Заключне зауваження

Ми розглянули найважливіші поняття комбінаторики та приклади їхнього використання для підрахунку кількості можливих вибірок, утворених за певними правилами з елементів заданої множини. Це, так би мовити, комбінаторика в «чистому вигляді». Ми зовсім не торкалися зв’язків комбінаторики з іншими розділами математики, зокрема з теорією ймовірностей, гео-метрією та математичним аналізом. Однак автори сподіваються, що уважна робота з даним посібником зацікавить читача цим цікавим розділом математики. Тоді в пригоді йому стануть інші посібники, найдоступніші з яких вказуються в кінці цієї брошури.

Задачі для самостійного розв’язування Завдання і

Для розв’язування задач цього завдання достатньо опрацювати §1, §7 та пункти 2 і 4 з §4. У всіх задачах числа n— натуральні.

Обов’язкові задачі

1.{a_n} — арифметична прогресія з різницеюd,S_n— сума першихnїї членів. Довести методом математичної індукції, що:

а) б)

2. {b_n} — геометрична прогресія зі знаменникомq,S_n— сума першихnїї членів. Довести методом математичної індукції, що:

а) б)

Довести методом математичної індукції рівності:

3. .

4.

5.

6. (n+ 1)(n+ 2)…(n+n)2ⁿ13…(2n– 1).

Вивести формули для таких сум:

7.

8.

Довести методом математичної індукції нерівності:

9.

10.

11. 2ⁿ> 2n+ 1,n3.

Довести методом математичної індукції подільності:

12.

13.

14.

15. Обчислити: а) 8!; б); в);   г);   ґ)

16. Розв’язати рівняння з невідомимn: а)  б)

Довести тотожності:

17.

18.

19. якщоn— парне.

20.

21. Розкласти за формулою бінома Ньютона:

а) (а+b)⁷; б) в)

22. Знайти член розкладуякий міститьЧи існує в даному розкладі член, який не міститьх?

23. Знайти значення показникаmу розкладі (1 +x)^m, якщо коефіцієнт п’ятого члена дорівнює коефіцієнту дев’ятого члена.

24. Використовуючи формулу бінома Ньютона, довести, що (3²ⁿ – 8n – 1) 64.

Додаткові задачі

Довести тотожності:

1. дех— дійсне число,n— натуральне.

2.

3.

4.

5. Довести нерівність:

6. Довести, що розклад на прості множники числа (n + 1)(n + 2)…(n + n), деn— натуральне, міститьnдвійок.

7. Довести, що число, запис якого складається з 3ⁿодиниць, ділиться на 3ⁿ.

8. Довести, що число, запис якого має парну кількість цифр, перша і остання з яких — одиниці, а решта — нулі, ділиться на 11.

9. Довести методом математичної індукції, щоnпрямих площини, жодні дві з яких не паралельні, а жодні три не проходять через одну точку, ділять площину начастин.

10. Довести, щоnкіл, які лежать в одній площині, ділять площину не більше, ніж наn²–n+ 2 частини.

11. Довести, що при довільному ціломуаi простомурчислоa^p – aділиться нар; якщо числаaiр— взаємно прості, тоa^p – 1 – 1 ділиться нар(мала теорема Ферма). Користуючись цією теоремою, знайти остачу від ділення:

а) 15¹⁷¹на 17; б) 43⁴³– 17¹⁷на 5.

12. Не розкриваючи дужок, визначити коефіцієнт при х⁶ у многочлені(1 +x)⁴+ (1 +x)⁵+ ... + (1 +x)¹⁰.

13.Знайти найбільший член розкладу

14.Сума біноміальних коефіцієнтів розкладудорівнює 256. Визначити члени цього розкладу, які не містятьа.

15. Знайти суму першихnчленів послідовності 1, 11, 111, … .

16.Знайти суму 123 + 234 + … + n (n+ 1)(n+ 2).

17.Знайти кількість членів розкладу (a+b+c+d)ⁿ.

18. Довести, що колито

19. Довести, що для довільного цілого невід’ємногоnвираз (x+ 1)²ⁿ⁺¹+xⁿ⁺²ділиться на виразx²+x + 1.