Замечание

Вычисление произведения двух графов обычно весьма трудоемкая задача.

Вершины: {v₁,u₁},{v₁,u₂},{v₂,u₁},{v₂,u₂},{v₃,u₁},{v₃,u₂}

Ребра (заданы в виде пары вершин):

Декартово произведение графов позволяет просто вычислить некоторые структурные свойства произведения по свойствам сомножителей.

Например, если G₁ и G₂ – графы и X={ x₁, x₂ } и Y={y₁,y₂} – две вершины в G₁ G₂, то:

• | G₁ G₂|=|G₁| . |G₂|

где |G| - порядок графа,

. -операция арифметического умножения.

• deg _{G1 G2} (X)= deg_G1(x₁) + deg_G2(x₂),

где deg_G(V) – степень вершины V графа G.

• D _{G1 G2} = D_G1+ D_G2,

где D_G – диаметр графа G.

• dist _{G1 G2}(X,Y) = dist_G1(x₁, y₁) + dist_G2(x₂,y₂),

где dist _G(X,Y) – длина кратчайшего пути между вершинами X и

Y графа G.

2.2.3. Унарные операции над графами

Для графа G=(V,E) частью графа называется такой граф H=(V^’,E^’), у которого V^’(H)V(G) и E^’(H)E(G). Другими словами, этот граф, порожденный ребрами графа G. Частью графа является путь, цикл и т.п. Вместо термина «часть графа» часто используют термин «подграф (в слабом смысле)».

Подграф ( в сильном смысле)- для графа G=(V,E) такой граф H=(W,U), у которого множество вершин W V, множество ребер U E, причем если {x,y} E и x,y W, то обязательно {x,y} U.

Если G₁G и G₁ содержит все вершины графа G, тогда G₁ называют каркасным подграфом. Каркасных подграфов может быть несколько.

Дополнением графа G=(V,E) называется граф G’=(V,E’), у которого:

• вершины исходного графа G,

• ребра E’ являются ребрами, дополняющими граф G до полного графа K_n.

Пример

G

G’

Рис.2.2.5. Граф G и его дополнение G’

Определение

Операцией декомпозиции графа G(V,E) называется представление его в виде последовательности графов G₁,…, G_S таких, что:

• число вершин одинаково у всех графов G₁,…, G_S;

• число ребер E(G) графа G=(V,E) равно объединению ребер графов G₁,…, G_S:

E(G)= E(G_i).

Замечания

• В качестве раздельных графов наиболее часто выбираются циклы, деревья, пути заданной длины и т.д.

• О перация объединения раздельных графов является операцией, обратной операции декомпозиции.

Определение

Операция построения реберного графа L(G)=(U,F) графа G=(V,E) состоит в следующем:

• каждой вершине u U реберного графа L(G) сопоставлено ребро e_i E(G) графа G;

• в

  Пример

  ершины в L(G) смежны тогда и только тогда, когда соответствующие ребра смежны в графе G.

е₁

е₆

е₂

е₄

е₅

е₃

Вершины L(G): U₁={1,2}, U₂={1,3}, U₃={1,4},

U₄={2,3}, U₅={2,4}, U₆={3,4}

Ребра L(G) (определяются в соответствии со вторым условием):

1 ребро L(G)

ребра {1,2}и{1,3} смежны в G:

U₁ соединена ребром с U₂

2 ребро L(G)

ребра {1,2}и{1,4} смежны в G:

U₁ соединена ребром с U₃

3 ребро L(G)

ребра {1,2}и{2,4} смежны в G:

U₁ соединена ребром с U₅

4 ребро L(G)

ребра {1,2}и{2,3} смежны в G:

U₁ соединена ребром с U₄

5 ребро L(G)

ребра {1,2}и{1,3} смежны в G:

вариант был

6 ребро L(G)

ребра {1,3}и{1,4} смежны в G:

U₂ соединена ребром с U₃

7 ребро L(G)

ребра {1,3}и{2,3} смежны в G:

U₂ соединена ребром с U₄

8 ребро L(G)

ребра {1,3}и{3,4} смежны в G:

U₂ соединена ребром с U₆

9 ребро L(G)

ребра {1,4}и{1,2} смежны в G:

вариант был

10 ребро L(G)

ребра {1,4}и{1,3} смежны в G:

вариант был

11 ребро L(G)

ребра {1,4}и{2,4} смежны в G:

U₃ соединена ребром с U₅

12 ребро L(G)

ребра {1,4}и{3,4} смежны в G:

U₃ соединена ребром с U₆

13 ребро L(G)

ребра {2,3}и{1,3} смежны в G:

вариант был

14 ребро L(G)

ребра {2,3}и{1,2} смежны в G:

вариант был

15 ребро L(G)

ребра {2,3}и{2,4} смежны в G:

U₄ соединена ребром с U₅

16 ребро L(G)

ребра {2,3}и{3,4} смежны в G:

U₄ соединена ребром с U₆

17 ребро L(G)

ребра {3,4}и{1,3} смежны в G:

вариант был

18 ребро L(G)

ребра {3,4}и{2,3} смежны в G:

вариант был

19 ребро L(G)

ребра {3,4}и{1,4} смежны в G:

вариант был

20 ребро L(G)

ребра {3,4}и{2,4} смежны в G:

U₅ соединена ребром с U₆