3.2 Розклад функції у степеневий ряд. Біноміальний ряд

Для функції , яка задана в деякому околі точки, і хоча бразів диференційована в самій точці, важливим є наступний многочлен:

,

який називається многочленом Тейлора функції по степенях. Якщо, то її многочлен Тейлорабуде співпадати з самою функцією, а.

Якщо ж функція не є многочленом певного степеня, то вона не зобов’язана співпадати зі своїм многочленом Тейлора у всіх точках деякого околу точки. Тоді представляє інтерес поведінка такої величини:, яку називатимемо залишковим членом. Цю рівність перепишемо ще так, її називатимемо формулою Тейлора, а другий доданок – залишковим членом. Щоб довідатись дещо більше про величину, нам потрібне буде наступне твердження, у якому позначимо черезвідрізок з кінцямита, а через–інтервал з цими ж кінцями.

Теорема. (Тейлор). Нехай функція на– неперервна разом зі своїми першимипохідними, а наіснуєпохідна. Якщо– довільна, неперервна нафункція, яка в кожній точці інтервалумає відмінну від нуля похідну, то існує:

(1)

▲

Введемо в розгляд функцію ,очевидно, що– диференційовна наі неперервна на. Знайдемодля. Функціїіназадовольняють усім умовам теореми Коші, тому існує:

(2)

Оскільки ,,. Підставивши одержані результати у формулу (2) одержуємо рівність (1).

▼

У формулі (1) функція – довільна, а це означає, що беручи в якостірізні функції, ми одержуватимемо різні форми залишкового члена формули Тейлора. Покладемо спочатку,, то.,,

. (3)

(3) – це залишковий член у формулі Тейлора записаний у формі Коші. Тепер нехай ,,.,,

(4)

(4) – це залишковий член у формулі Тейлора записаний у формі Лагранжа.

Якщо функція безліч разів диференційована в точці, то для неї, формально, можна написати наступний ряд

(5)

(5) ми будемо називати рядом Тейлора функції по степенях. Виявляється, що якщобезліч разів диференційована в точці, то цього замало, щоб її значення співпадали з сумою її ряду Тейлора, хоча б в якомусь околі цієї точки.

В зв’язку з цим справедливе наступне твердження.

Теорема. (Критерій розкладу функції у степеневий ряд). Для того, щоб функцію на деякому інтерваліможна було розкласти у степеневий ряд, необхідно і достатньо, щоб:

1. на інтервалі функціябула безліч разів диференційованою,

2. залишковий член формули Тейлора в якісь із форм прямував до нуля при , для.

▲

Необхідність. Якщо є сумою деякого степеневого ряду, то цей ряд буде її рядом Тейлора і, з відомої теореми випливає, що вона безліч разів диференційована. Щодо прямування до нуля величини, то це буде вірно, тому що.

Достатність. З умови 1) маємо, що для функції можна написати її ряд Тейлора, а з 2) – залишок цього ряду, тобто, різниця міжпрямує до нуля, отже ряд збігається до.

▼

Після цього критерію виникає питання єдиності розкладу функції у степеневий ряд по степенях . Із теореми про можливість почленного диференціювання степеневого ряду, у якій було встановлено, що коефіцієнти ряду виражаються через суму цього ряду однозначно, то справедливе наступне твердження.

Якщо функція в деякому околі точкирозкладається у степеневий ряд по степенях, то цей розклад є єдиний і цей степеневий ряд є рядом Тейлора.

Ряд Тейлора, у якому , тобто ряд видуназивається рядом Маклорена для функції.

Найближчою нашою метою є одержання розкладів основних елементарних функцій у степеневі ряди, але спочатку доведемо наступний факт.

Теорема. (Друга теорема Абеля). Нехай ряд є збіжним до числа. Якщостепеневий ряд з інтервалом збіжності, то існує. Інакше кажучи, якщо рядз одиничним радіусом збіжності збіжний у точці, то сума, цього ряду, є функцією неперервною у точцізліва.

