§1. Метод математичної індукції

Розглянемо дві задачі.

Задача 1. Довести, що виразпри всіх дійсниханабуває додатних значень.

Розглянемо такі випадки.

1) Приочевидно, що.

2) Примаємо:,, а тому.

3) При–1 < а < 0 запишемо заданий вираз у вигляді: Оскількиі при–1 < а < 0 маємо:то. Отже,при всіх.

Задача 2. Знайти суму перших nнепарних натуральних чисел.

Розглянемо окремі випадки:

При n  1: 11².

При n 2: 1 + 32².

При n 3: 1 + 3 + 593².

При n 4:1 + 3 + 5 + 7164².

Після розгляду цих випадків напрошується висновок, що сума перших nнепарних натуральних чисел дорівнюєn².

В обох розглянутих задачах загальні висновки: «при всіх» та «сума першихnнепарних натуральних чисел дорівнюєn²» ми зробили на основі розгляду часткових випадків. Загальні висновки, зроблені на основі розгляду часткових випадків, якщо ці висновки полягають у поширенні помічених закономірностей на загальний випадок, називаютьіндуктивними,а сам метод таких міркувань називають індуктивним методом, абоіндукцією.

Якщо загальний висновок робиться на основі розгляду всіх можливих випадків, то такий метод міркувань називають повноюіндукцією. Наприклад, задача 1 розв’язана методом повної індукції. З цим методом доведення ви вже зустрічалися раніше. Зокрема, доведення теореми про величину вписаного в коло кута зводиться до розгляду трьох випадків — залежно від розміщення центра кола відносно сторін вписаного кута.

Якщо загальний висновок робиться на основі розгляду лише окремих можливих випадків, то такий метод міркувань називають неповною індукцією. Загальний висновок в задачі 2 виведений на основі неповної індукції.

Зауважимо, що, строго кажучи, задача 2 нами ще не розв’язана. Розглянувши декілька випадків, ми не можемо гарантувати, що зроблений загальний висновок правильний для всіх натуральнихn. Тому поки що цей висновок будемо називати гіпотезою, а правильність цієї гіпотези доведемо пізніше.

Зазначимо, що індуктивні міркування можуть привести і до помилкових висновків. Підтвердимо це прикладом. Розглянемо квадратний тричлен Підставляючи замістьх значення 1, 2, 3, 4, 5, 6,дістанемо відповідні значення цього тричлена: 41, 43, 47, 53, 61, 71. Неважко помітити, що всі ці числа є простими. Використовуючи метод неповної індукції, можна було б дійти висновку, що значення даного тричлена для натуральнихх завжди будуть простими числами. У правильності такого висновку нібито переконують нас і подальші обчислення (див. таблицю):

x	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
х2–х+ 41	83	97	113	131	151	173	197	223	251	281	.

Всі виписані тут значення квадратного тричлена знову-таки є простими числами. Більше того, аналогічні результати одержуються для всіх наступних натуральних значень х аж до числах 40. Однак прих 41 число41² уже не є простим. Отже, індуктивний висновок про те, що всі значення тричлена для натуральнихх завжди є простими числами, — хибний.

Таким чином, неповна індукція не є повноцінним методом математичного доведення. Водночас припущення, зроблені на основі такої індукції, широко використовуються як робочі гіпотези, що потребують, однак, строго логічного доведення. Один з методів для доведення таких гіпотез дістав назву методу математичної індукції.

Метод математичної індукції називають ще методом повної математичної індукції. Використовується він при доведенні тверджень, які залежать від натурального числа. Прикладами таких тверджень є:

— для будь-якого натурального п виконується рівність

1 + 2 +…+ n 

— при будь-якому натуральному п число ділиться на 2; та ін.

В основі методу математичної індукції лежить такий принцип.

Принцип математичної індукції. Якщо деяке твердження істинне для п  1 і з істинності цього твердження для якого-небудь довільного натурального n  k випливає його істинність для n  k + 1, то дане твердження істинне для будь-якого натурального числа n.

Правомірність застосування цього принципу не викликає сумніву. Адже ним на основі істинності твердження при п  1 гарантується істинність цього твердження прип  1 + 12, далі на основі істинності прип 2 — істинність прип 2 + 1 3 і т. д., отже — істинність при всіх натуральнихn.

Доведення тверджень методом математичної індукції складається з двох етапів, або кроків: перевірки бази індукції та здійснення індуктивного переходу.

