 1 площі повної поверхні. Знайти у градусах

3

двогранний кут при основі піраміди.

37.50.Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною 2, одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші утворюють із площиною основи кут 45°. Визначити об’єм піраміди.

37.51.У правильній чотирикутній піраміді відстань від центра основи до бічної грані дорівнює 3. Бічні грані нахилені до основи під кутом 60°. Визначити об’єм піраміди.

37.52.Основою піраміди є ромб зі стороною 3 і кутом 30°. Бічні грані, що проходять через сторони

гострого кута ромба, перпендикулярні до площини основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом 60°. Знайти об’єм піраміди.

37.53.Бічні ребра правильної трикутної піраміди взаємно перпендикулярні й дорівнюють 7 2 . Знайти відстань між мимобіжними ребрами піраміди.

37.54.У правильній чотирикутній піраміді через середини двох суміжних бічних ребер проведено переріз, який паралельний до висоти піраміди. Знайти в квадратних сантиметрах площу перерізу, якщо сторона основи піраміди дорівнює 8 см, а висота піраміди — 12 см.

37.55.У правильній чотирикутній піраміді РАВСD з вершиною Р проведено переріз через сторону АВ і середину бічного ребра РС. У якому відношенні цей переріз поділяє об’єм піраміди?

37.56. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 15 − 3 . Одна з бічних граней є

рівностороннім трикутником і перпендикулярна до площини основи. Визначити бічну поверхню піраміди.

37.57. У трикутній піраміді всі чотири грані — рівні рівнобедрені трикутники з основою 14 й бічною стороною 4. Визначити об’єм піраміди.

37.58.Основою піраміди є прямокутник, площа якого дорівнює 9. Дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, а дві інші — нахилені до неї під кутами 30° і 60°. Визначити об’єм піраміди.

273

18* Капіносов А. Математика. Тести для підготовки до ЗНО

ТЕМА 38. ЦИЛІНДР

Завдання 38.1–38.30 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

38.1.Знайти повну поверхню циліндра з радіусом 5 см і висотою 15 см.

38.2.Обчислити об’єм циліндра, радіус основи якого дорівнює 9 см, а його твірна — 4 см.

38.3.Діаметр основи циліндра дорівнює 6 см і удвічі менший за його висоту. Знайти об’єм циліндра.

38.4.Знайти площу бічної поверхні фігури, утвореної обертанням прямокутника зі сторонами 8 см і 5 см навколо меншої його сторони.

38.5.Прямокутник зі сторонами а і b (а > b) обертається навколо більшої сторони. Визначити об’єм тіла обертання.

38.6.Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює l і утворює з площиною основи кут α. Визначити радіус циліндра.

38.7.У циліндрі паралельно до його осі проведено площину на відстані 3 см від неї. Ця площина перетинає основу циліндра по хорді, яка дорівнює 8 см. Знайти радіус циліндра.

38.8.У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого дорівнює 17 см. Висота циліндра дорівнює 15 см, а радіус основи — 5 см. На якій відстані від осі проведено цей переріз?

38.9.Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 10 см. Знайти площу бічної поверхні циліндра.

38.10.У циліндрі перпендикулярно до радіуса основи через його середину проведено переріз. У перерізі утворився квадрат, площа якого дорівнює 16 см2. Знайти бічну поверхню циліндра.

274

38.11.Діагональ розгортки бічної поверхні циліндра дорівнює d й утворює з висотою розгортки кут α. Знайти радіус циліндра.

d

α

38.14. Відро циліндричної форми вміщує 10 л води. Іграшкове відро має розміри в 10 разів менші. Скільки літрів води вміщує іграшкове відро?

38.15.Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утво-

рює з площиною основи кут α. Даний відрізок розміщений на відстані d від центра нижньої основи. Визначити висоту циліндра.

38.16. Твірна циліндра дорівнює 36 см, а хорда його нижньої основи — 40 см. Відстань від центра верхньої основи циліндра до даної хорди дорівнює 39 см. Обчислити площу основи циліндра.

