ТЕСТИ_ЗНО_МАТЕМ

ТЕМА 30. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Завдання 30.1–30.32 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

30.1.Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 18° більший від іншого. Знайти більший з цих кутів.

30.2.Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b (a > b). Визначити довжину медіани, проведеної до меншого катета.

30.3.Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а медіана, що проведена до нього, дорівнює 8 см. Знайти інший катет трикутника.

30.4.Один з катетів і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 5 см і 13 см. Знайти площу трикутника.

30.5.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 60 см і 80 см. Знайти висоту трикутника, проведену до гіпотенузи.

30.6.Катет та гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 10 см і 26 см. Знайти проекцію цього катета на гіпотенузу.

30.7.У прямокутному трикутнику довжини катетів відносяться як 4 : 3. Обчислити косинус найменшого кута трикутника.

30.8.Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, у якого висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 6 3 см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу дорівнює 6 см.

221

30.10.Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює b, а протилежний до нього кут — β. Визначити радіус кола, описаного навколо трикутника.

30.11.Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює α. Визначити катет, прилеглий до цього кута, якщо радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює r.

30.12.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник.

30.13.Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює 1 дм. Знайти площу цього трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює 5 дм.

30.14.У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює α, а висота, що проведена до гіпотенузи, дорівнює h. Визначити площу трикутника.

30.15.Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 1 : 2. Знайти відношення протилежних їм катетів.

30.16.Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а гіпотенуза дорівнює 20 см. Знайти менший з відрізків, на які поділяє гіпотенузу бісектриса прямого кута.

30.17.Бісектриси двох кутів прямокутного трикутника утворюють при перетині кут 79°. Знайти менший гострий кут трикутника.

30.18.У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 27°. Знайти кут між бісектрисою і висотою трикутника, проведеними з вершини прямого кута.

30.19.У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 32°. Знайти кут між висотою і медіаною, проведеними з вершини прямого кута.

222

30.20.Довжини катетів прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Визначити довжину медіани, проведеної до гіпотенузи.

30.21.Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює 20 см, а довжина одного з катетів — 16 см. Знайти інший катет трикутника.

30.22.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 45° бісектриса прямого кута дорівнює 7 см. Знайти гіпотенузу трикутника.

30.24.Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює 17 см, а один із катетів — 8 см. Знайти інший катет.

30.25.Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює 5 см, а один з катетів — 6 см. Обчисліть довжину іншого катета.

30.26.Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 25 см, один із катетів — 30 см. Знайти довжини відрізків, на які ділить гіпотенузу висота, проведена до неї.

30.27.Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на відрізки у відношенні 3 : 4. У якому відношенні ділить гіпотенузу висота?

30.28.Площа прямокутного трикутника дорівнює 30 см2, а довжина одного з катетів — 12 см. Обчислити довжину іншого катета.

30.29.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 16 см. Знайти висоту трикутника, опущену на гіпотенузу.

223

30.30.Знайти площу прямокутного трикутника, у якого бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 8 см.

30.31. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Якою найбільшою може бути площа трикутника?

30.32.На сторонах прямокутного трикутника АВС ( С = 90°) побудовані квадрати. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює 400 см2, а різниця площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює 112 см2. Знайти площу трикутника.

AB

400 см2

Завдання 30.33–30.39 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків(цифри) і колонок(букви).

30.33.На рисунку зображено прямокутний трикутник ABC ( С = 90°), його висоту CH, медіану CM і позначено величини деяких його елементів. Установити відповідність між елементами трикутника (1–4) та їхніми величинами (А–Д).

224

30.35.Зовнішній кут при вершині А прямокутного трикутника АВС ( С = 90°) дорівнює 110°. Установити відповідність між задачами (1–4) та відповідями до них (А–Д).

30.36.Установити відповідність між катетами а й b (1–4) прямокутних трикутників і значеннями гострого кута, протилежного до катета а (А–Д).

30.37.Дано прямокутний трикутник, у якому С = 90°, ВС = 3 см, АС = 4 см. Установити відповідність між задачами (1–4) та відповідями до них (А–Д).

30.38.Установити відповідність між довжинами гіпотенуз і катетів (1–4) прямокутних трикутників і їх площами (А–Д).

225

15* Капіносов А. Математика. Тести для підготовки до ЗНО

30.39. Установити відповідність між задачами (1–4) та відповідями до них (А–Д).

площу трикутника

3У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки 8 см і 10 см. Обчислити площу трикутника

4У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см і ділить її на відрізки у відношенні 16 : 9. Обчислити площу трикутника

Розв’яжіть завдання 30.40–30.69. Відповідь запишіть десятковим дробом.

30.40.Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника утворює з протилежною стороною кути, один з яких дорівнює 70°. Знайти у градусах менший гострий кут трикутника.

30.41.Катети прямокутного трикутника відносяться як 2 : 1, а гіпотенуза дорівнює 5 5 см. Знайти у сантиметрах більший катет.

30.42.У прямокутному трикутнику катети менші за гіпотенузу на 8 см і 4 см. Знайти в сантиметрах периметр трикутника.

30.43.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 см і 20 см. Знайти в сантиметрах радіус кола, описаного навколо трикутника.

30.44.Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його гіпотенуза — 20 см. Знайти найменшу медіану трикутника.

30.45.У трикутнику АВС ( С = 90°) СВ = 20 см, tg B = 2,4. Знайти в сантиметрах довжину медіани, проведеної з вершини прямого кута трикутника.

30.46. Відношення катетів прямокутного трикутника дорівнює 0,75, а різниця квадратів катетів — 7 см. Знайти в сантиметрах медіану, проведену до гіпотенузи.

30.47. Катет прямокутного трикутника дорівнює 28 см, різниця двох інших його сторін дорівнює

8см. Знайти у сантиметрах гіпотенузу.

