- •1.Матрица, операции над м. Опред-ли м.
- •2. Декартовая система координат на плоскости. Осн. Задачи.
- •3. Прямая. Угловой коэф. Прямой. Уравнение прямой с угл. Коэффициентом.
- •4. Общее ур-ние прямой, ур-ние прямой, проход. Ч/з 2 точки, ур-ние прямой в отрезках.
- •5. Угол между 2мя прямыми. Условия пар-сти и перп-сти 2х прямых.
- •6. Ур-ние плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.
- •7. Векторы. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.
- •8. Операции над векторами, заданными в координатной форме.
- •9. Скалярное произведение векторов, его свойства.
- •10. Векторное произведение векторов, его свойства.
- •11. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение их методами Гаусса, Крамера, матричным.
- •12. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису
- •13. Последовательности. Предел послед-сти.
- •14. Два замечательных предела
- •15. Функции. Непрерывность функции в точке и в области
- •16. Производная ф-ции. Смысл.
- •17. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- •18. Дифф. Функции одной переменной, его геометр. Смысл. Применения дифф. В приближённых вычислениях.
- •19 Экстремум функции. Необходимое усл.
- •20. Исследование функции.
- •21. Первообр. Функции и неопр. Интеграл. Св-ва неопр. Инт. Таблица неопр. Интегр.
- •31. Линии уровня. Градиент.
- •22. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.
- •23. Опред. Интеграл. Осн. Свойства опред. Интеграла.
- •24 Теорема Ньютона-Лейбница.
- •25.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •26.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •27. Несобственные инт. 1го и 2го порядка.
- •28. Среднее значение ф-и на отрезке. Теорема о среднем значении ф-и.
- •30. Экстремум ф-и нескольких переменных. Необходимое усл-е эктремума.
- •29. Ф-и нескольких переменных.
- •32. Частные производные ф-й 2-х переменных.
- •33. Полный дифференциал ф-й 2-х переменных.
- •34. Частные производные высших порядков.
- •35. Независимость частных производных от порядка дифференцирования.
- •36. Метод наименьших квадратов.
- •37. Числовые ряды, частные суммы числовых рядов.
- •38. Признаки сходимости ряда
- •39. Теоремы о сходимости числовых рядов.
- •40. Эталонные ряды для установления сходимости
- •41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена
- •42.Теорема Абеля о сходимости степенного ряда:
- •43. Разложение основных элементарных функций.
- •44. Показательная и тригонометрическая функция комплексной переменной, их связь
- •45. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье. Сходимость рядов Фурье.
- •46. Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •47. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- •49. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •50. Линейные однородные и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
28. Среднее значение ф-и на отрезке. Теорема о среднем значении ф-и.
Средн. знач-е ф-и на отр-ке от а до b наз. число: С=;
Теорема: Ср. знач-е ф-и на отрезке находится между миним. и макс-м значением ф-и. Т.е. m≤C≤M.
Док-во: когда ф-я положителна
m≤C≤M
30. Экстремум ф-и нескольких переменных. Необходимое усл-е эктремума.
Глоб. максимум(наиб. значение ф-и в некот. обл-ти)-то ее знач-е, кот. больше любого др. знач-я в этой же обл-ти.
Глоб. минимум(наим. знач. ф-и в некот. обл-ти)-такое знач-е, кот-е меньше люб. др. знач-я в этой же обл-ти.
У глоб. макс. и мин-ов есть общ-е название-экстремумы ф-и.
Необх. усл-е: ф-я многих переменных может иметь экстремум только в точках, в кот. все её частные произв-ые=0. Такие точки назыв. критическими.
29. Ф-и нескольких переменных.
Ф-я 2х переменных – правило, кот. одному элементу из множества x и y элемент множества z.
Для ф-и неск. переменных областью определения каждого из аргументов наз. множество всех значений аргументов, для кот. имеет смысл заданная ф-я.
1)Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).
z=f(x,y)
2)Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.
3)Частное и полное приращение функции.
Полное приращение функции
Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)
Частное приращение функции
Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)
Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)
Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений. Пример. z=xy.
Dx z=(x+Dx)y-xy=yDx
Dy z=x(y+Dy)-xy=xDy
Dz=(x+Dx)(y+Dy)-xy=yDx+xDy+DyDx № Dy z+Dx z.
4)Непрерывность функции нескольких переменных
Предел функции.
Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности A(x0,y0).
Определение. Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого e > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |AP| < d, имеет место неравенство |f(x,y)-b| < e.
5)Непрерывная функция
6)Частные производные
32. Частные производные ф-й 2-х переменных.
Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных и, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производнаяобозначается черезили, ачерезили. Таким образом,
,
и, аналогично,
, .
Производные иназываются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: ,,и т. д.
Производные второго и более высокого порядков наз. произв-ми высших порядков.
33. Полный дифференциал ф-й 2-х переменных.
y(x+∆x)-y(x)≈y ‘(x)∆x
z(x+h,y+k)-z(x,y)=z(x+h,y+k)-z(x+h,y)+z(x+h,y)-z(x,y)=[dz(x+h,y)/dy]*k+[dz(x,y)/dx]*h≈--дифференциал ф-й 2х переменных.
. (1)
Если приращение (1) можно представить в
виде , (2) ГдеАи В не зависят от , аистремятся к нулю при стремлении к нулю, то функцияназываетсядифференцируемой в точке , а линейная частьприращения функции (т.е. та частькоторая зависит отилинейно) называетсяполным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символомdz.
dz = (3)
Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
Действительно, если в точке функциядифференцируема, то для этой точкипредставимо в форме (2), откуда следует, что, а это и означает, что в точкефункциянепрерывна.
Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).
Теорема (достаточное условие дифференц-сти). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке, то эта функция дифференцируема в точке.