12. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису

Если можно подобрать такие числа , кот.не все равны нулю одновременно, что данная комбинация не равна нулю, то векторыa1, a2, a3…an – линейно зависимы. Если же линейная комбинация векторов обращается в ноль лишь в том случае, когда все α = 0, то набор векторов наз-ся линейно независимым.

Линейно независимые векторы, по кот.можно разложить любой вектор из того же пространства, наз-ся базисом данного вектора.

где координаты векторав базисеa, b, c.

13. Последовательности. Предел послед-сти.

Числовая послед-ть – набор бесконечного кол-ва пронумер. чисел.

Если известна мат.формула, кот.позволяет по № члена опред-ть его величину, то такая формула наз-ся общим членом послед-ти:

Послед-ть ограничена сверху, если все ее члены не превосходят некот. заранее заданного числа M. ()

Наименьш.из чисел, огран-щих послед-ть сверху наз-ся максимумом последовательности.

Послед-ть ограничена снизу, если найдется такое число m, кот. всех членов последовательности. ()

Наиб. из чисел, огранич. послед-ть снизу наз-ся минимумом последовательности.

Если послед-ть ограничена и сверху, и снизу, то она наз-ся просто ограниченой.

Послед-ть наз-ся монотонно возрастающей, если каждый ее член > предыдущего. И наоборот (убыв-щей).

Если все члены послед-ти имеют одинаковый знак – знакопостоянная последовательность. (наоборот - знакочередующаяся).

Если посл-ть не является ограниченной – наз-ся неограниченной.

Если все члены послед-ти = одному числу, то она наз-ся постоянной. Пост.послед-ть всегда ограничена.

Операции над послед.:

1. Умножение на число (нужно умнож.все ее члены на это число)

2. Складывание (огранич. + огранич. = огранич, огранич.+неогранич= неогранич, неогранич +неогранич = неогранич)

3. Вычитание

4. Перемножение

5. Деление , всеbn≠0. Иначе cn не существует.

Предел послед-ти – число a [a=lim], при кот.для любого положительного числа Е найдется такой номер N, начиная с кот.все члены послед-ти будут отличаться от а не более, что на Е.

Если некот. послед-ть имеет lim, то она ограничена.

Если имеются 2 послед-ти с , и при этом, тоa≥b.

Если имеются 2 послед-ти, имеющие общий lim, если все члены послед-ти членов, если имеется послед-ть, при кот., то она имеет тот жеlim.

Монотонно возрастающая посл-ть, ограниченная сверху, имеет lim.

Вычисление пределов:

1) lim()=lim+lim(при усл., что оба предела сущ-ют)

2) limλλlim(если предел сущ-ет)

3) lim=(если предел сущ-ет)

4) lim= lim, если сущ. предел и ≠0

5) lim

14. Два замечательных предела

Первым замечательным пределом называется предел

Вторым замечательным пределом называется предел

Число, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между 2 3\7 и 3.

Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы: