Задачі для підготовки до математичних олімпіад

Нижче використані умовні позначення УМО, КМО, ВМО, ММО — відповідно для українських, київських, колишніх всесоюзних та міжнародних математичних олімпіад.

1.(УМО, 1977). Нехайp— просте число, більше від 2. Довести, що сума остач від ділення чиселнадорівнює

2.(ММО, США, 1974 та УМО, 1976). Нехайnіk— натуральні числа,nk. Довести, що найбільший спільний дільник чиселдорівнює одиниці.

3.(ВМО, 1962). Нехайx,y,z— різні цілі числа. Довести, щоділиться на

4.(ММО, Англія, 1976). Довести, що при довільному цілому невід’ємномуnчисло 198ⁿ+ 17 є складеним.

5.(ММО, Англія, 1980). Довести, що при всіх натуральнихn> 1 не існує натуральних чиселx,yіz, які задовольняють рівностіі умови

6. (ММО, Канада, 1983). Розв’язати рівнянняx! + y! + z!  u! у натуральних числах.

7. (ММО, Австралія, 1982). Довести, що числоє натуральним.

8. (ММО, США, 1982). Довести рівність:

9. (КМО, 1936). НехайАіВ— суми членів розкладущо стоять відповідно на місцях з непарними і парними номерами. Знайти

10.(КМО, 1966). Нехайa, b, n— такі натуральні числа, щоділиться наn. Довести, що числотеж ділиться наn.

11.(КМО, 1949). На яку найбільшу кількість частин можна розділити по-верхню куліnколами?

12.(УМО, 1969). Скільки різних прямокутних таблиць, що маютьnрядків іnстовпців, можна скласти за допомогою чисел +1 і –1 так, щоб добутки чисел кожного рядка і кожного стовпця дорівнювали 1?

13. (УМО, 1965). Довести, що число при будь-якому натуральномуn ділиться на

14.(УМО, 1966). Довести, що при всіх натуральнихвиконується нерівність:

Відповіді та вказівки до задач математичних олімпіад

1.Нехайа— одне із чисел 1, 2, …,p– 1. Обґрунтуйте, щоне ділиться нааТоді сума остач від ділення чиселінадорівнюєтобто сума остач від ділення чиселіі… надорівнюєЗалишається визначити кіль-кість таких пар.

2. Доведення можна провести методом математичної індукції. Для можливості індуктивного переходу доведіть, що найбільший спільний дільник чисел дорівнює найбільшому спільному дільнику чиселтобто чисел

4. Доведіть, що: при n  2k    приn  4k + 1 приn  4k + 3   

5.Припустимо, що при деякомуіснує трійкаz,y,zнатуральних чисел, для якихНе порушуючи загальності, можемо вважати, щоВикористовуючи формулу бінома Ньютона, матимемо:

Отже, Очевидно, щоz>y. Для натуральних чиселyіzнерівністьy<z<y+ 1 неможлива.

6.Нехай числаx₀,y₀,z₀,u₀задовольняють задане рівняння. Позначимо черезанайбільше з чиселx₀,y₀,z₀. ТодіізвідкиОтже, залишається розв’язати рівняння:x! +y! +z!1!;x! +y! +z!2!;x! +y! +z!3!. Перші два з них розв’язків не мають, а розв’язком третього є:xyz2. Таким чином, задане рівняння має один розв’язок:xyz2,u3.

7.Отже, числоє цілим. Оскільки, крім цього, воно додатне, то

9. Обґрунтуйте, що A + B  (x + a)ⁿ, A – B  (x – a)ⁿ. Тоді A² – B²  (x² – a²)ⁿ.

10. Нехай Далі використайте розклад:

11.nкіл ділитимуть поверхню кулі на найбільшу кількість частин тоді, коли вони попарно перетинатимуться і жодні три з них не проходитимуть через одну точку. Якщо на поверхні кулі вже єkкіл і вони ділять її на певну кількість частин, то (k+ 1)-е коло повинно перетнути даніkкіл у 2kточках. Ці точки поділять саме це коло на 2kчастин, кожна з яких поділить область, у якій вона знаходиться, на дві частини. Отже, після проведення (k+ 1)-го кола кількість частин збільшиться на 2k. Томуnкіл поділять поверхню кулі на 2 + 2 + 4 + 6 + … +2(n– 1) частин.

12.У таблиці залишимо вільними останній рядок і останній стовпець, а решту клітинок заповнимо довільним чином числами +1 та –1. Це можна здійснитиспособами. Доведіть, що як би ми не розставляли дані числа, вільнийn-й рядок таn-й стовпець можна однозначно заповнити числами +1 і –1 так, щоб в утвореній таблиці добутки чисел кожного рядка і кожного стовпця дорівнювали 1. Тому шуканих таблиць буде