Степеневі ряди

3.1 Область збіжності степеневого ряду. Властивості сум степеневих рядів

Означення. Ряд виду

, (1)

де ,,,…,… – деякі дійсні числа, називається степеневим рядом. Числа,,…,… називаються коефіцієнтами цього ряду (які незалежні від числа).

Як і для будь-якого функціонального ряду, так і для степеневого, першою проблемою при роботі з ним є встановлення області збіжності. Відповідь на цю проблему дають наступні роздуми. Утворимо ряд з модулів

(2)

і застосуємо до нього радикальну ознаку Коші. Отримаємо

, де , якщо знаменник дорівнює нулю, тоі, коли знаменник.

1. якщо , тоі ряд (2), а отже, і (1) – збіжний на інтервалі, причому абсолютно;

2. якщо , то ряд (2) – розбіжний на, тобто, ззовні, а значить розбіжним буде і ряд (1) (подумайте чому?);

3. якщо , то невідомо якими будуть ряди (1) і (2) – збіжні чи розбіжні.

Підсумовуючи все одержане вище, ми помічаємо, що довели наступне твердження.

Теорема1. (Коші-Адамара про інтервал збіжності степеневого ряду). Якщо , то степеневий ряд (1) абсолютно збіжний на інтервалі, (коли, то цей інтервал перетворюється на всю числову вісь, коли, то він зводиться до точки) і розбіжний зовні відрізка.

Домовимось далі називати одержане вище числорадіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал– інтервалом збіжності степеневого ряду. Отже, ця теорема майже повністю відповідає на питання про область збіжності степеневого ряду (1).

З’ясуємо далі, чи є цей ряд рівномірно збіжним.

Теорема2. (Про рівномірну збіжність степеневого ряду). Степеневий ряд (1) з відмінним від нуля радіусом збіжності є рівномірно збіжним на будь-якому відрізку , який належить інтервалу збіжності.

▲

Позначимо через , тоді, оскільки, відрізокналежить інтервалу збіжності, то точканалежить інтервалу. Отже, в цій точці ряд (1) є абсолютно збіжним, тобто збіжним є ряд

(3)

Візьмемо будь-яку точку, тоді в силу вибору, матимемо що, а отже, і, і для будь-якого,

. (4)

З (4) і збіжності числового ряду (3) за ознакою Вейерштрасса, маємо рівномірну збіжність ряду (1) на .

▼

Те, що стверджується в теоремі 2 називають: степеневий ряд рівномірно збіжний всередині інтервалу збіжності (зауважимо, що це зовсім не означає рівномірну збіжність степеневого ряду на інтервалі збіжності).

З попередніх теорем випливає наступний факт.

Теорема3. Сума степеневого ряду (1) є функцією неперервною на всьому інтервалі збіжності.

Для того, щоб застосувати для степеневого ряду дві інші загальні властивості функціональних рядів, спробуємо вирішити наступну проблему.

Очевидно, якщо ми утворимо ряд з похідних ряду (1), то одержимо знову степеневий ряд (з іншими коефіцієнтами). З’ясуємо яким буде радіус збіжності новоутвореного ряду. Нехай радіус збіжності ряду (1) дорівнює . Утворимо ряд з похідних ряду (1)

(5)

і знайдемо радіус його збіжності. Для цього обчислимо , а це означає, що радіуси збіжності рядів (1) і (5) співпадають. Отже, ми з’ясували, що ряд який утворюється з ряду (1) почленним його диференціюванням є степеневим рядом з тим самим радіусом збіжності.

Теорема4. Якщо радіус збіжності ряду (1) не дорівнює нулю, то для будь-якого справедлива рівність, тобто степеневий ряд можна почленно диференціювати на всьому інтервалі збіжності.

▲

Візьмемо будь-якеі довільний відрізок, якому належить точка, і який міститься в інтервалі збіжності. А далі до цього відрізка застосуємо теорему2 і те, що радіус збіжності ряду з похідних теж дорівнює. В результаті одержимо теорему 4.

▼

Теорема4^’. Степеневий ряд з відмінним від нуля радіусом збіжності можна почленно диференціювати на інтервалі збіжності довільну кількість разів, причому справедливі рівності

, ,,…,...

Рівності теореми 4^’ легко одержуються з відповідних рівностей продиференційованих рядів.

Зауважимо, що коефіцієнти степеневого ряду з відмінним від нуля радіусом збіжності виражаються через значення суми цього ряду лише в точці, що є центром інтервалу збіжності.

Сума степеневого ряду з відмінним від нуля радіусом збіжності є функція, яка безліч разів диференційована на всьому інтервалі збіжності.

Тепер розглянемо проблему інтегрування степеневого ряду. Нехай знову маємо ряд (1) з відмінним від нуля радіусом збіжності. Візьмемо точку , тоді відрізокналежатиме інтервалу збіжності. За теоремою 2, на цьому відрізку ряд (1) буде рівномірно збіжним. Оскільки, члени ряду (1) є функції інтегровні на, то ряд можна почленно інтегрувати по цьому відрізку і матимемо, що. Очевидно, що ряд справа в останній рівності теж буде степеневим рядом, радіус збіжності, якого буде співпадати з радіусом збіжності ряду (1).

Оскільки, члени степеневого ряду є простими функціями, з добре відомими властивостями, то використовуючи ці властивості, а також характер збіжності, ми можемо вивчати певні властивості і суми цього ряду на інтервалі збіжності. В зв’язку з цим виникає проблема: чи можна, а якщо так, то як, за заданою, на певному проміжку функцією, підібрати степеневий ряд так, щоб ця функція була сумою степеневого ряду? Якщо така ситуація здійснима для функції , то кажуть, що цю функцію розкладено у степеневий ряд. Найближчою нашою проблемою буде зобразити цю функцію у вигляді суми степеневого ряду.