Определения

Строка таблицы инцидентности содержит вершину V_i c перечислением всех инцидентных ей вершин графа.

Данная форма записи графа особенно удобна для разреженных графов (т.е. графов с большим числом вершин и всего несколькими рёбрами).

Определения

Для разреженных матриц смежности (т.е. матриц с преобладающим числом нулей) с числом единиц NNZ используется метод координатного хранения (X-Y) матрицы в виде двух строк IROW и ICOL. В строки IROW и ICOL записываются адреса строк и столбцов матрицы связности, имеющие ненулевые элементы.

2.2. Операции над графами

2.2.1. Простейшие операции

Определения

Простейшими операциями над графами являются:

• Добавление вершины: к заданному множеству вершин графа (V₁, V₂,…, V_n) добавляется новая вершина V_n+1, смежная с вершинами (V₁, V₂,…, V_n).

• Добавление ребра: для заданной пары вершин v и u добавляется ребро {v,u}.

• Удаление вершины: из графа вершина удаляется вместе с инцидентными ей рёбрами;

• Удаление ребра: в графе удаляется ребро без инцидентных ему вершин;

• Стягивание вершин: заданное множество вершин соединяется в одну, а полученные из ребер петли удаляются;

• Подразбиение ребра: удаляется заданное ребро {u,v} и добавляется путь, имеющий один конец на u, а второй конец – на v.

2.2.2. Бинарные операции над раздельными графами

Определения

Если G(V,E)G’(V’,E’)=0, т.е. VV’=0 и EE’=0, то G и G’ являются раздельными графами.

Для раздельных графов в общем случае определены операции:

• объединение раздельных графов (disjoint union) G₁(V₁,E₁) и G₂(V₂,E₂) –

G(V,E)= G₁(V₁,E₁) G₂(V₂,E₂),

если V=V₁V₂ и E₁E₂;

• соединение раздельных графов (join) G₁(V₁,E₁) и G₂(V₂,E₂) –

G(V,E)= G₁(V₁,E₁) G₂(V₂,E₂),

где G(V,E) состоит из G₁ G₂ К(V₁,V₂);

здесь К(V₁,V₂) – завершенный двудольный граф с множеством вершин

V₁ и V₂ в долях;

• произведение графов (graph product) G(V,E) и H(V’,E’) –

граф, у которого:

множество вершин равно V×V’ (т.е. множество пар, где первый элемент взят из множества вершин V, а второй – из множества вершин V’).

Смежность двух любых вершин произведения графов (g,h) и (g’,h’) определяется неоднозначно (всего возможно 256 различных произведений графов).

Определения

Пусть вершина произведения графов G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂) обозначается (V₁|V₂) c V_i G_i (знак | обозначает операцию склеивания). Тогда некоторые из произведений двух графов определяются следующим образом:

Конъюнкция (conduction) G=G₁ G₂ – две вершины (U₁|U₂) и (V₁|V₂) в G соединены, если {U₁,V₂} есть ребро G₁ и {U₂,V₂} есть ребро графа G₂.

Дизъюнкция (disjunction) G=G₁ G₂ – две вершины (U₁|U₂) и (V₁|V₂) соединены, если {U₁,V₂} есть ребро G₁ или {U₂,V₂} есть ребро графа G₂.

Симметричная разница (symmetric difference) G=G₁ G₂ - две вершины (U₁|U₂) и(V₁|V₂) соединены, если {U₁,V₂} есть ребро G₁, либо {U₂,V₂} есть ребро графа G₂ (но не оба сразу).

Отклонение (rejection) G=G₁\G₂ - две вершины (U₁|U₂) и(V₁|V₂) соединены, если ни {U₁,V₂} не является ребром G₁, ни {U₂,V₂} не является ребром графа G₂.

Декартово произведение (Cartesian product) G=G₁ G₂ - две вершины (U₁|U₂) и(V₁|V₂) соединены, либо U₁ и V₁ идентичны и {U₂,V₂} есть ребро G₂, либо U₂ и V₂ идентичны и {U₁,V₁ } есть ребро графа G₁.