ТЕСТИ_ЗНО_МАТЕМ

34.34.Установити відповідність між даними про кола K(O1, R) і K(O2, r) і їх взаємним розташуванням

(А–Д).

Д Кола не мають спільних точок (одне всередині круга іншого)

34.35.Установити відповідність між заданими відношеннями радіусів двох концентричних кругів (1–4) та відношенням площі першого круга до площі кільця (А–Д).

34.36.Установити відповідність між дугами α і β, зображеними на рисунках (1–4), та кутами γ (А–Д).

Аγ = 65°

Розв’яжіть завдання 34.37–34.49. Відповідь запишіть десятковим дробом.

34.37.Знайти довжину кола l, вписаного в ромб, діагоналі якого дорівнюють 15 і 20. У відповідь записати πl .

34.38.У рівнобедрену трапецію вписано коло. Основи трапеції дорівнюють 9 і 25, а бічна сторона — 17. Знайти довжину l вписаного кола. У відповідь записати πl .

34.39.Периметр правильного трикутника дорівнює 36. На стороні трикутника як на діаметрі, побудовано коло. Знайти довжину l дуги, розміщену у внутрішній області трикутника. У відповідь записати πl .

34.40.Знайти площу S круга, описаного навколо правильного трикутника зі стороною 9 см. У відповідь записати Sπ .

251

34.41.Знайти площу S круга, вписаного в правильний шестикутник зі стороною 6 см. У відповідь записати Sπ .

34.42.Дано два круги зі спільним центром. Радіус меншого круга дорівнює 1 радіуса більшого.

2

Знайти відношення площі утвореного кільця до площі круга більшого радіуса.

34.43.Знайти відношення площ кругів, вписаного й описаного навколо квадрата.

34.44.На рисунку сторона квадрата дорівнює 5. Кожна його вершина є центром кола радіуса 5. Знайти периметр Р замальованого криволінійного чотирикутника обмеженого цими колами. У відповідь записати 3πP .

BC

AD

34.45.У прямокутну трапецію з основами 1 і 3 вписано коло. Знайти радіус вписаного кола.

34.46.Два кола, які дотикаються ззовні, вписано в кут 60°. Знайти радіус більшого з кіл, якщо сума їх радіусів дорівнює 24 см.

34.47.На висоті рівностороннього трикутника як на діаметрі побудовано круг. Довжина сторони трикутника дорівнює 1. Знайти з точністю до 0,01 площу тієї частини трикутника, яка лежить поза даним кругом.

34.48.У трикутнику довжини сторін відносяться як 3 : 4 : 5. Півколо з діаметром, який належить найбільшій стороні трикутника дотикається до двох інших сторін трикутника. Знайти відношення найменшої висоти трикутника до радіуса півкола.

34.49.Клумбу діаметром 6 м потрібно розбити на 6 рівних секторів для квітів різних видів. Скільки квітів одного виду можна посадити, якщо для кожної квітки необхідно 1 дм2 землі?

252

ТЕМА 35. АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ. ПРЯМІ ТА ПЛОЩИНИ В ПРОСТОРІ

Завдання 35.1–35.24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

35.1. Шість точок не лежать в одній площині. Яке найбільше число цих точок може лежати на одній прямій?

35.2. На рисунку зображено тетраедр АВСD. Точка М належить ребру DB, а точка Р — ребру DC. Точки K1, K2, K3, K4 і K5 належать площині АВС. У якій з цих точок пряма РМ перетинає площину АВС?

35.3.На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1 і точку М на ребрі ВВ1. Якій із прямих належить точка перетину прямої МС із площиною А1В1С1?

253

35.5.На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1. Вказати ортогональну проекцію діагоналі А1С на площину DD1C1.

35.6.На рисунку площини α і β перетинаються по прямій с. Пряма а належить площині α, пряма b — площині β. Яке з наведених тверджень правильне?

35.7. Через М відрізка MK проведено площину. Через кінець K і точку С цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину в точках K1 і С1. Знайти довжину відрізка MK, як-

що KK1 = 9 см, МС : СС1 = 2 : 3.

35.8. Точка K лежить між паралельними площинами α і β. Прямі m і n, які проходять через точку K,

перетинають площину α у точках M1 і N1, а площину β — у точках М2 і N2 відповідно. Знайти

N1K, якщо M1K : M1M2 = 1 : 3, N1N2 = 20 см.

35.9. На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1, ребро якого дорівнює 1. Знайти відстань між прямими АА1 і В1D1.

254

35.10. Дано куб АВСDА1В1С1D1. Вказати кут між прямою А1С і площиною DCC1.

B1 C1

35.11. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА1В1С1D1, у якого АВСD — квадрат зі стороною 1, а бічне ребро АА1 = 3 . Чому дорівнює кут між площинами АА1В1 і А1В1С?

35.13. На рисунку АВСD — прямокутна трапеція з прямим кутом В, точка М — середина сторони АD. РВ — перпендикуляр до площини АВС. Визначити кут між площинами АВС і АРD.

P

BC

AD

M

255

35.14.Площини α і β перетинаються по прямій а під кутом 60°. Точка А належить площині α. Довжина відрізка АМ є відстанню від точки А до площини β, а довжина відрізка АK — відстанню

2

35.15.Точка А віддалена від площини на відстань 6 3 см. Обчислити довжину проекції похилої, проведеної з цієї точки під кутом 60° до площини.

35.16.Сторона рівностороннього трикутника дорівнює а. Точка А розміщена від кожної вершини трикутника на відстані b. Визначити відстань від точки А до площини трикутника.