1. База індукції. Доводять, що твердження істинне дляп  1.

2. Індуктивний перехід. Припускають, що твердження істинне дляn  kі, використовуючи це припущення, доводять істинність твердження дляп  k + 1.

Якщо обидва ці кроки доведення виконані, то на основі принципу математичної індукції, твердження є істинним для довільного натурального числа п.

Використовуючи метод математичної індукції, завершимо розв’язування задачі 2, тобто доведемо рівність:

.    (1)

■ 1.Прип  1 у лівій частині рівності (1) буде лише один доданок 1, а права її частина дорівнюватиме 1²1. Отже, прип 1 рівність (1) правильна.

2. Припустимо, що рівність (1) є правильною приn  k, тобто, що,і доведемо, що тоді рівність (1) правильна і при n  k + 1, тобто що

Використовуючи припущення матимемо:

Отже, за принципом математичної індукції, рівність (1) є правильною для довільного натурального числаn.■

Розглянемо ще декілька прикладів.

Приклад 1. Вивести формулу для добутку.

■ Позначимо цей добуток через . Тоді

Кожне із записаних значень добутку D_nє дробом, чисельник якого 1, а знаменник на одиницю більший від номера nцього добутку. Тому можна припустити, що

(2)

Доведемо правильність рівності (2) методом математичної індукції.

1. Правильність рівності (2) приn  1 вже встановлено.

2. Припустимо, що рівність (2) правильна приn  k, тобто що

Покажемо тоді, що Маємо:

Отже, рівність (2) є правильною для довільного натурального числаn. ■

Приклад 2.Довести нерівність Бернуллі (Якоб Бернуллі (1654 –1705) —швейцарський математик):

де         (3)

■ 1. Прип 1 маємо:що є правильним.

2. Припустимо, що є правильною нерівність, і покажемо, що тоді правильною є й нерівність. Справді,

(оскільки ).

Отже, нерівність (3) правильна для всіх натуральнихn. ■

Приклад 3.Довести нерівність:

■ 1. Приn 1 дана нерівність є правильною, оскільки

2. Припустимо, що ця нерівність виконується при nk, тобто що

Покажемо, що в такому разі ця нерівність буде виконуватися і при n  k + 1, тобто що

Матимемо: 

Отже, задана нерівність є правильною при довільному натуральному n.■

Зауваження. Є твердження, які істинні не для всіх натуральних чисел, а для натуральних чисел, починаючи з деякого числаm. Наприклад, нерівністьсправджується для натуральнихЄ також твердження, які істинні не тільки для натуральних, а й для цілих значеньn,починаючи з деякого цілого від’ємного числа або з нуля. Наприклад, нерівність Бернуллі істинна і приn0. При доведенні таких тверджень спираються на таке узагальнення принципу математичної індукції:

Якщо твердження істинне для n  m, де m — деяке ціле число, і з істинності твердження для довільного цілого n  k (k m) випливає його істинність для n  k + 1, то це твердження істинне для будь-якого цілого

Зрозуміло, що встановлення бази індукції у цьому разі зводитиметься до доведення істинності твердження при nm.

Приклад 4.Довести, щопри всіх цілих

■Позначимо виразчерез.

1. При n  –1Оскількитоприn  –1.

2. Припустимо, що , де— ціле число, і покажемо, що тоді.

Справді, 

Кожний із доданків останнього виразу ділиться на 16 (перший — за припущенням). Отже, при будь-якому цілому.■

Неакуратність у застосуванні методу математичної індукції може стати джерелом хибного твердження. Про це свідчить такий жарт.

«Доведемо» методом математичної індукції твердження: «Всі на світі коти — чорні». Один чорний кіт існує, — це очевидно. Припустимо, що будь-які kкотів є чорними. Візьмемо деякихk+ 1 котів і заховаємо їх у мішок. Якщо з мішка витягнути одного кота, то в мішку залишитьсяkкотів, які за припущенням є чорними. Витягнемо з мішка ще одного кота (зрозуміло, що він — чорний), а в мішок заховаємо першого кота. Тоді в мішку знову будеkкотів, які за припущенням є чорними. Заховуємо другого витягнутого кота в мішок. У ньому вже всіk+ 1 котів будуть чорними. Отже, за принципом математичної індукції, усі на світі коти — чорні.

Неправомірність цих міркувань полягає в тому, що не було перевірено істинності відповідного твердження при n1, адже висловлення «Будь-який один кіт є чорним» — хибне.