2.2 Властивості рівномірно збіжних послідовностей і рядів

Нагадаємо, що раніше ми довели таке твердження.

Теорема1. (Про неперервність границі рівномірно збіжної послідовності). Якщо длянеперервні наі– рівномірно збіжна надо функції, то– неперервна на.

Теорема1^”. (Про неперервність суми рівномірно збіжного ряду). Сума рівномірно збіжного на ряду, неперервних на цьому відрізку функцій є неперервною функцією на.

Те що виражає теорема 1^” символічно може бути записано так:

Остання рівність показує, що в умовах теореми 1^” символи границі і суми можна міняти місцями.

В зв’язку з цими результатами виникає питання: а чи не мають місце аналогічні твердження для похідної та інтеграла Рімана? Тобто, чи вірно, що:

, (1)

. (2)

Що стосується справедливості рівностей (1) і (2), то вони, взагалі кажучи, не вірні. Це можна підтвердити прикладами. Якщо , то легко перевірити, що,,. При цьому, (що теж легко перевірити) дана послідовність збігається нанерівномірно. Проте, справедлива наступна теорема про можливість граничного переходу під знаком інтеграла Рімана.

Теорема2. Нехай – послідовність рівномірно збіжна надо функції. Якщо всі функції– інтегровані за Ріманом на, тотеж інтегрована за Ріманом наі справедлива рівність

(3)

▲

Для доведення цієї теореми потрібно показати, що:

1. (тут – множина функцій інтегрованих за Ріманом на);

2. справедливість рівності (3).

1) З критерію інтегрованості за Ріманом, випливає, що для доведення першої умови, потрібно встановити, що для розбиття відрізка

. (4)

З того, що послідовність – рівномірно збіжна надо функції, матимемо що

. (5)

Візьмемо розбиття відрізка, і нехай– будь-який відрізок цього розбиття. Виберемо далі довільні дві точкитаз, і розглянемо різницю., де, а. Проаналізувавши одержану нерівність (звернувши увагу, що права її частина не залежить відта) робимо наступний висновок: множина чиселобмежена зверху, а отже, існує її, який буде дорівнюватиі маємо нерівність

. (6)

Помноживши (6) на , і врахувавши, що таких нерівностей буде, то після додавання їх усіх, ми одержимо наступне,, або

. (7)

Оскільки, , то за критерієм інтегрованості за Ріманом для вказаного вищерозбиття відрізка. Звідси і з (7) одержуємо, що, а це означає, щоі перша частина теореми доведена.

2) Для доведення (3) розглянемо різницю , а це і означає, щоі (3) доведено.

▼

Теорема2^”. (Про можливість поленого інтегрування ряду). Нехай ,. Якщо рядрівномірно збіжний дона відрізку, то, і справедлива рівність.

Далі потрібно розглянути проблему можливості по членного диференціювання послідовності і ряду. Для доведення теорем нам потрібне одне твердження, яке тісно зв’язане з теоремою про рівномірну збіжність і неперервність.

Теорема3. Нехай - рівномірно збіжна на множинідо функціїпослідовність і– гранична точка множини. Якщоіснує

, (8)

то:

1. існує ;

2. існує ;

3. справедлива рівність .

▲

З умови теореми маємо, що:

. (9)

Перейшовши в (9) до границі при , з використанням (8) отримаємо:, а це, за критерієм Коші для числових послідовностей означає, що існує

. (10)

Розглянемо різницю

(11)

З того, що послідовність – рівномірно збіжна на множинідо функціїі з умов (8) та (10) матимемо, що, дляіта. Взявши в (11) довільнеі, та використавши три останні нерівності, одержимо, що, а це означає, що.

▼

До речі, з цієї теореми можна ще раз одержати доведену вище теорему1.

Тепер вже можна розглянути проблему граничного переходу під знаком похідної. Зауважимо тільки, що якщо вимагати навіть рівномірної збіжності послідовності чи ряду, то цього виявиться замало для справедливості рівності (2).

Теорема4. (Про граничний перехід під знаком похідної). Нехай про послідовність відомо наступне:

1. існує точка , така, що– збіжна;

2. для – диференційовані нафункції;

3. –рівномірно збіжна на послідовність.

Тоді:

1. –рівномірно збіжна до деякої функції напослідовність;

2. –диференційована на ;

3. для .

▲

Проаналізувавши формулювання цієї теореми і теореми про по членне інтегрування, можемо зробити висновок, що для граничного переходу під знаком похідної слід накладати серйозніші умови, ніж ті, які потрібні для граничного переходу під знаком інтеграла.

Доведемо спочатку умову а). Для цього з умов теореми матимемо, що

, (12)

. (13)

Розглянемо далі таку функцію на проміжку з кінцямиі, деі– будь-які точки з відрізка. Зрозуміло, що введена вище функція, на цьому відрізку буде задовольняти всім умовам теореми Лагранжа. Тоді, матимемо, що міжііснує, таке що

. (14)

Звідси і з (13) матимемо,

. (15)

Далі для оцінимо таку величину,, а це (за критерієм Коші) означає, що послідовність– рівномірно збіжна надо деякої функції.

Для подальшого доведення теореми введемо в розгляд наступні функції. Спочатку візьмемо і зафіксуємо її. Позначимо черезіна множині. Із (15) випливає

, (15)^”

або згадавши означення функції одержуємо, що. Останнє співвідношення, разом з вимогами накладеними на,і, означає що– рівномірно збіжна дона множиніпослідовність, причому точкадляє граничною.

Розглянемо границю , бо функціядиференційована на, значить і в точці. Щойно одержанеграє рольіз теореми 3, і отже, виконані всі умови теореми 3 дляна. Згідно цієї теореми матимемо, що:

1. існує , а це означає, що функціядиференційована в точці;

2. існує ;

3. .

Оскільки точка - довільна з, то теорема 4 доведена повністю.

▼

Теорема4^”. (Про можливість по членного диференціювання ряду). Нехай – ряд, членами якого є диференційовані нафункції. Якщо:

1. існує точка така, що– збіжний;

2. –рівномірно збіжний на .

Тоді:

1. –рівномірно збіжний на ;

2. сума ряду – диференційована нафункція;

3. , для .