![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Матрица, операции над м. Опред-ли м.
- •2. Декартовая система координат на плоскости. Осн. Задачи.
- •3. Прямая. Угловой коэф. Прямой. Уравнение прямой с угл. Коэффициентом.
- •4. Общее ур-ние прямой, ур-ние прямой, проход. Ч/з 2 точки, ур-ние прямой в отрезках.
- •5. Угол между 2мя прямыми. Условия пар-сти и перп-сти 2х прямых.
- •6. Ур-ние плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.
- •7. Векторы. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.
- •8. Операции над векторами, заданными в координатной форме.
- •9. Скалярное произведение векторов, его свойства.
- •10. Векторное произведение векторов, его свойства.
- •11. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение их методами Гаусса, Крамера, матричным.
- •12. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису
- •13. Последовательности. Предел послед-сти.
- •14. Два замечательных предела
- •15. Функции. Непрерывность функции в точке и в области
- •16. Производная ф-ции. Смысл.
- •17. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- •18. Дифф. Функции одной переменной, его геометр. Смысл. Применения дифф. В приближённых вычислениях.
- •19 Экстремум функции. Необходимое усл.
- •20. Исследование функции.
- •21. Первообр. Функции и неопр. Интеграл. Св-ва неопр. Инт. Таблица неопр. Интегр.
- •31. Линии уровня. Градиент.
- •22. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.
- •23. Опред. Интеграл. Осн. Свойства опред. Интеграла.
- •24 Теорема Ньютона-Лейбница.
- •25.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •26.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •27. Несобственные инт. 1го и 2го порядка.
- •28. Среднее значение ф-и на отрезке. Теорема о среднем значении ф-и.
- •30. Экстремум ф-и нескольких переменных. Необходимое усл-е эктремума.
- •29. Ф-и нескольких переменных.
- •32. Частные производные ф-й 2-х переменных.
- •33. Полный дифференциал ф-й 2-х переменных.
- •34. Частные производные высших порядков.
- •35. Независимость частных производных от порядка дифференцирования.
- •36. Метод наименьших квадратов.
- •37. Числовые ряды, частные суммы числовых рядов.
- •38. Признаки сходимости ряда
- •39. Теоремы о сходимости числовых рядов.
- •40. Эталонные ряды для установления сходимости
- •41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена
- •42.Теорема Абеля о сходимости степенного ряда:
- •43. Разложение основных элементарных функций.
- •44. Показательная и тригонометрическая функция комплексной переменной, их связь
- •45. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье. Сходимость рядов Фурье.
- •46. Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •47. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- •49. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •50. Линейные однородные и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
42.Теорема Абеля о сходимости степенного ряда:
а) Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х0≠0, то он сходится
Абсолютно при всех значениях х , таких что │х│< │х0│;
б) Если степенной ряд расходится при х = х1 , то он расходится при всех значениях х , таких что │х│> │х1│.
![](/html/2706/1107/html_6YaY_ZjMke.ccy5/img-msmTcc.png)
43. Разложение основных элементарных функций.
Теорема
Если
функция f(x) определена
и имеет
производные сколь угодно высоких
порядков и существует постоянная,
такая, что при любых
х и п удовлетворяет неравенству, то
функция f(x) разлагается
в ряд Тейлора при любом x0.
44. Показательная и тригонометрическая функция комплексной переменной, их связь
Показательную функцию комплексного переменного w=ez определим равенством ez = e(x+iy) = ex (cosy +i sin y).
Справедлива след. формула Эйлера eiy = cosy +i sin y.
Используя
тождество Эйлера, получаем показательную
форму для представления любого
комплексного числа z
= r
(cos
+ sin
)
в виде: z
= rei
.
Фун-я w = ez определена на всей комплексной плоскости и на действительной оси совпадает с соответ. фун-ей действительного переменного.
Св-ва:
1) ez1ez2 = ez1+z2
2) ez0,
т.к. |
ez
| = ex
0
3) ez
периодическая
с периодом T=2i,
т.е. ez+
=
ez
Тригонометрические ф-ии sin z и cos z определим через показательную фун-ю по формулам Эйлера
и cosz=
Св-ва:
При z=x, sinz и cosz совпадают с тригонометрическими фун-ми sinx и cosx действительной переменной x.
Выполняются основные тригонометрические отношения.
sinz
и cosz
периодические
фун-ии с основным периодом
sinz-нечетная фун-я, cosz-четная ф-я.
Могут принимать любые знач-я, а не только ограниченные по модулю единицей.
45. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье. Сходимость рядов Фурье.
Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом T в виде ряда
Этот ряд может быть также записан в виде
Где
—
амплитуда k-го
гармонического колебания,
—
круговая частота
гармонического колебания,
—
начальная фаза k-го
колебания,
— k-я
комплексная амплитуда
Фурье коэффициенты
Kоэффициенты
разложения функции f (x), имеющей период 2T, в ряд Фурье. Формулы (*) называют формулами Эйлера — Фурье. Непрерывная функция f (x) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f (x) стремятся к нулю при n → ∞, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции f (x).
Сходимость
ряда Фурье, явление Гиббса.
Если
функция f(x)
кусочно-гладкая на отрезке [-π;π] ,
то ее тригонометрический ряд Фурье
сходится в каждой точке этого отрезка.
При этом, если -
сумма ряда Фурье, то для любогоx
принадлеж. [-π;π],
.
Т.е., еслиF(x)
непрерывна в точке x0,
то S(x0)=f(xo).
Если в точке x0 у
f(x) разрыв
первого рода, то ряд Фурье сходится к
среднеарифметическому левого и правого
пределов функции в точке x0.
В окрестности точек непрерывности
функции f(x)
разность между значением функции в
точке и значением частичной суммы ряда
в этой точке стремится к нулю при
,
что полностью соответствует теории,
поскольку в этом случае
.
В окрестности точек разрываf(x) частичные
суммы ряда Фурье ведут себя иначе. Эта
особенность поведения частичных сумм
Фурье в окрестности точек разрыва
называется явлением Гиббса. Оно состоит
в том, что для некоторых функций в точке
ее скачка x0
существуют такие значения a,
что