5.1. Перестановки з повтореннями

Нехай маємо множину, яка складається з елементів a, b, c, d, …, l. Перестановки, в яких елемент aповторюєтьсяразів, елементbповторюєтьсяразів, елементисіd— відповідноіразів, і т. д., а останній елементlповторюєтьсяразів, називаютьперестановкамиз повтореннями.Кількість усіх можливих таких перестановок позначають символом Наприклад, перестановками з повтореннями, у яких елементаповторюється 2 рази, а елементb— 3 рази, є

ааbbb аbаbb аbbаb аbbbа bааbb

bаbаb bаbbа bbааb bbаbа bbbаа.

Таких перестановок є 10. Тому 10.

Справджується така теорема.

Теорема 4.Кількість різних перестановок з повтореннями, у яких елементиа,b,c,d, …,lповторюються відповідно,,,, …,разів, визначається формулою:

Доведення цієї теореми неважко провести, узагальнюючи спосіб розв’я­зування попередньої задачі, пов’язаної зі словом математика. Зробіть це самостійно.

Задача. Скільки шестицифрових чисел можна записати, користуючись цифрами 1, 2, 3, якщо у кожному з чисел цифра 1 повинна повторюватися 2 рази, цифра 2 — 3 рази, цифра 3 — 1 раз?

■ Шукана кількість шестицифрових чисел дорівнює■

5.2. Комбінації з повтореннями

Розв’яжемо таку задачу. У крамниці продаються листівки. До послуг покупців є 15 різних видів листівок. Студентці потрібно привітати зі святом своїх рідних і друзів, а для цього необхідно придбати 12 листівок. Звичайно, можна закупити всі 12 однакових листівок, можна також придбати по декілька однакових листівок, а можна закупити і всі різні листівки. Скільки існує різних способів здійснення такої покупки?

■ Позначимо кількість цих способів символомДля спрощення міркувань кожній конкретній можливості здійснення покупки поставимо у відповідність 14 вертикальних рисок (умовних перегородок між наборами одна­кових листівок) і 12 знаків + за таким правилом. Перед першою рискою запишемо стільки знаків +, скільки листівок першого виду виявилося у покупці. Між першою і другою рисками — стільки знаків + , скільки було куплено листівок другого виду. І так далі, нарешті, після 14-ї риски відповідною кількістю знаків + позначимо кількість куплених листівок останнього 15-го виду. Якщо яких-небудь листівок не вибрали зовсім, то між відповідними рисками не ставитимемо нічого. Наприклад, покупці з п’яти листівок 2-го виду та семи листівок 5-го виду відповідатиме символ++++++++++++. Очевидно, що й навпаки, будь-якій такій послідовності з 14 рисок та 12 знаків + відповідатиме певна можлива схема покупки листівок. Для розв’язання задачі, отже, необхідно з’ясувати, скількома способами можна утворити описані символи, у яких вертикальні риски повторюються 14 разів, а знаки + — 12 разів. Очевидно, що кількість таких способів дорівнює■

Узагальнимо тепер спосіб розв’язування цієї задачі. Припустимо, що нам задано набір з nрізних елементів. З’ясуємо, скількома способами можна підібратиkелементів, кожний із яких є одним з елементів заданого набору. Такі множини називаютькомбінаціями з повтореннями ізданих n елементів по k елементів, а їхню кількість позначають символомНаприклад, комбінаціями з повтореннями із двох елементіваіbпо три елементи є:ааа,ааb,аbb,bbb. Отже,Зрозуміло, що приусікомбінацій без повторень входять до складу комбінацій з повтореннями

Сформулюємо таку теорему:

Теорема 5. Кількість різних комбінацій з повтореннями ізnелементів поkвизначається формулою:

■ Аби порахувати кількість комбінацій з повтореннями із nелементіва₁,а₂, …,а_nпоk, встановимо таку взаємно-однозначну відповідність. Кожній конкретній комбінації з повтореннями із елементіва₁,а₂, …,а_nпоkпоставимо у відповідність послідовність ізn– 1 нуля таk одиниць таким чином, щоб: перед першим нулем стояло стільки одиниць, скільки разів у даній комбінації зустрічається елемента₁; між першим і другим нулями впишемо стільки одиниць, скільки разів зустрічається елемента₂; між другим і третім нулями впишемо стільки одиниць, скільки разів зустрічається елемента₃, і т. д. Після останнього (n– 1)-го нуля запишемо стільки одиниць, скільки разів зустрічається елемента_n(якщо якийсь елемент не зустрічається зовсім, то на відповідному йому місці не записуємо нічого). Кількість таких послідовностей виражається числомщо дорівнює кількості перестановок з повтореннями, у яких 1 повторюється kразів, а 0 —п– 1 разів. Отже,■

Задача. Скількома способами можна розподілити 30 зошитів між чотирма учнями?

■ Нехай при деякому розподілі першому учневі дісталося n₁, другому — n₂,третьому —n₃а четвертому —n₄зошитів. Цей розподіл можна схематично зобразити так:

де n₁ +n₂ +n₃ +n₄ 30.Тепер очевидно, що кількість можливих розподілів дорівнює кількості комбінацій з повтореннями із 4 елементів по 30, тобто числу■