35.17.Точка М розміщена на відстані m від кожної сторони правильного трикутника і на відстані h від площини трикутника. Визначити сторону трикутника.

35.18. На рисунку АВСD — квадрат, МВ — перпендикуляр до площини АВС. Похила АМ нахилена до площини АВС під кутом 45°. Під яким кутом нахилена до площини АВС похила МD?

M

35.19.З вершини А квадрата ABCD до його площини проведено перпендикуляр AK завдовжки 6 см. Знайти відстань від точки K до вершини С квадрата, якщо його сторона дорівнює 4 2 см.

256

35.20.Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. З вершини найбільшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр AD, який дорівнює 15 см. Знайти відстань від точки D до сторони ВС трикутника.

35.21.Знайти кут між площинами, якщо точка, яка лежить на одній з них, віддалена від прямої перетину площин утричі далі, ніж від другої площини.

35.22.Відрізок завдовжки 10 м перетинає площину, його кінці розміщені на відстані 2 м і 3 м від площини. Знайти кут між даним відрізком і площиною.

35.23.На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1 з ребром 2а. Точка М — середина ребра АА1. Встановити вид многокутника, який є перерізом куба площиною МВС, визначити його площу.

35.24.На рисунку зображено правильний тетраедр SABC з ребром а. Точки М, K і Р — відповідно середини ребер AS, SС i AB. Встановити вид многокутника, який є перерізом тетраедра площиною МKР, визначити його периметр.

257

17* Капіносов А. Математика. Тести для підготовки до ЗНО

Завдання 35.25–35.33 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків(цифри) і колонок(букви).

35.26.На рисунку зображено паралелепіпед ABCDA1B1C1D1. Точки M, N і P — середини ребер AB, BB1 і BC відповідно. Установити відповідність між прямими і площинами (1–4) та їхнім взаємним розміщенням (А–Д).

35.27.На рисунку зображено піраміду SABCD, в основі якої паралелограм. SO — висота піраміди. Точки M, N і P — середини відрізків OC, SC і SB відповідно. Установити відповідність між прямими і площинами (1–4) та їх взаємним розміщенням (А–Д).

S

258

35.28.На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду SABCD, у якої SO — висота, M — середина ребра SC, діагональні перерізи — рівносторонні трикутники. Установити відповідність між точками, прямими, площинами (1–4) та відстанями між ними (А–Д).

2

Д SO

2

35.29.Установити відповідність між кількостями точок, які не лежать в одній площині (1–4) та найбільшою з них кількістю точок (А–Д), які можуть лежати на одній прямій.

35.30.Установити відповідність між відрізками (1–4), побудованими на гранях і ребрах куба, та величинами кутів між ними (А–Д).

35.31.Установити відповідність між кутами нахилу (1–4) відрізка завдовжки 10 см до площини та довжиною його проекції на площину (А–Д).

259

35.32.Із точки S, яка лежить між двома паралельними площинами, проведено три прямі, які перети-

нають ці площини відповідно в точках А1 і А2, В1 і В2, С1 і С2. Відомо, що SA1 = A1B1 = 10 см, A2C2 = B1B2 = 24 см, А2В2 = 30 см. Установити відповідність між відрізками (1–4) та їх довжинами (А–Д).

Д 6 см

Розв’яжіть завдання 35.34–35.53. Відповідь запишіть десятковим дробом.

35.34.Через кінець А відрізка АВ проведено площину α. Через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають площину α відповідно в точках М і N. Знайти довжину відрізка СN, якщо АС : СВ = 2 : 3, BM = 12.

35.35.Дано паралелограм і площину, яка не перетинає його. Через вершини паралелограма проведено паралельні відрізки, які кінцями впираються у площину. Довжини трьох послідовних відрізків відповідно дорівнюють 21 см, 24 см і 35 см. Обчислити в сантиметрах довжину четвертого відрізка.

35.36.Рівнобічна трапеція АВСD, у якій АВ = 8 см, CD = 12 см, AD = 5 см, розміщена так, що її бічна сторона AD належить площині α, а сторона ВС не належить. Пряма ВС перетинає площину α в точці K. Знайти відстань від точки K до вершини С трапеції.

35.37.Сторона АВ ромба АВСD розташована на площині α. Площина ромба утворює з площиною α кут 45°. Площа ромба дорівнює 48 3 см2, а його тупий кут — 120°. Знайти в сантиметрах відстань від сторони CD до площини α.

35.38.Площина α перетинає сторони кута АВС у точках А1 і С1, а паралельна їй площина β — у точках А2 і С2. Знайти ВС1, якщо А1В : А1A2 = 1 : 3, ВС2 = 12.

35.39.З точки А до площини проведено дві похилі АВ = 30 і АС = 40. Знайти відстань від точки А до площини, якщо проекції похилих відносяться як 9 : 16.

35.40.З точки В, яка розміщена від площини на відстані 1, проведено дві похилі, які утворюють із площиною кути 45°, а між собою — кут 60°. Знайти квадрат відстані між кінцями похилих.

35.41.Один з катетів прямокутного трикутника АВС дорівнює 6, а гострий кут, прилеглий до цього катета, дорівнює 30°. Через вершину прямого кута С проведено відрізок СD, перпендикулярний до площини цього трикутника, CD = 4. Визначити відстань від точки D до прямої АВ.

35.42.Точка М рівновіддалена від вершин прямокутного трикутника АВС ( С = 90°) і знаходиться на відстані 12 см від площини трикутника. Знайти в сантиметрах відстані від точки М до сторін трикутника, якщо катети трикутника дорівнюють 18 см і 32 см. У відповідь записати суму відстаней.

260