Равновесие тел. Силы тяготения и силы упругости

Момент силы F относительно какой-либо точки О равен произ­ведению величины силы на длину перпендикуляра l (плечо), опу­щенного из точки O на линию действия силы:

М = FL

Если на тело действует несколько сил, расположенных в одной плоскости, то результирующий момент этих сил относи­тельно выбранной точки О равен алгебраической сумме момен­тов отдельных сил:

Если на тело действует несколько сил, лежащих в одной плоскости, и тело находится в состоянии покоя или равномер­ного движения, то геометрическая сумма приложенных сил и алгебраическая сумма моментов, взятых относительно произ­вольной точки, должны равняться нулю:

и,

Сила притяжения двух материальных точек прямо пропор­циональна массам этих точек и обратно пропорциональна квад­рату расстояния г между ними (закон всемирного тяготения):

,

где γ — гравитационная постоянная; т_г и m_z — массы взаимодей­ствующих точек.

Относительная деформация

где l — длина тела при нагрузке; l₀ — длина тела до нагрузки.

Величина напряжения при упругой деформации

,

где F — величина нагрузки; S — площадь поперечного сечения тела.

Разрушающая сила

,

где p_m— разрушающее напряжение (предел прочности); S — пло­щадь поперечного сечения тела.

Относительная деформация прямо пропорциональна напря­жению (закон Гука):

,

где Е- модуль упругости (модуль Юнга)

Работа упругой силы F в пределах применимости закона Гука определяется по формуле

,

где k — жесткость упругого тела Δl – абсолютная деформация сжатия или растяжения.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

или

Колебания и волны

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих коле­баний

Здесь х — смещение колеблющейся материальной точки, t — время,

Решение уравнения

где А — амплитуда колебаний, фаза колебаний, φ₀— начальная фаза колебаний φ= φ₀при t=0, ω₀— круговая частота колебаний.

, где k — коэффициент квази­упругой силы (F= — kx), возникающей в системе при выходе ее из положения равновесия.

Период колебаний:

математического маятника

где L — длина маятника, g — ускорение свободного падения;

пружинного маятника

где k — жесткость пружины;

физического маятника

где J — момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; L— расстояние между точкой подвеса и центром массы маятника.

Приведенная длина физического маятника

Скорость материальной точки, совершающей гармонические ко­лебания,

где Aω₀=V_max–амплитуда скорости.

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:

где -амплитуда ускорения.

Энергия колеблющейся материальной точки: кинетическая

потенциальная

Полная

Амплитуда сложного колебания

где А₁ и a₂ — амплитуды слагаемых гармонических колебаний; φ₀₁и φ₀₂ — их начальные фазы.

Начальная фаза сложного колебания

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний, за­данных уравнениями

x=A₁ cos(ω₀t+φ₀₁) и y=A₂ cos(ω₀t+φ₀₂)

получаем периодическое движение материальной точки по эллип­тической траектории. В общем случае, уравнение эллипса

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

где — коэффициент затухания, r — коэффициент про­порциональности между скоростью материальной точки и силойтрения, равной F_тр=-rV

Решение зависит от знака разности:

ω²= ω₀²-β²

где ω — круговая частота затухающих колебаний.

При ω₀²-β²=ω²>0период колебаний

При ω₀²-β²=ω²<0 период становится мнимым, а процесс —

апериодическим.

Амплитуда затухающих колебаний

А=А₀е^-βt

Логарифмический декремент затухания

где A(t) и A(t+T) — две последовательные амплитуды колеба­ний, разделенные интервалом времени, равным периоду.

Связь коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания

λ=βT

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где f_о= Fo/m, F₀ — амплитуда вынуждающей силы.

Смещение материальной точки после установления вынужденных колебаний

X=Acos(ω₀t+φ₀)

где

Круговая частота вынужденных колебаний при резонансе

Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе

A_рез=f₀/(2β(ω₀²- 2β²)^1/2)

При распространении незатухающих колебаний со скоростью V вдоль оси x смещение у любой точки, лежащей на оси на расстоянии х от источника колебаний, выражается формулой

или ,

где - длина волны.

Разность фаз колебаний двух точек среды определяется соот­ношением

,

где Δx- расстояние между колеблющимися точками.

Уравнение плоской упругой волны

где s— смещение колеблющихся точек в волне относительно их положения равновесия, у — координата положения равновесиякакой-либо точки, v — скорость распространения волны (фазо­вая скорость).

Интенсивность волны (плотность потока энергии)

I=ω_рv

где ω_р — объемная плотность энергии колебательного движения, v— скорость волны.

Объемная плотность энергии упругой волны, распространяющей­ся в веществе,

,

где ρ — плотность вещества.