37. Числовые ряды, частные суммы числовых рядов.

-числовой ряд.

Среди числ. рядов выделяют знакопостоянные, знакочередующиеся, знакопеременные.

Частичной суммой ряда соответсв. номеру n наз. сумма n первых его слагаемых.

- частичная сумма.

Ряд a_n наз. сходящимся, если последовательность частичных сумм для этого ряда имеет предел, т.е. если сущ-т число . Это число наз.суммой ряда.

38. Признаки сходимости ряда

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение.  наз-ют числовым рядом. При этом числа наз. членами ряда.

Числовой ряд часто записывают в виде. Теорема (необходимый признак сходимости ряда): если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Признак Даламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда существует такое числоq, что 0<q<1, и что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство, то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера – абсолютно расходится.

39. Теоремы о сходимости числовых рядов.

Определение. Частной суммой числового ряда   называется сумма. Числовой ряд называетсясходящимся, если существует предел, при этомS называется суммой ряда.

Теорема. Числовой ряд  сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое, что для всехm,n ><.

Доказательство.

Заметим, что  . После этого утверждение превращается в критерий Коши сходимости последовательности .

Теорема.

Если ряд сходится, то.

Доказательство.

Из свойств пределов следует, что . Отсюда следует, что.

40. Эталонные ряды для установления сходимости

Геометрический ряд

Обобщеный гармонический ряд 

В частности, при к=1 получаем гармонический ряд 

Эталонные ряды, т.е. разложения элементарных функций, можно использовать для получения рядов тех же функций, но сложного аргумента.

41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функции Un(x),n∈N, определены в области D. Выражение U₁(x) + U₂(x) +… + U_n (x)+…= U_n (x), где х∈D, наз. функциональным рядом. Каждому значению x₀∈D соответствует числовой ряд U_n (x₀). Этот ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если для x₀∈D числовой ряд U_n (x₀) сходится, то говорят, чтo функциональный ряд сходится в точке x₀, и точку x₀ наз. точкой сходимости.Если функциональный ряд сходится в каждой точке x∈E⊂D, то этот ряд наз. сходящимся на множестве Е, а множество Е наз. областью сходимости ряда. Если множество Е пусто, то ряд расходится в каждой точке множества D.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной х , при которых соответствующий числовой ряд сходится. Ряд вида а₀ + а₁ х + а₂ х² + … а_n хⁿ + … = называетсястепенным рядом, а – некот. числа, х – переменная.

Коэффициентами степенного ряда называются числа а₀ , а₁ , … , а_n.

Формулой Тейлора для функции f(x) в окрестности точки х называется многочлен Р_n(х) = f(х₀) +Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора

R_n (x)= =f(x) – P_n (x)

Т.о., многочлен Тейлора Р_n(х) служит приближением функции f(х). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы Тейлора R_n(х).

Формулой Маклорена для функции f(х) называется ее формула Тейлора при х₀ = 0: f(x)= f(0) +

где с – некоторая точка из интервала (0, х).