38.17.Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, дорівнює 6 см й утворює з площиною нижньої основи кут 60°. Знайти площу осьового перерізу циліндра.

38.18.Паралельно до осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу α. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом β. Визначити площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R.

38.19. Діагоналі осьового перерізу циліндра утворюють при перетині кут φ. Визначити площу бічної

275

38.20.Радіус основи циліндра R. Площина перетинає бічну поверхню циліндра, але не перетинає основи й утворює кут α з площиною основи. Знайти площу перерізу циліндра цією площиною.

38.22.Площа бічної поверхні циліндра дорівнює половині площі його повної поверхні. Діагональ осьового перерізу дорівнює 5 см. Знайти площу повної поверхні циліндра.

38.23.Через твірну циліндра проведено два взаємно перпендикулярні перерізи циліндра, площі яких дорівнюють 60 см2 і 80 см2. Знайти площу осьового перерізу.

38.24. У куб, ребро якого дорівнює а, вписано циліндр. Визначити повну поверхню циліндра.

38.26.Знайти радіус циліндра, описаного навколо прямокутного паралелепіпеда зі сторонами основи 9 см та 12 см і висотою 8 см.

38.29.У циліндр вписано правильну трикутну призму, а у призму — циліндр. Знайти відношення об’ємів циліндрів.

276

38.30.Дано циліндр з радіусом 2 і висотою 0,5. S(х) — площа перерізу циліндра площиною, паралельною до його осі, де х — відстань від осі циліндра до площини перерізу. Який з наведених графіків є графіком функції S(х)?

Завдання 38.31–38.35 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків(цифри) і колонок(букви).

38.31.Осьовий переріз циліндра дорівнює S, а висота циліндра — Н. Установити відповідність між величинами S і Н (1–4) та об’ємом циліндра (А–Д).

Д 6π см3

38.32.Площа основи циліндра дорівнює S, а діагоналі осьового перерізу утворюють при перетині кут

ϕ. Установити відповідність між величинами S і ϕ (1–4) та площею бічної поверхні циліндра

(А–Д).

38.33. У циліндрі, радіус основи якого дорівнює 3 см, діагональ АС осьового перерізу ABCD дорівнює 12 см. Хорда АМ дорівнює 3 2 см. Установити відповідність між задачами (1–4) та від-

квадрат. Знайти відстань від цього перерізу до осі циліндра

3Висота циліндра дорівнює 14 см, а радіус його основи — 10 см. Знайти більшу сторону перерізу, проведеного паралельно до осі циліндра на відстані 6 см від неї

4Визначити висоту циліндра найбільшого об’єму, який можна вписати у кулю радіуса 5 3 см.

277

38.35.Установити відповідність між об’ємами правильних трикутних призм (1–4) та об’ємами вписаних у них циліндрів (А–Д).

Розв’яжіть завдання 38.36–38.54. Відповідь запишіть десятковим дробом.

38.36. Площа основи циліндра відноситься до площі осьового перерізу як 3π : 4. Знайти у градусах кут між діагоналлю осьового перерізу циліндра і площиною основи.

38.37.Висота циліндра дорівнює 12, а радіус основи дорівнює 10. Циліндр перетнуто площиною, паралельною до його осі так, що в перерізі утворився квадрат. Знайти відстань від осі циліндра до січної площини.

38.38.Площина, паралельна до осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 120°. Знайти площу пере-

різу, якщо висота дорівнює 10, а відстань від осі циліндра до січної площини дорівнює 3 .

38.39.У рівносторонньому циліндрі, радіус основи якого дорівнює 5 6 см, точку кола верхньої ос-

нови сполучили з точкою кола нижньої основи. Проведена пряма утворює площиною основи кут 60°. Визначити відстань від цієї прямої до осі циліндра.

38.40.Кут між твірною циліндра і діагоналлю осьового перерізу дорівнює 60°, площа основи циліндра дорівнює 3 . Визначити площу бічної поверхні циліндра.

38.41.Із квадрата, діагональ якого дорівнює 2 π , згорнута бічна поверхня циліндра. Визначити площу основи циліндра.

38.42.Площина, паралельна до осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 60°. Твірна циліндра дорівнює 10 3 , а відстань від осі до січної площини — 2. Знайти площу перерізу.

38.43.Знайти об’єм циліндра, якщо розгорткою його бічної поверхні є квадрат, сторона якого дорівнює 3 π .

38.44.Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник зі сторонами 3π см і 40 см. Обчислити в кубічних сантиметрах об’єм циліндра, якщо відомо, що його висота менша за діаметр основи. У відповідь записати соту частину об’єму.

38.45.У циліндр вписано призму, основою якої є прямокутний трикутник з катетом 1 і прилеглим до нього кутом 60°. Визначити об’єм циліндра, якщо висота призми дорівнює π1 .

38.46. У циліндр вписана призма, в основі якої лежить трикутник АВС, у якого кут С— прямий,А = 30°, ВС= 2 см. Діагональ бічної грані, яка містить катет ВС, нахилена до площини основи під

кутом 45°. Знайтиу квадратнихсантиметрах площу поверхні циліндра. У відповідь записати Sπ .

38.47.Основою прямої призми є рівнобічна трапеція, основи якої дорівнюють 8 і 2. Висота призми дорівнює 10π . Знайти об’єм циліндра, вписаного в цю призму.

38.48.У циліндрі проведено два перерізи АВСD і АВEF, де АВ — твірна циліндра. Площа кожного з

цих перерізів дорівнює 1 площі осьового перерізу. Знайти у градусах кут між площинами АВC

2

й АBE.

278

38.49.На присадибній ділянці воду для поливу рослин зберігають у циліндричному резервуарі, діаметр основи якого дорівнює 2,5 м. Обчислити висоту резервуару з точністю до 0,01 м, якщо його місткість дорівнює 3 м3.

38.50.У посудину циліндричної форми налили 200 см3 води, при цьому рівень води досягнув відмітки 12 см. Після цього у посудину занурили деталь, і рівень води при цьому піднявся на 9 см. Знайдіть у кубічних сантиметрах об’єм деталі.

38.51.Криниця має форму циліндра, діаметр основи якого дорівнює 1,2 м, а глибина — 3 м. Він на-

повнений водою на 2 глибини. Обчислити з точністю до 0,01 м3 об’єм води у криниці.

3

38.52.Знайти висоту циліндра найбільшого об’єму, який можна вписати у кулю радіуса 5 3.

38.53.З усіх циліндрів об’ємом 16π знайти такий циліндр, площа поверхні якого є найменшою. У відповідь записати довжину радіуса основи цього циліндра.

38.54.Одне тіло циліндричної форми удвічі вище за інше, але друге у півтора разу ширше. Знайти відношення об’єму другого тіла до об’єму першого.

279

ТЕМА 39. КОНУС

Завдання 39.1–39.28 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

39.1.Діаметр основи конуса 8 см, а його висота 3 см. Знайти твірну конуса.

39.2.Твірна конуса дорівнює l, а кут між твірною і висотою — β. Визначити площу бічної поверхні конуса.

39.3.Знайти площу повної поверхні конуса, твірна якого дорівнює 10 см, а радіус основи дорівнює

6 см.

39.4.Прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см обертається навколо меншого катета. Обчислити об’єм утвореного тіла обертання.

39.5.Обчислити об’єм конуса, довжина кола основи якого дорівнює 12π см, а висота конуса — 5 см.

39.6.Твірна конуса відноситься до діаметра його основи як 13 : 10, а висота конуса дорівнює 24 см. Знайти повну поверхню конуса.

39.7.Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Радіус основи конуса дорівнює 6. Знайти площу осьового перерізу конуса.

39.8. Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник. Висота конуса дорівнює 3 3 см. Обчислити бічну поверхню конуса.

280