▲

Позначимо через ,. Тоді, оскільки існує

(1)

то є обмеженою послідовністю.

Розглянемо .

З даної тотожності, враховуючи що і обмеженість, переходом до границі поодержуємо:. З рівності (1), за означенням границі, маємо що,:

. (2)

Розглянемо модуль .

Позначимо через, коли, то. Згідно означення границі випливає, щовиконується нерівність. Отже, і.

▼

Зауважимо, що у цій теоремі необов’язково щоб радіус збіжності дорівнював одиниці. Він може бути будь-яким скінченим додатнім числом. Необов’язково і також, щоб ряд був розміщеним по степенях , він може бути і по степенях.

А тепер займемося розкладом функцій в ряд Маклорена.

Нехай маємо функцію . Знаходимо,, … Отже,,, …,, … Тому ряд Маклорена длямає вигляд

Знайдемо залишковий член функції у формі Лагранжа:,. Візьмемоі розглянемо відрізок, дослідимо поведінкуна цьому відрізку.,. Але права частина останньої нерівності прямує до нуля. Отже, залишковий член функціїу формі Лагранжа прямує до нуля на будь-якому відрізкуі тому справедлива длярівність

, (1)

яка і є розкладом функції в ряд по степенях.

Аналогічно ми одержуємо і такий розклад для:

(2)

Продиференціювавши ряд (2) ми отримаємо для:

(3)

Далі, скористаємося наступними рівностями,

, (4)

, (4^’)

(справа в них стоять геометричні прогресії знаменники яких за модулем менші 1). Проінтегрувавши ряд (4^’) по відрізку з кінцями , деодержимо,

,

(5)

Якщо в праву частину рівності (5), яка справедлива, поки що на , замістьпоставити, то отримаємо ряд, який є збіжним. Тому за другою теоремою Абеля справедлива рівність, де– сума ряду (5) на множині, і. Звідси маємо, що,але жпритеж дорівнює, отже рівність (5) насправді справедлива на множині. Поставимо у рівність (5) замість,. Отримаємо:

,(6)

Візьмемо , для нього будуть справедливі рівності (5) і (6). Віднявши від (5) (6) матимемо:

(7)

Формула (7) цікава тим, що з її допомогою можемо наближено обчислювати значення логарифма для чисел, яке не можна обчислити за допомогою формул (5) або (6).

Розкладемо в ряд Маклорена функцію ,

;

;

;

………………………………………;

;

……………………………………………….. .

;

;

;

…………………………;

;

…………………………………. .

;

;

;

…………………….;

;

………………………………. .

Отже, для функції матимемо такий ряд Маклорена,

.

З’ясуємо яким має бути , щоб в останньому співвідношенні можна було поставити знак рівності. Для того щоб це з’ясувати, знайдемо залишковий член цієї функції у формі Коші,

(8)

де – деяке число залежне віді від,. Оцінимо модулі двох останніх множників правої частини рівності (8) на інтервалі. Будемо мати

, (9)

, (10)

де не залежить віді від. Ми одержали, що. З рівності (8) і оцінок (9) і (10) маємо для:

(11)

Утворивши з правої частини нерівності (11) ряд, і дослідивши його на збіжність за ознакою Даламбера, ми одержимо, що відповідна границя дорівнює , а оскільки, тоі ряд збігається для. Тому загальний член цього ряду (тобто права частина нерівності (11)) прямує до нуля. Отже, як випливає з (11)приі, згідно критерію для,справедлива рівність:

(12)

З’ясуємо чи не можна до рівності (12) при приєднати точки,?

Розглянемо

. (13)

Дослідимо на збіжність ряд

. (14)

За ознакою Раабе матимемо , а це означає, що ряд (14) є збіжним. Звідси і з (13), за ознакою Вейерштрасса отримаємо, що ряд (12) прирівномірно збіжний надо деякої функції, яка неперервна на відрізку. Але жпритеж неперервна на, оскільки на, справедлива рівність, то насправді,. Отже, ми встановили, що:

, .