30.48.У прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені до гіпотенузи, відповідно дорівнюють

24см і 25 см. Знайти у сантиметрах периметр трикутника.

30.49.У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а тангенс прилеглого кута дорівнює 5 . Знайти

6

квадрат довжини гіпотенузи.

30.50.Проекції катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнюють 4 см і 21 см. Знайти у сантиметрах менший катет.

30.51.У прямокутному трикутнику АВС до гіпотенузи АВ проведено висоту CD. Площа трикутника BCD дорівнює 16 см2, а площа трикутника ACD — 4 см2. Знайти (у сантиметрах) гіпотенузу трикутника АВС.

30.52. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а проекція іншого катета на гіпотенузу дорівнює 4 см. Знайти у сантиметрах гіпотенузу.

30.53.Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, ділить її на відрізки 16 см і 9 см. Обчислити в сантиметрах квадратних площу трикутника.

30.54. Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 10 см. Знайти у квадратних сантиметрах площу трикутника.

226

30.55.Точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу прямокутного трикутника на відрізки, один з яких на 2 см менший від іншого. Знайти площу трикутника (у см2), якщо радіус вписаного кола дорівнює 2 см.

30.56.Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а синус гострого кута трикутника дорівнює 0,8. Знайти в квадратних сантиметрах площу трикутника.

30.57.Площа прямокутного трикутника дорівнює 150 см2, а котангенс більшого гострого кута трикутника дорівнює 0,75. Знайти в сантиметрах радіус кола, вписаного у трикутник.

30.58.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 16 см, а гіпотенуза — 20 см. На які відрізки, рахуючи від вершини прямого кута, поділяє сторону трикутника бісектриса меншого гострого кута трикутника. У відповідь записати в сантиметрах потроєну довжину більшого з них.

30.59.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 21 см і 28 см. Знайдіть відстань між основами медіани і бісектриси, проведених з вершини прямого кута.

30.60. Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і

6 см. Знайти у сантиметрах радіус вписаного кола.

30.61.Периметр прямокутного трикутника дорівнює 80 см, а його площа дорівнює 240 см2. Знайти (у сантиметрах) діаметр описаного кола.

30.62.Знайти у квадратних сантиметрах площу прямокутного трикутника, якщо його висота ділить гіпотенузу на відрізки 18 см і 32 см.

30.63.Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на відрізки, що дорівнюють m і n. Визначити висоту, проведену з вершини прямого кута й обчислити її значення,

якщо m = 3, n = 4.

30.64.У прямокутному трикутнику висота і бісектриса, проведені з вершини прямого кута, відповід-

но дорівнюють h і l. Визначити площу трикутника й обчислити її значення, якщо h = 0,5, l = 0,7.

30.65.У прямокутний трикутник вписано коло радіуса r. Визначити синус меншого гострого кута трикутника, якщо довжина гіпотенузи 5r.

30.66.Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює h, а відстань

від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси меншого гострого кута з меншим катетом дорівнює d. Визначити довжину меншого катета й обчислити її значення, якщо h = 7,

d = 5.

30.67.У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а гіпотенуза — 13. Знайти квадрат довжини бісектриси трикутника, проведеної з вершини меншого кута.

30.68.Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника дорівнює 19,5 см, а один із катетів — 36 см. Знайти в сантиметрах інший катет трикутника.

30.69.Від високої тополі падає тінь завдовжки 9 м, а від вертикальної жердини завдовжки 2 м — тінь завдовжки 1,2 м. Знайти висоту тополі.

227

ТЕМА 31. РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК

Завдання 31.1–31.31 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

31.1.Знайти периметр рівнобедреного трикутника зі сторонами 3 см і 7 см.

31.3. Кут при основі рівнобедреного трикутника в 4 рази більший за кут при вершині. Знайти кут при вершині трикутника.

31.4.Знайти площу рівнобедреного трикутника, у якого бічна сторона дорівнює 4 2 см, а кут між бічними сторонами дорівнює 30°.

31.5.У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 10 см, а висота, що проведена до основи, — 6 см. Знайти площу трикутника.

31.6.Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см2, а довжина його основи — 6 см. Знайти довжину бісектриси, проведеної до основи.

31.7.Бічна сторона та висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, відносяться як 5 : 3. Основа трикутника дорівнює 64 см. Знайдіть периметр трикутника.

31.8.У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, поділяє її на відрізки 8 см і 2 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайти площу трикутника.

228

31.9.У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 6 см, а радіус кола, описаного навколо трикутника, — 5 см. Знайти висоту, проведену до основи.

31.12.У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює α, а радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює r. Визначити бічну сторону трикутника.

B

31.13. Знайти висоту рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 6 3 см.

31.14. У рівносторонньому трикутнику медіана дорівнює 2 3 см. Обчислити сторону трикутника.

31.15. Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 2 3 см.

229

31.16.Обчислити радіус кола описаного навколо рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 8 3 см.

31.17.Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 12 см. Знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

31.18.Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 4 3 см. Знайти сторону трикутника.

31.19. Сторона правильного трикутника дорівнює 20 3 см. Знайти проекцію однієї медіани на іншу.

31.20. У рівнобедреному трикутнику бісектриси кутів при основі утворюють при перетині кут 52°. Знайти кут між бічними сторонами трикутника.

B

31.21. О — точка перетину висот АМ і СK рівнобедреного трикутника АВС з основою АС. Знайти кут

В, якщо АОС = 110°.

B

31.22. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 55 см, а висота, що проведена до основи, — 44 см. Знайти відношення відрізків, на які поділяє бічну сторону бісектриса кута при основі.

31.23.Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 8 3 см. Знайти радіус кола, яке проходить через середини сторін трикутника.

230